Matematyka A, kolokwium, 6 czerwca 2012, 18:05 — 20:00

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza

,

cego, jego

nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elektro-

nicznych; je´sli kto´s ma, musza

,

by´

c schowane i wy la

,

czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore zosta ly

udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

Nale˙zy przeczyta´c

CAÃLE

zadanie

PRZED

rozpocze

,

ciem rozwia

,

zywania go!

1. (6 pt.) Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania x

0

(t) = ctg t · x(t) + sin t + sin t · ln t na przedziale

otwartym (−

π

2

,

π

2

) .

(4 pt.) Znale´z´c rozwia

,

zanie zagadnienia pocza

,

tkowego



x

0

(t) = ctg t · x(t) + sin t + sin t · ln t,

x(0) = 0.

2. (1pt.)

Rozwia

,

za´c r´ownanie λ

2

− 3λ − 10 = 0 .

(1 pt.)

Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania

x

00

(t) − 3x

0

(t) − 10x(t) = 0 .

(8 pt.)

Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania

x

00

(t) − 3x

0

(t) − 10x(t) = (5 − 294t

2

)e

−2t

+ 25e

2t

+ 15 cos 2t .

3. Niech M =





5 −3 −6

−1

1

2

2 −2 −2



, v =





2
0
1



.

(1 pt.)

Znale´z´c iloczyn M · v .

(5 pt.)

Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne uk ladu r´owna´

n x

0

(t) = M · x(t) .

(1 pt.)

Znale´z´c rozwia

,

zanie uk ladu r´owna´

n x

0

(t) = M · x(t) spe lniaja

,

ce warunek x(0) =





2
0
1



.

(3 pt.)

Znale´z´c rozwia

,

zanie uk ladu r´owna´

n x

0

(t) = M · x(t) spe lniaja

,

ce warunek x(0) =





0
1
0



.

4. (2 pt.)

Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania

x

00

(t) − 10x

0

(t) + 169x(t) = 0 .

(6 pt.)

Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania

x

00

(t) − 10x

0

(t) + 169x(t) = 24e

5t

sin(12t) + 1690e

−5t

sin(12t) + 144e

5t

+ 1690 .

(2 pt.)

Znale´z´c rozwia

,

zanie zagadnienia pocza

,

tkowego



x

00

(t) − 10x

0

(t) + 169x(t) = 24e

5t

sin(12t) + 1690e

−5t

sin(12t) + 144e

5t

+ 1690

x(0) = 7.

5. (10 pt.) Znale´z´c rozwia

,

zanie og´olne r´ownania

x

00

(t) + 2x

0

(t) + x(t) = 2e

−t

√

t + 1 .