Matematyka A, kolokwium, 6 czerwca 2012, 18:05 — 20:00
Rozwia
,
zania r´o˙znych zada´
n maja
,
znale´z´c sie
,
na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be
,
da
,
r´o˙zne osoby.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza
,
cego, jego
nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej ´cwiczenia.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n elektro-
nicznych; je´sli kto´s ma, musza
,
by´
c schowane i wy la
,
czone! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.
Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdzenia, kt´ore zosta ly
udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
Nale˙zy przeczyta´c
CAÃLE
zadanie
PRZED
rozpocze
,
ciem rozwia
,
zywania go!
1. (6 pt.) Znale´z´c rozwia
,
zanie og´olne r´ownania x
0
(t) = ctg t · x(t) + sin t + sin t · ln t na przedziale
otwartym (−
π
2
,
π
2
) .
(4 pt.) Znale´z´c rozwia
,
zanie zagadnienia pocza
,
tkowego
x
0
(t) = ctg t · x(t) + sin t + sin t · ln t,
x(0) = 0.
2. (1pt.)
Rozwia
,
za´c r´ownanie λ
2
− 3λ − 10 = 0 .
(1 pt.)
Znale´z´c rozwia
,
zanie og´olne r´ownania
x
00
(t) − 3x
0
(t) − 10x(t) = 0 .
(8 pt.)
Znale´z´c rozwia
,
zanie og´olne r´ownania
x
00
(t) − 3x
0
(t) − 10x(t) = (5 − 294t
2
)e
−2t
+ 25e
2t
+ 15 cos 2t .
3. Niech M =
5 −3 −6
−1
1
2
2 −2 −2
, v =
2
0
1
.
(1 pt.)
Znale´z´c iloczyn M · v .
(5 pt.)
Znale´z´c rozwia
,
zanie og´olne uk ladu r´owna´
n x
0
(t) = M · x(t) .
(1 pt.)
Znale´z´c rozwia
,
zanie uk ladu r´owna´
n x
0
(t) = M · x(t) spe lniaja
,
ce warunek x(0) =
2
0
1
.
(3 pt.)
Znale´z´c rozwia
,
zanie uk ladu r´owna´
n x
0
(t) = M · x(t) spe lniaja
,
ce warunek x(0) =
0
1
0
.
4. (2 pt.)
Znale´z´c rozwia
,
zanie og´olne r´ownania
x
00
(t) − 10x
0
(t) + 169x(t) = 0 .
(6 pt.)
Znale´z´c rozwia
,
zanie og´olne r´ownania
x
00
(t) − 10x
0
(t) + 169x(t) = 24e
5t
sin(12t) + 1690e
−5t
sin(12t) + 144e
5t
+ 1690 .
(2 pt.)
Znale´z´c rozwia
,
zanie zagadnienia pocza
,
tkowego
x
00
(t) − 10x
0
(t) + 169x(t) = 24e
5t
sin(12t) + 1690e
−5t
sin(12t) + 144e
5t
+ 1690
x(0) = 7.
5. (10 pt.) Znale´z´c rozwia
,
zanie og´olne r´ownania
x
00
(t) + 2x
0
(t) + x(t) = 2e
−t
√
t + 1 .