Całka potrójna
Zad.1. Obliczyć całki potrójne po wskazanych obszarach:
1.
∫∫∫
V
zdxdydz
y
x
sin
2
, gdzie
(
)
≤
≤
≤
≤
−
≤
≤
∈
=
2
0
,
1
1
,
1
0
:
,
,
3
π
z
y
x
R
z
y
x
V
,
2.
∫∫∫
V
yz
dxdydz
x
ln
, gdzie
(
)
{
}
3
2
,
2
1
,
1
:
,
,
3
≤
≤
≤
≤
≤
≤
∈
=
z
y
e
x
R
z
y
x
V
,
3.
∫∫∫
V
xydxdydz , gdzie V – obszar ograniczony powierzchniami
0
=
y
,
x
y
=
,
2
9
z
x
−
=
,
4.
(
)
∫∫∫
+
V
dxdydz
y
x
2
2
, gdzie V – obszar ograniczony powierzchniami
2
2
y
x
z
+
=
,
0
=
z
,
1
=
y
,
2
x
y
=
.
Zad.2. Wprowadzając współrzędne walcowe obliczyć całki po wskazanych obszarach:
1.
∫∫∫
V
dxdydz
x
2
, gdzie V – obszar ograniczony powierzchniami
2
2
9
y
x
z
−
−
=
,
0
=
z
,
2.
∫∫∫
V
dxdydz
z
2
, gdzie V – obszar ograniczony powierzchniami
2
2
9
y
x
z
−
−
=
,
2
2
y
x
z
+
=
,
3.
(
)
∫∫∫
+
V
dxdydz
y
x
2
2
, gdzie V – obszar ograniczony powierzchniami
2
2
2
y
x
z
+
=
,
8
=
z
.
Zad.3. Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całki po wskazanych obszarach::
1.
∫∫∫
+
+
V
dxdydz
z
y
x
z
2
2
2
2
, gdzie V – obszar ograniczony powierzchniami
2
2
4
y
x
z
−
−
=
,
0
=
z
,
2.
∫∫∫
+
+
V
dxdydz
z
y
x
2
2
2
1
, gdzie V – obszar ograniczony powierzchniami
4
2
2
2
=
+
+
z
y
x
,
1
2
2
2
=
+
+
z
y
x
,
3.
(
)
∫∫∫
+
V
dxdydz
y
x
2
2
, gdzie V – obszar ograniczony powierzchniami
2
2
9
y
x
z
−
−
=
,
2
2
y
x
z
+
=
.
Zad.4. Obliczyć
objętość
bryły ograniczonej powierzchniami:
1.
12
4
6
3
=
+
+
z
y
x
,
0
=
x
,
0
=
y
,
0
=
z
, 2.
1
2
2
=
+
z
y
,
x
y
=
,
0
=
x
,
3.
16
2
2
2
=
+
+
z
y
x
,
x
y
x
4
2
2
=
+
, 4.
9
2
2
2
=
+
+
z
y
x
,
2
2
y
x
z
+
=
,
5.
2
2
y
x
z
+
=
,
2
2
1
2
y
x
z
−
−
=
,
6.
2
2
y
x
z
+
=
,
2
2
2
y
x
z
−
−
=
.
Zad.5. Prostopadłościan, którego podstawą jest kwadrat na płaszczyźnie XOY o
wierzchołkach A(1,0), B(3,1), C(2,3), D(0,2) rozcięto płaszczyzną
1
2
1
4
1
8
1
=
+
+
z
y
x
.
Obliczyć objętość dolnej części prostopadłościanu.
Zad.6. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchnią walcową
2
2
2
4
1
2
1
a
a
y
x
=
−
+
i
sferą o równaniu
2
2
2
2
a
z
y
x
=
+
+
,
(
)
0
>
a
.