Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu 

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza  

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

 

 

 

Elementy przynależne 
 

O elementach przynależnych mówi się wówczas, gdy tworzą one zbiór zawierający 
wspólny punkt lub prostą. Można wyróżnić przynależność: 
 



  punktu i prostej, 



 

prostej i płaszczyzny, 



 

punktu i płaszczyzny. 



   

Punkt i prosta przynależne do siebie 

 
Zgodnie z tym punkt A leżący na prostej m lub prosta m przechodząca przez punkt A 
tworzą parę elementów przynależnych do siebie. 
 
Oznacza to, że ich jednoimienne rzuty także przynależą do siebie. 
 
Zadanie 1 
Dane są rzuty prostej m oraz punktów A,B,C (rys.1). Określić, pomiędzy którymi 
elementami zachodzi związek przynależności?  
 

x

A''

B''

C''

A'

B'

C'

m''

m'

 

Rys.1 

Odpowiedź: 
Przynależne elementy to pary: m, A oraz m, C. 
Nie przynależą do siebie m oraz B. 

 

 

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu 

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza  

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

 

 

 

Prosta i płaszczyzna przynależne do siebie 
 

Zw

iązek przynależności ma miejsce w dwóch przypadkach: 

 



 

dwa różne punkty prostej leżą na tej płaszczyźnie; 



 

prosta przechodzi przez punkt leżący na tej płaszczyźnie i jest równoległa do 
prostej leżącej na tej płaszczyźnie. 

 

Zadanie 2 
Płaszczyzna 



  opisana  jes

t  punktami  A,  B,  C  stanowiącymi  wierzchołki  trójkąta 

(



=ABC) (rys.2). Wykreślić rzuty  prostej dowolnej l, leżącej na tej płaszczyźnie, ale 

nie przechodzącej przez żaden z danych wierzchołków. 

x

A''

B''

C''

A'

B'

C'

 

Rys.2 

 

 

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu 

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza  

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

 

 

 

 

Znaleźć należy dwa inne niż A,B,C punkty. Pierwszy z nich (1) leżeć będzie na 
prostej  a przechodzącej przez punkty A i B (rys.3). 
 

x

A''

B''

C''

A'

B'

C'

a''

a'

1'

1''

 

Rys.3 

 

 

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu 

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza  

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

 

 

 

 
Drugi punkt (2) obrać należy na prostej b, wyznaczonej przez punkty B i C (rys.4). 

 

x

A''

B''

C''

A'

B'

C'

a''

a'

1'

1''

b''

b'

2''

2'

 

Rys.4 

 

 

 

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu 

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza  

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

 

 

 

 
Punkty 1 i 2 leżą na płaszczyźnie, zatem poprowadzona przez nie prosta l także leży 
na płaszczyźnie, co rozwiązuje zadanie (rys.5). 
 
 

x

A''

B''

C''

A'

B'

C'

a''

a'

1'

1''

b''

b'

2''

2'

l''

l'

 

Rys.5 

 

 

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu 

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza  

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

 

 

 

 

Zadanie 3 
Płaszczyzna 



 

opisana jest dwiema prostymi równoległymi m oraz n (



=mn) (rys.6). 

Wykreślić rzuty prostej czołowej c, leżącej na tej płaszczyźnie. 
 

x

m''

m'

n''

n'

 

Rys.6 

 

 

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu 

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza  

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

 

 

 

 

Można wykreślić rzut poziomy c’ prostej czołowej c, jako równoległy do osi rzutów x. 
Przecina się on z rzutami m’ oraz n’ określając rzuty 1’ i 2’ punktów 1 i 2. (rys.7). 
 

x

m''

m'

n''

n'

c'

1'

2'

 

Rys.7 

 

 

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu 

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza  

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

 

 

 

 

Wykorzystując  proste  odnoszące,  znajduje  się  rzuty  pionowe  1’’  i  2’’  punktów  na 
przecięciu z rzutami pionowymi m’’ i n’’ prostych,  a także przeprowadzony przez nie 
rzu

t pionowy c’’ prostej czołowej (rys.8). 

 
 

x

m''

m'

n''

n'

c'

1'

2'

1''

2''

c''

 

Rys.8 

 

 

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu 

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza  

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

 

 

 

 
 
Zadanie 4 
Płaszczyzna 



 opisana jest przez  rzuty prostej m i punktu A (



=mA). Należy 

wykreślić rzuty prostej poziomej p,  leżącej na płaszczyźnie. 

 

x

m''

m'

A'

A''

 

Rys.9 

 

 

 

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu 

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza  

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

 

 

 

Rzut pionowy p’’ prostej p wykreślić można wprost, jako równoległy do osi rzutów x, 
przechodzący przez rzut A’’ i przecinający rzut m’’ w punkcie 1’’ (rys.10). 
 
 

x

m''

m'

A'

A''

1''

p''

 

Rys.10 

 

 

 

 

 

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu 

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza  

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

 

 

 

Za pomocą prostej odnoszącej wyprowadzonej z rzutu 1’’ punktu 1 znajduje się 1’ na 
przecięciu z m’. Poszukiwany drugi rzut p’ przechodzi przez A’ oraz 1’. (rys.11). 
 

x

m''

m'

A'

A''

1''

p''

1'

p'

 

 

Rys.11 

 
 

 

 

 

 

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu 

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza  

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

 

 

 

Przynależność prostej i płaszczyzny, gdy dane są ślady prostej i 
płaszczyzny 
 
Je

śli prosta m i płaszczyzna 



 

przynależą do siebie w przestrzeni, to na 

płaszczyźnie  rysunku 



=



1

=



2

 

ich  jednoimienne  ślady  także  przynależą 

do  siebie  (rys.12).  Oznacza  to,  że  ślad  poziomy  H

m

  prostej  m 

leży  na 

śladzie  h



 

płaszczyzny 



,  a  ślad  pionowy  prostej  V

m 

leży  na  śladzie 

pionowym v



 

płaszczyzny. 

x

v



X



h



V

m

m''

m'

V'

m

H''

m

H

m

 

Rys.12

 

 

 

 

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu 

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza  

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

 

 

 

Na  szczególną  uwagę  zasługują  dwie  proste  charakterystyczne, 
spełniające warunki przynależności do płaszczyzny. Są to: 
 



 

Prosta pozioma m przynależna do płaszczyzny 



 (rys.13). 

 

x

v



X



h



V

m

m''

m'

V'

m

 

Rys.13 

 

Prosta  taka  nie  posiada  śladu  poziomego  Hm,  bo  z  definicji  nie  przecina  rzutni 

poziomej.  Zamiast  tego  jej  rzut  poziomy 

m’  zachowuje  równoległość  do  śladu 

poziomego płaszczyzny h



. 

Istniejący ślad pionowy Vm prostej m zgodnie z definicją 

leży  na  śladzie  pionowym  v



 

płaszczyzny 



. 

Dla  wygody  można  taką  prostą 

oznaczyć jako p.

 

 

 

 

Projekt Podbeskidzka Strefa Edukacji: Rozwój potencjału dydaktycznego i doskonalenie procesu 

kształcenia w Bielskiej Wyższej Szkole im. J. Tyszkiewicza  

współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

 

 

 



 

Prosta czołowa m przynależna do płaszczyzny 



 (rys.14) 

x

v



X



h



H

m

m''

m'

H''

m

 

Rys.14 

 

 

Prosta  taka  nie  posiada  śladu  pionowego  Vm,  bo  z  definicji  nie  przecina  rzutni 

pionowej.  Zamiast  tego  jej  rzut  pionowy 

m’’  zachowuje  równoległość  do  śladu 

pionowego płaszczyzny v



. 

Istniejący ślad poziomy Hm prostej m zgodnie z definicją 

leży  na  śladzie  poziomym  h



 

płaszczyzny 



. 

Dla  wygody  można  taką  prostą 

oznaczyć jako c.