Arkusz  nr  5 

CAŁKI  PODWÓJNE 

Zadanie  1.  Zapisać w postaci  obszaru normalnego względem osi OX lub OY zbiór ograniczony 
krzywymi:       a) y=x

2

, x=y

2

;        b) xy=6 ,  x+y=7 ;        c) x+y=2,  x=0,  y=0;       d) y=x,  x+y=2,  y=0 ;              

e) y=lnx , x=e , y=0;      f) y

2

=x+4,  x=5;      g) y

2

=2x,  x-y-4=0.        

Zadanie 2.  Obliczyć całki podwójne : 

a)

∬             

 

  , gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi  y= 

 

    ,y=2-2 

 

 . 

b) 

∬

    

   

 

 

       ,gdzie D jest prostokątem  [1,e] x [0,1] . 

c) 

∬

 

  

 

 

 

       ,gdzie D jest  obszarem zawartym między krzywymi : y= 

 

,y= 

  

 i x=1 . 

d) 

∬

 

   

 

      ,gdzie D jest trójkątem o wierzchołkach  A(1,1) B(2,0) C(-3,-1) . 

Zadanie 3. Wprowadzając współrzędne biegunowe, zapisać obszar w postaci  normalnej : 

a)D={(x,y)   

 

 :  

 

   

 

    } ;       b) D={(x,y)   

 

 : 1   

 

+ 

 

                    ; 

c) D={(x,y)   

 

 :       

 

   

 

     } . 

Zadanie 4. Stosując  zamianę  zmiennych, obliczyć całki podwójne : 

a)

∬    

 

   

 

 

)dxdy ,gdzie D={(x,y)   

 

   

 

   

 

           } ; 

b)

∬             

 

 , gdzie D={(x,y)   

 

: 1   

 

   

 

       y   } ; 

c)

∬ √ 

 

   

 

 

 dxdy ,gdzie D={(x,y)   

 

 :  

 

   

 

-2y       

d)

∬             

 

 ,gdzie D={(x,y)   

 

   

 

   

 

                 . 

Zadanie 5. Obliczyć objętość bryły V: 

a)V={(x,y,z)   

 

: 4 

 

    

 

             

 

   

 

           

b)V={(x,y,z)   

 

   

 

   

 

                

 

   

 

        

c)V={(x,y,z)   

 

   

 

   

 

               

Zadanie 6. Obliczyć pole płata powierzchniowego S : 

a)S jest częścią płaszczyzny 2x+2y-z-13=0 wyciętą walcem  

 

   

 

       

b)S jest częścią paraboloidy   z = 9 -  

 

   

 

  której rzutem na płaszczyznę  Oxy  jest  pierścień 

określony nierównościami     1   

 

   

 

    ; 

c)S jest częścią stożka  z= 1 + √ 

 

   

 

 wyciętą walcem o równaniu    

 

   

 

               

Zadanie 7. Obliczyć  masę oraz momenty statyczne i momenty bezwładności  arkusza blachy  D gdzie  

                      D= {(x,y)     

 

   

 

   

 

     }    o gęstości  powierzchniowej             

 

. 

Gdzie znajduje się środek ciężkości obszaru D? Wyznaczyć  ten punkt.