6) Symulacja stochastyczna

DANE:

Temat zadania:

Zakładając, że α jest zmienną losową o rozkładzie normalnym, przyjmij parametry tego
rozkładu (na podstawie uzyskanych już wyników). Sporządź wykresy dystrybuanty i
gęstości prawdopodobieństwa oraz wyznacz w Mathcadzie prawdopodobieństwo
wyboczenia . 

Siła obciążająca belkę:

Odch. st. siły obciążającej belkę:

Ciężar belki:

Długość belki:

Odległość w której podparta jest belka:

Średnik kąt przyłożenia siły:

Odch. st. kata przułożenia siły:

Psr

4000

:=

σP

200

:=

Q

200

:=

a

3

:=

b

2

:=

α

40 deg

⋅

:=

σα

5deg

:=

Analiza:

Siła obciążająca P i kąt jej przyłożenia to wielkości nieporównywalne, a więc należy
wyznaczyć siłę zależną od kąta. Wyznaczoną siłe następnie należy porównać z siłą P

Obliczenia:

Średnia siła zleżna od kąta α:

Odchl. standardowe siły zależnej od kąta α:

Pαsr

Psr sin α

( )

⋅

:=

Pαsr

2.571

10

3

×

=

σPαsr

Psr sin σα

(

)

⋅

:=

σPαsr

348.623

=

Zakres zmienności dla siły obciążającej belkę:

Pmi

Psr

3 σP

⋅

−

:=

Pma

Psr

3 σP

⋅

+

:=

Pmi

3.4

10

3

×

=

Pma

4.6

10

3

×

=

Zakres zmienności dla siły obciążającej belkę:

Pαmi

Pαsr

3 σPαsr

⋅

−

:=

Pαma

Pαsr

3 σPαsr

⋅

+

:=

Pαmi

1.525

10

3

×

=

Pαma

3.617

10

3

×

=

Pmin

min Pmi Pαmi

, 

Pma

, 

Pαma

, 

(

)

:=

Pmax

max Pmi Pαmi

, 

Pma

, 

Pαma

, 

(

)

:=

Pmin

1.525

10

3

×

=

Pmax

4.6

10

3

×

=

Zdefiniowanie przyrostu zmiennej niezależnej:

Df

Pmax

Pmin

−

(

) 0.01

⋅

:=

P

Pmin Pmin

Df

+

, 

Pmax

..

:=

1 10

3

×

2 10

3

×

3 10

3

×

4 10

3

×

5 10

3

×

0

5 10

4

−

×

1 10

3

−

×

1.5 10

3

−

×

2 10

3

−

×

dnorm P Psr

, 

σP

, 

(

)

dnorm P Pαsr

, 

σPαsr

, 

(

)

dnorm Psr Psr

, 

σP

, 

(

)

dnorm Pαsr Pαsr

, 

σPαsr

, 

(

)

P P

, 

Psr

, 

Pαsr

, 

Wykres 2: Gęstości prawdopodobieństwa siły P i wartości
siły obciążającej pręt w zależności od kąta α.

1 10

3

×

2 10

3

×

3 10

3

×

4 10

3

×

5 10

3

×

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

pnorm P Psr

, 

σP

, 

(

)

pnorm P Pαsr

, 

σPαsr

, 

(

)

P P

, 

Wykres 3: Dystrybuanty siły P i wartości siły obciążającej
pręt w zależności od kąta α.

7) Wyznaczenie prawdopodobieństwa wyboczenia

Obliczenia:

ORIGIN

1

≡

N

100000

:=

M

rnorm N Psr

, 

σP

, 

(

)

:=

A

rnorm N α

, 

σα

, 

(

)

:=

i

1 N

..

:=

kc

M sin A

( )

⋅

a

⋅

Q

a

2

⋅

+

0.158 0.012

2

⋅

b

⋅













→



:=

j

1 round

N

100













..

:=

1 10

8

×

1.5 10

8

×

2 10

8

×

2.5 10

8

×

0

200

400

600

800

1 10

3

×

j

kc

j

Wykres 4. Prawdopodobieństwa wyboczenia pręta.

Objaśnienie:

 

Wykres przedstawia prawdopodobieństwo wyboczenia pręta. Punkty znajdujące się
po prawej stronie od lini 2x10  są to przypadki kiedy pręt ulegnie wyboczeniu.  

PR

1

N

i

if

kc

i

2 10

8

⋅

>









1

, 

0

, 









∑

⋅

:=

PR

10.268 %

⋅

=

Podsumowanie:

 

Prawdopodobieństwo wyboczenia pręta przy założonym rozkładzie normalnym dla
siły obciążającej belkę oraz kąta działania tej siły wynosi 10,179%