plik

1.1  Wyjaśnić pojęcia: automatyka, automatyzacja,
teoria   sterowania,   sterowanie   ręczne,   sterowanie
automatyczne.
1.2  Scharakteryzować   krótko   historię   rozwoju
automatyki.
1.3  Wyjaśnić   istotę   sterowania   w   układzie
zamkniętym i w układzie otwartym.
1.4 Czym różni się sterowanie od regulacji?
1.5  Omówić   wady   i   zalety   sterowania   w   układzie
otwartym i zamkniętym.
1.6  Wyjaśnić   pojęcia:   sygnał   wejściowy,   sygnał
wyjściowy,   sygnał   uchybu,   regulator,   człon
wykonawczy,   obiekt   sterowania,   sprzężenie
zwrotne, przewodnik pomiarowy.
2.1 Przedstawić istotę oraz podstawowe właściwości
ciągłego przekształcenia Laplace`a
2.2  przedstawić   sposób   wyznaczania   oryginału
transformaty Laplace`a na podstawie:
-metod rozkładu na ułamki proste
-metody residuów
-rozkładu sygnału wejściowego na składniki.
2.3  Omówić   problem   dyskretyzacji   sygnału
ciągłego.
2.4

Scharakteryzować strukturę układu

dyskretnego.
2.5  Podać przykłady kwantyzacji oraz próbkowania
sygnału.
2.6  Jaką   funkcję   w   układzie   sterowania   spełnia
impulsator (przewodnik analogowo-cyfrowy)?
2.7  Jaką   funkcję   w   układzie   sterowania   spełnia
ekstrapolator (przewodnik cyfrowo-analogowy)?
2.8  Narysować   przykładowe   widmo   ciągłego   i
dyskretnego sygnału harmonicznego.
2.9

Sformułować twierdzenia Shannona-

Kotielnikowa.
2.10  Podać   istotę   i   podstawowe   właściwości
dyskretnego przekształcenia.
2.11 Omówić metody odwrotnego przekształcenia.
3.1  Wymienić   podstawowe   formy   opisu   układu
dynamicznego.
3.2  Przedstawić   opis   układu   za   pomocą   równań
różniczkowych.
3.3  Przedstawić   opis   układu   za   pomocą   równań
różnicowych.
3.4  Scharakteryzować   opis   układu   ciągłego   i
dyskretnego za pomocą transmitancji operatorowej.
3.5  Scharakteryzować   opis   układu   ciągłego   i
dyskretnego za pomocą transmitancji widmowej.
3.6  Co to jest charakterystyka   statyczna układu?
Podaj   sposób   jej   wyznaczania   na   podstawie
eksperymentu,   równania   różniczkowego   i
transmitancji operatorowej
3.7  Przedstawić   opis   układu   ciągłego   za   pomocą
równań stanu.
3.8 Przedstawić opis układu dyskretnego za pomocą
równań stanu.
3.9 Wyprowadzić związek między równaniami stanu
a transmitancją dla układu ciągłego i dyskretnego.
3.10  Omówić podstawowe charakterystyki czasowe
układu ciągłego i dyskretnego
3.11  Analityczne   i   eksperymentalne   wyznaczanie
charakterystyk częstotliwościowych.
4.1  Wymienić   i   omówić   standardowe   sygnały
wymuszające.
4.2

Scharakteryzować klasyczne metody analizy.

4.3

Omówić operatorowe metody analizy.

4.4 Jakie są podstawowe zasady budowy
schematów blokowych?
4.5 Podstawowe metody przekształcenia schematów
blokowych – omówić i podać przykłady.
4.6

Wyprowadzić zależności określające

transmitancje ciągłego i dyskretnego układu:
otwartego, zamkniętego oraz uchybową.
4.7 Omówić metody dyskretnej aproksymacji

układów ciągłych
4.8

Wymienić i podać interpretacje fizyczną

podstawowych parametrów członów dynamicznych.
Oblicz parametry dla zadanej postaci transmitancji

układu
4.9 Przedstawić problem wyznaczania uchybu

ustalonego
4.10 Omówić podstawowe człony dynamiczne

(proporcjonalny, inercyjny pierwszego rzędu,
całkujące, różniczkujące, inercyjne drugiego rzędu i

opóźniający )
4.11

Zapisać transmitancje układu ciągłego bez zer

i z zerami w przestrzeni stanów
4.12

zapisać transmitancje układu dyskretnego bez

zer i z zerami w przestrzeni stanów.
4.13

co to są wartości własne układu ?

4.14

odpowiedz czasowa układu swobodnego i

wymuszonego, opisanego równaniami stanu

5.1

Wyjaśnij pojęcia: układ stabilny

asymptotycznie,   stabilny   nieasymptotycznie,
stabilny globalnie, stabilny lokalnie i niestabilny
5.2 Co to jest punkt (stanu) równowagi
5.3  Podać   warunek   konieczny   i   wystarczający
stabilności asymptotycznej układu ciągłego
5.4  Algebraiczne   kryteria   stabilności   ciągłych
układów dynamicznych
5.5  Częstotliwościowe   kryteria   stabilności   ciągłych
układów dynamicznych
5.6  Podać   warunek   konieczny   i   wystarczający
stabilności asymptotycznej układu dyskretnego
6.1 Przedstawić istotę problemu układu regulacji
6.2

Napisać transmitancje oraz narysować

charakterystyki   skokowe   i   częstotliwościowe
podstawowych regulatorów analogowych
6.3  Napisać   równania   podstawowych   regulatorów
dyskretnych
6.4  Wymienić   metody   zwiększenia   dokładności
statycznej układu
6.5  Synteza   układów   regulacji   bazująca   na
rozkładzie

pierwiastków

równania

charakterystycznego
6.6 Scharakteryzować metody czasowe syntezy
ciągłych i dyskretnych układów regulacji (zasada
zieglera-nicholsa)

6.7  Scharakteryzować   metody   przestrzeni   stanów
syntezy układów ciągłych
6.8  Przedstawić  sposób   wyznaczania   transmitancji
regulatora   dla   zadanej   transmitancji   dyskretnego
układu zamkniętego

6.9  scharakteryzować   metody   przestrzeni   stanów
syntezy układów dyskretnych
1.1.
Automatyka - dziedzina nauki i techniki zajmujaca
się   teorią   i   praktyczną   realizacją   nadzoru   i
sterowania obiektami technologicznymi bez udziału
lub   z   ograniczonym   udziałem   człowieka.   W
automatyce   mozemy   wydzielić   3   podstawowe
działy:
- podstawy teoretyczne automatyki
- budowa elementów i urządzeń automatyki
-   zastosowanie   automatyki   w   różnych   dziedzinach
techniki
Automatyzacja  to   znaczne   ograniczenie   lub
zastąpienie   (proces   zastępowania)   ludzkiej   pracy
fizycznej   i   umysłowej   przez   pracę   maszyn
działających   na   zasadzie   samoregulacji   i
wykonujących   określone   czynności   bez   udziału
człowieka. Również zastosowanie maszyn do pracy
niemożliwej do wykonania w inny sposób.
Teoria   sterowania  jest   działem   nauki   i   techniki
zajmującym   się   zachowaniem   układów
dynamicznych   w   czasie.   Sterowaniem   obiektu
nazywa   się   oddziaływanie   za   pomocą   sygnałów
wejściowych na proces zachodzący w obiekcie, tak
aby   sygnał   wyjściowy   miał   pożądaną   wartość   lub
przebieg   czasowy.   Inaczej   mówiąc,   jest   to   więc
celowe   oddziaływanie   na   obiekt   za   pośrednictwem
wielkości wejściowych, aby jego wielkości wyjściowe
przyjęły określoną postać lub wartość
Sterowanie ręczne - sterowanie prowadzone przez
człowieka,   na   strumień   wyjściowy   (zmianę   jego
wartości) wpływa człowiek
Sterowanie   automatyczne

- sterowanie

prowadzone   przez   specjalne   urządzenie   sterujące
(realizowane   przez   układ   sterujący),   na   strumień
wyjściowy   (zmianę   jego   wartości)   wpływa
urządzenie sterujące
1.3
Sterowanie   w   układzie   otwartym  –   na   obiekt
sterowania   oddziałujemy   wielkością   sterującą
zmienianą   w   świadomy   sposób,   tak   aby   wielkość
wyjściowa przyjmowała określona wartość. Wielkość
wyjściowa   nie   wpływa   na   wielkość   wejściową.
Ponieważ   na   obiekt   mogą   działać   zakłócenia
(wielkości   podlegające   zmianom   przypadkowym),
dlatego  też   wartość   wyjściowa   pod   wpływem   tych
zakłóceń   (zewnętrznych)   często   odchyla   się   od
wartości   żądanej.   Ze   względu   na   oddziaływanie
jednokierunkowe   w   torze   sterowania,   wielkość
sterująca powinna być dostosowana do zakłóceń jak
i do wielkości wyjściowej. Np. Sygnał radiowy
Sterowanie   w   układzie   zamkniętym

–

Urządzenie   sterujące   wyznacza   wartości   sygnału
sterującego   na   podstawie   wartości   sygnału
wejściowego   i   wyjściowego.   Np.   Pływakowy
regulator poziomu wody.
1.4
Ze   sterowaniem   mamy   do   czynienia   w   układzie
otwartym, z regulacją zaś w układzie zamkniętym,
gdzie układ podlega samoregulacji.
1.5
Układ   zamknięty   jest   o   wiele   praktyczniejszy   i
lepszy od układu otwartego. Sterowanie w układzie
otwartym  jest fatalne, wiąże się to z tym że brak
jest   sprzężenia   zwrotnego   (występuje   ono   w
układzie   zamkniętym).   W   układzie   otwartym   na
obiekt sterowania mogą działać zakłócenia, dlatego
wielkość  wyjściowa często odchyla się znacznie od
wartości żądanej. Natomiast w układzie zamkniętym
wielkość   wyjściowa   jest   ściśle   wyznaczona   przez
wartość sygnału wejściowego.
1.6
Sygnał   wejściowy  –   strumień   materiałowy,
energetyczny   lub   informacyjny,   którego   natężenie
możemy   zmieniać,   mogący   wpływać   na   procesy
fizyczne zachodzące w obiekcie
Sygnał   wyjściowy  -   strumień   materiałowy,
energetyczny   lub   informacyjny   będący   wynikiem
przetwarzania w obiekcie strumieni wejściowych.
Sygnał   uchybu   (błąd   regulacji)  -   róznica
sygnałów e(t): zadanego w(t) i regulowanego y(t),
porównanych   na   wejściu  regulatora.   Na   podstawie
wartości   sygnału   błędu   e(t),   regulator   wytwarza
odpowiedni  sygnał  sterujący u(t),  tak  aby wartość
błedu   była   możliwie   bliska   zeru.   (Inaczej   mówiąc
jest to różnica sygnału wejściowego i wyjściowego)
Regulator  –   urządzenie   przetwarzające   sygnał
uchybu na sygnał sterujący obiektem
Człon wykonawczy – przetwarza sygnał wyjściowy
z   regulatora   na   sygnał   o   naturze   fizycznej,
przystosowany do sterowania obiektem..
Obiekt   sterowania  -   urządzenie,   w   którym
zachodzi   proces   technologiczny,   czyli  czynność  lub
zespół   czynności,   polegających   na   przetwarzaniu
pewnych wielkości fizycznych z danej formy na inną.
Z punktu widzenia automatyki obiekt lub proces w
nim   zachodzący   są   więc   pojęciami   prawie
równoznacznymi.   Obiekty   można   dzielić   tak   jak
procesy.   Obiekt   jest   to   element   dla   króego
budowany   jest   układ   sterowania   powiązany   z
otoczeniem   przez   oddziaływania,   którymi
wprowadza   się   lub   wyprowadza   różnorodne
strumienie.
Sprzężenie   zwrotne

– wartość sygnału

wyjściowego, mająca wpływ na sygnał sterujący.
Przetwornik pomiarowy – przetwarza wielkość
regulowaną na wielkość odpowiednią dla danego
elementu regulacyjnego.

2.1

Przekształcenie Laplace’a
F(s)=L[f(t)]=

∫

∞

f(t)e

-st

stosowane   jest   w   celu   usystematyzowania
rozwiązywania równań różniczkowych.
Przekształcenie Laplace'a:
Zalety:
- włącza automatycznie warunki początkowe
-   rozwiązanie   uzyskuje   się   przez   proste   operacje
algebraiczne
-   umożliwia   proste   ujęcie   nieciągłych   sygnałów
wejściowych
-   rozwiązania   ogólne   i   szczególne   uzyskuje   się
jednocześnie.
Właściwości:
- liniowość
L[a

(t)+a

(t)]=a

(s)+a

(s)

- przesunięcie w dziedzinie zmiennej rzeczywistej
L[f(t-t

)*1(t-t

)]=e

-st0

F(s)

- różniczkowanie w dziedzinie zmiennej rzeczywistej
L[d

f(t)/dt

]=s

F(s)-∑(k=0..n-1) s

n-k-1

(k)

), a gdy

n=1 to:
L[df(t)/dt]=sF(s)-f(0

)

- transformata funkcji okresowej
jeśli f(t)=f(t+kT), k=1, 2, 3,…
oraz F

(s)=

∫

f(t)e

-st

dt to:

L[f(t)]= F

(s)/1-e

-sT

- wartość końcowa
lim

t->0

f(t)= lim

s->0

sF(s)

- wartość początkowa
lim

t->∞

f(t)= lim

s->∞

sF(s)

2.2.
Wyznacz. oryginału transformaty:
• metoda rozkładu na uł. Proste
• metoda residuów
• rozkładu sygnału wejściowego na składniki
2.3.
Dyskretyzacja sygnału:
Jest   to   przekształcenie   sygnału   ciągłego   w
dyskretny. Rozróżnia  się dyskretyzację w poziomie
(kwantowanie)   (występuje   w   układach
przekaźnikowych) i dyskretyzację sygnału w czasie
(próbkowanie). Układy dyskretne (cyfrowe) mogą
być   układami   liniowymi   lub   nieliniowymi   (jeśli
występuje   proces   kwantyzacji).   Są   układami
regulacji automatycznej, w których informacja jest
przekazywana   tylko   w   dyskretnych   chwilach,
zwanych   chwilami   impulsowania   (próbkowania).
Przedstawienie   sygnału   ciągłego   w   postaci   ciągu
impulsów  jest  nazywane  modulacją  impulsową i  w
teorii jest realizowane za pomocą impulsatora.
2.4.
Struktura układu dyskretnego:
(elementy układu regulacji)
• impulsator - element przetwarzający sygnał ciągły
e(t) na impulsy e*(t)
•  regulator  impulsowy  -  przetwarza  ciąg  impulsów
e*(t) w ciąg impulsów u*(t)
•   ekstrapolator   -   ciąg   impulsów   u*(t)   jest
zastępowany np. funkcją schodkową u(t)
(elementy układu o charakterze aplikacyjnym)
•   przetwornik   A/C   –   przetwornik   analogowo-
cyfrowy,   próbkując   cyklicznie   sygnał   uchybu   e(t)
przetwarza go na sygnał cyfrowy (binarny) e*(t),
• regulator cyfrowy - urzadzenie mikroprocesorowe,
które  w  wyniku  cyklicznego  przetworzenia  sygnału
e*(t)   wyznacza   potrzebną   wartość   sygnału
sterującego u*(t)
•   przetwornik   C/A   przekształca   wprowadzaną
cyklicznie   wartość   sygnału   sterującego   u*(t)   na
schodkowy sygnał sterujący u(t)
• proces – obiekt regulacji o charakterze ciągłym
2.5.
a) Przykład kwantylizacji sygnału

b) Przykład próbkowania sygnału

2.6.
Impulsator  w   układzie   sterowania   jego   funkcję
spełnia przetwornik analogowo-cyfrowy. Ze względu
na   trudny   opis   matematyczny   takiego  impulsatora
stosuje   się   pewien   idealny   jego   model,   zwany
impulsatorem idealnym.  W modelu tym każdy z
impulsów   rzeczywistych   jest   zastąpiony   przez
impuls   o   nieskończenie   małej   szerokości,
nieskończenie   dużej   wysokośći   i   o   powierzchni
jednostkowej   pomnożonej   przez   wartość   funkcji   w
chwilach próbkowania.
2.7.
W   każdym   dyskretnym   układzie   sterowania
występuje   przynajmniej  1   ekstrapolator.   W
układzie praktycznym funkcję tę spełnia przetwornik
cyfrowo-analogowy.   Jego   zadaniem   jest
aproksymacja sygnału między kolejnymi próbkami,
zwykle   funkcją   stałą.   W   procesie   ekstrapolacji
można   uwzględniać   jedynie   przeszłe   i   bieżące
wartości   dyskretne   sygnału   (ze   względu   na
realizowalność fizyczną).
2.8.
Widmo sygnału impulsowego jest sumą wielokrotnie
powtórzonego   sygnału   ciągłego,   przesuniętego   o
wielokrotność  w

=2pi/T

a) widmo częstotliwościowe sygnału ciągłego

b) widmo częstotliwościowe dyskretnego sygnału
harmonicznego (próbkowanego)

2.9.
Twierdzenia Shannona-Kotielnikowa:
Sygnał   ciągły   może   być   ponownie   odtworzony   z
sygnału   dyskretnego,   jeśli   był   próbkowany   z
częstotliwością   co   najmniej   dwa   razy   większą   od
granicznej częstotliwości swego widma.
2.10
Przekształcenia dyskretne transformaty Z:
Służą   do   opisu   i   analizy   układów   dyskretnych.
Stanowią   odpowiednik   przekształcenia   Laplace'a   w
analizie   układów   ciągłych.   Przekształceniem   Z
dyskretnej   funkcji   czasu   f*(t)   jest   przekształcenie
operatorowe:
Z [f*(t)] = Z [f(kT)] = F(z)
określone wzorem:
F(z) = ∑ f(kT)z

-k

Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych,
które rosną nie szybciej od funkcji wykładniczych.
Właściwości:
- liniowość
Z[af

(kT)+bf

(kT)]=aF

(z)+bF

(z)

- przesunięcie w dziedzinie czasu
Z[f(kT+mT)*1(kT)]=z

[F(z)- ∑(n=0..m-1) f(nT)z

-n

]

- transformata różnicy
Z[∆f(k)]=(z-1)F(z)-zf(0), Gdzie ∆f(k)= f[(k+1)T-
f(kT) różnica 1 rz
- wartość końcowa
lim

k->∞

f(kT)= lim

z->1

(z-1)F(z)

2.11.
Odwrotne przekształcenie Z:
Jest to proces wyznaczania wartości dyskretnych
funkcji f(kT) na podstawie znajomości transformaty
F(z).
Z

-1

[F(z)] = f(kT), k=0, 1, 2, ...

Odwrotne przekształcenie Z można zrealizować
metodami:
• rozkładu na ułamki proste
• szeregu potęgowego
• residuów.
3.1.
Formy opisu układu dynamicznego:
• równania różnicowe
• transmitancje (operatorowe, widmowe)
• równania stanów
• charakterystyki czasowe lub częstotliwościowe
3.2.
Równania różniczkowe:
Równanie różniczkowe zwyczajne, opisujące ciągły,
jednowymiarowy obiekt sterowania o stałych
skupionych ma ogólną postać:
F=(y,y’,…,y

(n)

,u,u’,…u

(m)

,z,z’,…, z

(k)

,t)=0

Gdzie: y–sygnał wy, u–sygnał we z – zakłócenia
Równanie   to   w   przypadku   ogólnym   opisuje
jednowymiarowy obiekt nieliniowy i niestacjonarny.
Gdy   obiekt   jest   stacjonarny,   w   równaniu   nie
występuje   bezpośrednio   zależność   od   czasu
(współczynniki   równania   są   stałe).   Natomiast,   gdy
obiekt   jest   linowy,   równanie   to   jest   liniową
kombinacją   sygnałów   i   ich   pochodnych.   W
przypadku ciągłego i stacjonarnego układu liniowego
równanie można zapisać w postaci:
a

y(t)/dt

+...+ a

dy(t)/dt+ a

dy(t) =

u(t)/dt

+...+

du(t)/dt+

u(t)+

z(t)/dt

+...+c

dz(t)/dt+ c

z(t)

Zależnie   od   warunków   pracy   rozróżnia   sie   4
przypadki:
1) Na obiekt działa zarówno sygnał sterujący u(t),
jak i sygnał (lub sygnały) zakłucający z(t)
2)   Na   obiekt   działa   tylko   sygnał   sterujący
(zakłócenie = 0)
3)   Na   obiekt   działa   tylko   zakłócenie   (sygnał
sterujący = 0)
4) Na obiekt nie działają żadne sygnały zewnętrzne.
3.4.
a) Transmitancja operatorowa układu ciągłego
to   wielkość   określona   jako   stosunek   transformaty
Laplace’a   Y(s)   sygnału   wyjściowego   obiektu     do
transformaty   U(s)   sygnału   wejściowego   (przy
zerowych warunkach początkowych).
G(s) = Y(s) / U(s)
Dla   układów   opisanych   liniowymi   równaniami
różniczkowymi   o   stałych   współczynnikach
transmitancja   jest   funkcją   wymierną   zmiennej
zespolonej s, (iloraz 2 wielomianów o postaci):
G(s) = L(s) / M(s) = b

+.+b

s+b

+.+a

s+a

Pierwiastki  licznika to  tzw.  zera, a  mianownika  to
bieguny transmitancji.
Gdy układ posiada  r wejść  oraz  m wyjść  definiuje
się wówczas macierz transmitancji:
           [G

(s) G

(s) … G

(s)]

G(s) = [G

(s) G

(s) … G

(s)]

(s) G

(s) … G

(s)]

gdzie:
G

(s)=Y

(s)/U

(s), i=1..m, j=1..r

Zaletą   zapisu  przy   pomocy   macierzy   transmitancji
jest   to,   że   transmitancje   stanowiące   elementy   tej
macierzy   reprezentują   właściwości   dynamiczne
poszczególnych części układu. Wadą natomiast jest
ujęcie   wszystkich   własności   dynamicznych   w

określonych   przypadkach.   (np.   poszczególne   we
oddziałują na wy obiektu)
Opis   w   przestrzeni   stanów   pozwala   na   pełniejsze
przedstawienie  zjawisk  dynamicznych  oraz  stwarza
dogodne warunki do obliczeń.
b)

Transmitancja operatorowa układu

dyskretnego
to   wielkość   określona   jako   stosunek   dyskretnej
transformaty   Laplace’a   Y(z)   sygnału   wyjściowego
obiektu  do transformaty U(z) sygnału wejściowego
(przy zerowych warunkach początkowych).
G(z) = Y(z) / U(z)
Dla   dyskretnych   układów   opisanych   liniowymi
równaniami

różniczkowymi

stałych

współczynnikach   transmitancja   jest   funkcją
wymierną   zmiennej   zespolonej   z,   (iloraz   2
wielomianów o postaci):
G(z) = L(z) / M(z)
Pierwiastki  licznika to  tzw.  zera, a  mianownika  to
bieguny transmitancji.
Gdy układ dyskretny posiada p wejść oraz q wyjść
definiuje się wówczas macierz transmitancji:
           [G

(z) G

(z) … G

(z)]

G(z) = [G

(z) G

(z) … G

(z)]

(z) G

(z) … G

(z)]

gdzie:
G

(z)=Y

(z)/U

(z)

Transformatę sygnału wyjściowego można zapisać
jako:
Y(z) = G(z)U(z)
Gdy:
[U

(z)] [Y

(z)]

U(z)=[ . . . ] Y(z)= [ . . . ]
[Up(z)] [Y

(z)]

3.5.
Transmitancją   widmową   G(jw)   liniowego
układu stacjonarnego  nazywa się iloraz wartości
zespolonej   wartości   zespolonej   odpowiedzi   Y(jw)
wywołanej   wymuszeniem   harmonicznym   do
wartości zespolonej U(jw) tego wymuszenia:
G(jw)=Y(jw) / U(jw)
Transmitancję   widmową   wyznacza   się   z
transmitancji operatorowej:
G(jw)=G(s) |

s=jw

Wynika to z faktu, że przekształcenie Fouriera dla
s=jw jest szczególnym przypadkiem przekształcenia
Laplace’a. Transmitacja widmowa (odpowiadająca
transmitacji operatorowej) ma postac:
G(z) = b

(jw)

+.+b

(jw)+b

(jw)

+.+a

(jw)+a

Równanie to możemy przedstawić w postaci:
a) jako iloraz 2 wielkości zespolonych:
b)

jako suma składnika rzeczywistego

rzeczywistego urojonego (post algebraiczna)
c) w postaci wykładniczej
d) w postaci trygonometrycznej.
Dyskretną   transmitancją   widmową  nazywa   się
zależność:
G(jwp)=Y(jwp) / U(jwp)
Ze   względu   na   to   ze   jest   to   wielkość   zespolona
otrzymujemy:
G(jwp)=P(wp) / jQ(wp)    gdzie:
P(wp)=Re[G(jwp)], Q=Im[G(jwp)]
Między   dyskretną   transmitancją   widmową   a
dyskretną transmitancją zachodzi zależność:
G(jwp)=G(z) |

z=e

jwp

Dyskretna transmitancja widmowa jest funkcją
okresową pulsacji w

o okresie 2 pi

G(jwp+2npi)=G((jwp) n=0,1,2,…
Macierz   dyskretnych   transmitancji   widmowych
układu   wielowymiarowego   jest   definiowana
identycznie jak macierz układu ciągłego.
3.6
Charakterystyka   statyczna   układu  jest   to
zależność   sygnału   wyjściowego   od   wejściowego
(istotna właściwość obiektu w stanie ustalonym).
a)

Eksperymentalnie punkt leżący na

charakterystyce   statycznej   wyznacza   się
wprowadzając   na   wejście   obiektu   stały   sygnał   i
mierząc   w   stanie   ustalonym   jego   wyjście.
Dokonując   pomiaru   dla   różnych   (ale   stałych)
wartości   sygnału   wejściowego,   otrzyma   się   zbiór
punktów,   który   po   odpowiedniej   aproksymacji
stanowi chartka. statyczną.
b)  Z   równania   różniczkowego   wyznacza   się   tą
charakterystykę   w   ten   sposób,   że   porównujemy
wszystkie pochodne do zera.
c)  Charakterystykę   statyczną   z   transmitancji
operatorowej wyznacza się przyjmując s=0.
y= (b

)*u

a jej współczynnik nazywany jest współczynnikiem
wzmocnienia.
3.7.
Równania stanu układu są układem n równań
różniczkowych pierwszego rzędu (w ogólnym
przypadku

nieliniowych

niestacjonarnych).

Równania te uzupełniają równania we, które są
równaniami algebraicznymi (pokazują w jaki sposób
wektor zmiennych stanu x(t) i sterowanie u(t)
oddziałują

y(t):

Postać

wektorowo-maciwrzowa:

x'(t)=A(x)+Bu(t)
y(t)=Cx(t)+Du(t)

gdzie:

n-wymiarowy

wektor

stanu

u(t)

r-wymiarowy

wektor

ster.

y(t)

m-wymiarowy

wektor

A - nxn-wymiarowa macierz stanu
B - nxr-wymiarowa macierz sterowań (wejść)
C

mxn-wymiarowa

macierz

D   -   mxr-wymiarowa   macierz   transmitancyjna
(bezpośredniego oddziaływania we na wy)
Gdy   układ   jest   jednowymiarowy   (r,m=1)   w
powyższych   równaniach   należy   zastąpić
wielkościami skalarnymi u(t) oraz y(t). Macierze B i
C przedstawić odpowiednio nx1 oraz 1xn.
3.8
Równania stanów układów dyskretnych:

Mamy dane równanie stanu układu ciągłego o
postaci:
x'(t)=A

(x)+B

u(t)

y(t)=C

x(t)+D

u(t)

Dla warunku początkowego x(t

)=x(kT) w chwili

t=(k+1)T równanie ma postać:
X(k+1)=e

AcT

x(k)+

∫

(k+1)T

Ac[(k+1)T-t]

u(t) dt

Zakładając,   że   dyskretyzacja   układu   ciągłego   jest
dokonywana   poprzez   wprowadzenie   do   układu
impulsatora   i   ekstrapolatora   zerowego   rzędu,   w
wyniku   czego   sygnał   u(t)   jest   wielowymiarową
funkcją schodkową więc mamy:
x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)
y(k)=Cx(k)+Du(k)  gdzie:
A=exp(A

T)≈I+A

T+A

+...

B=A

-1

[exp(A

T)-I]B

C=C

D=D

W przypadku gdy okres próbkowania T jest mały, to
pomija się rozwinięcia w szereg potęgowy exp(A

z czego wynik
A=I+ A

T B= B

Identyczne zależności możemy otrzymać
zas™epując pochodną

poprzez różnicę

wyprzedzoną:
x’(t)|

t=k

=1/T [x(k+1)-x(k)]

co daje nam po przekształceniach
x(k+1)= [I+ A

T]x(k)+B

Tu(k)

3.9
a)  Mając   równania   stanu   możemy   wyznaczyć
transmitancję   operatorową   (układu   ciągłego)
przedstawioną

wzorem

(dla

warunków

początkowych równych 0 x(0)=0)
sX(s)=AX(s)+BU(s)
Y(s)=CX(s)+DU(s),  gdzie:
X(s),   U(s),   Y(s)   są   transformatami   Laplace’a
wektorów x(t), u(t), y(t)
Wtedy otrzymujemy:
sX(s)-AX(s)=BU(s)
oraz [sI-A]X(s)=BU(s)
następnie   wyznaczamy   X(s)   (założenie   istnieje
macierz odwrotna, det<>0 tzw macierz nieosobliwa)
X(s)=[sI-A]

-1

BU(s)

Gdzie po podstawieniu otrzymujemy:
Y(s)=(C[sI-A]

-1

B+D)U(s)

Z czego wynika macierz transm.
G(s)=Y(s) / U(s) = C[sI-A]

-1

B+D

b)  Analogicznie   jak   w   układach   ciągłych,   można
wyznaczyć   związek   miedzy   równaniami   stanu   a
transmitancją   dyskretną.   W   tym   celu   należy   do
równań   zastosować   przekształcenie   Z   (przy
zerowych warunkach początkowych):
zX(z)=AX(z)+BU(z)
Y(z)=CX(z)+DU(z),  gdzie:
X(z), U(z), Y(z) są transformatami Z wektorów x(t),
u(t), y(t)
Wtedy otrzymujemy:
zX(z)-AX(z)=BU(z)
oraz [zI-A]X(z)=BU(z)
następnie   wyznaczamy   X(z)   (założenie   istnieje
macierz odwrotna, det<>0 tzw macierz nieosobliwa)
X(z)=[sI-A]

-1

BU(z)

Gdzie po podstawieniu otrzymujemy:
Y(z)=(C[zI-A]

-1

B+D)U(z)

Z czego wynika macierz transm.
G(z)=Y(z) / U(z) = C[zI-A]

-1

B+D

4.1
Skok jednostkowy 1(t)
Przy stosowaniu tego typu sygnału założono, że
czas jego narastania jest równy zeru, co jest tylko
przybliżeniem sygnału rzeczywistego, jednak w
wielu przypadkach jest to założenie dopuszczalne.
Impuls (funkcja) Diraca ρ(t).
Impuls Diraca jest definiowany jako impuls o
nieskończenie wielkiej amplitudzie i nieskończenie
małym czasie trwania oraz o polu równym jedności.
Funkcje potęgowe
Funkcje te można przedstawić w postaci
u(t)=U0t do n*1(t) n=1,2,…
Wymienione funkcje wykorzystuje się głownie do
analizy układów śledzących.
Funkcja harmoniczna
Najczęściej stosuje się sygnał sinusoidalny o postaci
u(t)=U0sinωt . Na tego typu sygnale bazują głównie
częstotliwościowe metody analizy.
4.4
Ogólne zasady postępowania przy budowie
schematu blokowego można sprowadzić do
następującej procedury :
a) dodać transformaty laplace’a układu równań
różniczkowych,
b) ustalić sygnał wejściowy i wyjściowy układu,
c) na podstawie układu równań operatorowych
narysować schemat blokowy.
4.5
znane są następujące sposoby przekształcenia
(uproszczenia) schematów blokowych
- metoda przekształcenia układu równań
opisujących układ. Stosuje się najczęściej na etapie
budowy schematu blokowego i nie będzie szerzej
analizowana.
- metoda krok po kroku poprzez kolejne
dokonywanie prostych przekształceń schematu.
Pozwala zarówno przekształcić, jak i uproszczać
schemat blokowy. Stosuje się ją do przekształcenia
dowolnie skomplikowanych schematów. Metoda ta
ma istne zalety gdyż:
- nie wymaga określenia klasy schematu, a więc ma
zastosowanie do wszystkich schematów układów
liniowych,
- umożliwia dokonywanie kontroli poprawności
każdego kroku, a więc zapewnia poprawny wynik
przekształceń
4.6
Transmitancja układu otwartego
Go(s)=G(s)H(s)=Lo(s)/Mo(s)
Transmitancja układu zamkniętego
Gz(s)=Y(s)/U(s)=G(s)/1±G(s)H(s)=Lz(s)/Mz(s)

Transmitancja uchybowa
Gu(s)=E(s)/U(s)=1/1±G(s)H(s)
4.7
Metoda 1 (w oparciu o tablice transformat)
W tabelach transformat Z często jest podane
zestawienie transmitancji G(s) i odpowiadających im
dyskretnych transmitancji G(z). Jeżeli natomiast w
tabelach są podane tylko transformaty dyskretne
F(z) dla funkcji ciągłych f(t) lub funkcji dyskretnych
f(kT), to chcąc wyznaczyć dla danej transmitancji
G(s) transmitancję G(z) należy postępować
następująco:
-Wyznaczyć charakterystykę impulsowa g(t)
g(t)=α do -1[G(s)]
-Wyznaczyć dyskretną charakterystykę impulsową
g(kT)=g(t)|t=kT (*)
-Dla wyznaczonej charakterystyki g(t) lub g(kT)
odczytać transmitancję G(z)
Metoda 2 (bazująca na wyznaczaniu charakterystyki
impulsowej)
Dyskretną charakterystykę impulsową g(kT), dla
danej transmitancji G(s), wyznacza się zgodnie z
zależnością *. Poszukiwana transmitancja dyskretna
G(z)określona jest zależnością G(z) = Z[g(kT)]
4.9 przedstawic problem wyznaczania uchybu
ustalonego
Uchyb w stanie ustalonym dla układu ciągłego :

)

(

)

(

lim

)

(

lim

)

(

lim

→

∞

→

1. Wymuszenie w postaci sygnalu skokowego –
u(t)=U

1(t)

Gdy k = 0 e

)

(

lim

→

Gdy k > 0 e

2. Wymuszenie w postaci sygnalu liniowego – u(t) =
U

(t)1(t)

Gdy k = 0 e

-> nieskończoności!

Gdy k = 1
Gdy k > 1 e

= 0

3. wymuszenie w postaci sygnalu parabolicznego –
u(t) = U

1(t)

Gdy k = 0 e

-> nieskończoności!

Gdy k = 1
Gdy k >2 e

= 0

Uchyb ustalony układu dyskretnego

4.10
Człon proporcjonalny (bezinercyjny)
Równanie i transmitancja
y(t)=Ku(t) G(s)=K

Człon inercyjny pierwszego rzędu
T*Dy(t)/(dt+y(t))=Ku(t) G(s)=K/Ts+1

Człony całkujące
dy(t)/dt=Ku(t) G(s)=K/s=1/sTi
Człony różniczkujące
y(t)=K*du(t)/dt G(s)=Ks
Człony drugiego rzędu
G(s)=K/(T*T*s*s+2ETs+1)
Człon opóźniający
G(s)=Ke do -sTo
5.1.
układ jest stabilny asymptotycznie - gdy

spełniony zostanie następujący warunek konieczny i
dostateczny: wszystkie rzeczywiste pierwiastki

równania charakterystycznego (bieguny
transmitancji lub wartości własne macierzy stanu)

lub wszystkie części rzeczywiste pierwiastków
zespolonych muszą być ujemne, czyli pierwiastki te

muszą leżeć w lewej półpłaszczyźnie zmiennej
zespolonej.

układ jest stabilny nieasymptotycznie - gdy
oprócz pierwiastków leżących w lewej

półpłaszczyźnie występują:
- jeden pierwiastek rzeczywisty równy zeru

- pojedyncze pary pierwiastków urojonych,
- żaden z pierwiastków nie znajduje się w prawej

półpłaszczyźnie, natomiast na osi urojonej
występują pierwiastki pojedyncze, w tym co

najwyżej jeden rzeczywisty równy zeru.
Układ jest stabilny globalnie, gdy jest stabilny

dla dowolnych warunków początkowych.
Układ jest stabilny lokalnie, gdy jest stabilny dla

warunków początkowych leżących w pobliżu
stanu równowagi

Układ Jest niestabilny, jeśli co najmniej jeden
pierwiastek znajduje się w prawej półpłaszczyźnie

zmiennej zespolonej s.
5.2.

Stan równowagi jest to stan, do którego wraca
układ po ustaniu działania wymuszenia (do stanu,

w jakim znajdował się przed zmianą wymuszenia).
Punkt – nazwa w przestrzeni stanów.

5.3.
Układ jest stabilny, gdy spełniony zostanie warunek

konieczny i dostateczny: wszystkie pierwiastki

)

(

)

(

lim

)

(

lim

−

→

równania charakterystycznego (bieguny
transmitancji lub wartości własne macierzy stanu)

lub
wszystkie części rzeczywiste pierwiastków

zespolonych muszą być ujemne, czyli pierwiastki te
muszą leżeć w lewej półpłaszczyźnie zmiennej

zespolonej.
5.4.

Kryteria algebraiczne pozwalają stwierdzić, czy
liniowy układ jednowymiarowy jest stabilny

asymptotycznie, na podstawie wartości
współczynników równania charakterystycznego., bez

jego
rozwiązywania.

Warunkiem koniecznym, ale niewystarczającym
stabilności asymptotycznej układu jest, aby jego

równanie charakterystyczne miało wszystkie
współczynniki ao, a1,…, an jednego znaku i

niezerowe.
Warunki dostateczne: (Kryterium Hurtwitza) to

warunki, które powinny być spełnione, aby
Równanie charakterystyczne układu miało wyłącznie

pierwiastki w lewej półpłaszczyźnie zmiennej
zespolonej s. Aby było to możliwe muszą być

spełnione warunki: 1 warunek konieczny stabilności
(wszystkie współczynniki są większe od zera); 2

podwyznaczniki Δi, jako minory główne
wyznacznika Δn, są większe od zera (warunek

dostateczny) Δi>0, i=2,3,…,n-1
5.5.

Częstotliwościowe kryteria stabilności:
● kryterium Nyquista – najczęściej stosowane,

pozwala ono badać stabilność układu zamkniętego
na podstawie przebiegu charakterystyki

częstotliwościowej układu otwartego, którą można
wyznaczyć zarówno analitycznie, jak i

doświadczalnie, umożliwia ona także ocenę
odległości układu

od graniczy stabilności.
● kryterium logarytmiczne – badania stabilności

układu w oparciu o logarytmiczną charakterystykę
amplitudową i fazowa lub logarytmiczną

charakterystykę amplitudowo- fazową.
5.6.

Warunek konieczny i wyst. Układu
dyskretnego:

Układ dyskretny jest stabilny jeśli dyskretne
wartości składowych przejściowych są ograniczone

dla dowolnej chwili czasu. Jeżeli ponadto te
dyskretne wartości składowych przejściowych kT->8

maleją do zera, to układ taki jest stabilny
asymptotycznie.

6.1.
1. Synteza jest rozważana wyłącznie w

kategoriach dynamiki układu(dokładność
dynamiczna,

zapas stabilności, charakter lub czas trwania
procesu przejściowego itp.). Rozwiązując zadanie

syntezy należy dysponować następującymi danymi:
a) modelem matematycznym obiektu (lub

wielkościami charakteryzującymi pośrednio jego
dynamikę)

b) celem sterowanie,
c) informacjami o ograniczeniach sygnałów

występujących w układzie
d) wskaźnikiem jakości,

e) założeniami o typie algorytmu regulacji
6.2.
a) Regulator typu P (proporcjonalny)
Regulator ten charakteryzuje się tym, że jego
sygnał wyjściowy u(t) jest proporcjonalny do
wejściowego(wejściowego). Transmitancja wynosi:
G(s)=U(s)/E(s)=kp
przy czym kp jest współczynnikiem
wzmocnienia(proporcjonalności).
b) Regulator typu I (całkujący) Transmitancja ma
postać:
G(s)= kp/s=1/sTi, Ti=1/kp
przy czym kp jest współczynnikiem wzmocnienia, Ti
to czas po upływie którego amplituda odpowiedzi
skokowej jest równa amplitudzie wymuszającego
sygnału skokowego.
c) Regulator typu PI (proporcjonalno-całkujący)
W regulatorze typu PI sygnał wejściowy jest
proporcjonalny do sumy sygnału wejściowego i jego
całki. Transmitancja natomiast opisana jest
wzorem:
G(s)=kp(1+1/Tis)
Gdzie Ti jest nazywane czasem zdwojenia regulatora
Charakterystyka:
a)skokowa

b) częstotliwościowa

d)Regulator typu PD (proporcjonalno-
różniczkujący)

współczynnika w układzie zanika tłumienie i układ
zbliża się do granicy stabilności. Dalszy wzrost
współczynnika może spowodować niestabilność
układu. Ze względu na dokładność statyczną
współczynnik wzmocnienia powinien być więc jak
największy, a ze względu na stabilność- możliwie
mały. Występuje zatem przeciwieństwo między
wymaganiami dokładności statycznej i stabilności.
- podwyższenie rzędu astatyzmu
Uchyb ustalony doprowadza się do wartości równej
zeru przez zastosowanie modyfikacji, po której
układ regulacji stanie się astatyczny odpowiedniego
rzędu. W tym celu należy do układu wprowadzić
człony całkujące, których liczbę i miejsce
usytuowania dobiera się w taki sposób, aby uchyb
ustalony był równy zeru. Niestety ten sposób
likwidacji uchybu ustalonego ma zasadniczą wadę-
wprowadzenie członów całkujących może
spowodować utratę stabilności.
6.5
Synteza układów regulacji bazująca na rozkładzie
pierwiastków równania. Badanie rozkładu
pierwiastków równania charakterystycznego układu
regulacji umożliwia bardziej precyzyjne określenie
własności procesów przejściowych niż badanie
charakterystyk częstotliwościowych. Jednak metody
syntezy oparte na analizie rozkładu biegunów
transmitancji są mniej ogólne, choćby z tego
powodu że dotyczą zwykle transmitancji o postaci
funkcji wymiernych. Warunkami syntezy najczęściej
są:1)algebraiczne kryteria stabilności 2)zadanie
położenie biegunów i ewentualnie zer
transmitancji.3)zadana postać transmitancji układu.
Algebraiczne kryteria stabilności stosuje się do
syntezy układów regulacji, od których wymaga się
tylko spełnienia warunku stabilności. Parametry
regulatora można określić z warunku zadanego
położenia biegunów lub zadanej postaci
transmitancji. W tym przypadku określa się
strukturę układu regulacji i typ regulatora, a
następnie wyznacza transmitancję układu
zamkniętego z regulatorem. Problem syntezy
upraszcza się jeżeli układ regulacji z regulatorem
jest opisany transmitancją drugiego rzędu. Wtedy
parametry regulatora najwygodniej jest obliczyć z
zadanej wartości współczynnika tłumienia i pulsacji
drgań własnych nietłumionych.
6.6
Metoda Zieglera-Nicholasa stała się standardową
procedurą doboru parametrów regulatora. W wielu
przypadkach zapewnia dobra jakość regulacji.
Pomimo dużej popularności tej metody
otrzymywane w wyniku jej zastosowania wartości
parametrów należy traktować jedynie jako pierwsze
racjonalne przybliżenie. Procedura doboru wartości
parametrów regulatora:
a)regulator zainstalowany w układzie regulacji
należy nastawić na działanie P i zwiększyć
stopniowo jego wzmocnienie k

, doprowadzając

układ do granicy stabilności,
b) w stanie wzbudzonym oscylacji zmierzyć ich
okres T

oraz odczytać wartość współczynnika

wzmocnienia k

kr,

c)zależnie od typu regulatora należy przyjąć:
dla P k

=0,5k

dla PI k

=0,45k

, T

=0,85T

dla PID k

=0,6k

, T

=0,5T

, T

=0,125T

6.7
Metody przestrzeni stanów syntezy układów ciągłych
Sposób rozwiązywania problemu syntezy w oparciu
o metody przestrzeni stanów, także i struktura
układu sterowania są uzależnione od możliwości
pomiaru zmiennych stanu. W przypadku dostępności
pomiarowej pełnego wektora stanu obiektu, zadanie
syntezy polega na wyznaczeniu elementów
proporcjonalnego regulatora wielowymiarowego,
umieszczonego w torze sprzężenia zwrotnego od
wektora stanu obiektu do wejścia układu
sterowania. Składowe wektora powinny być tak
dobrane, aby macierz stanu układu z regulatorem
posiadała wartości własne o pożądanych
wartościach. Natomiast w przypadku możliwości
pomiaru tylko części zmiennych stanu jest
niezbędne zastosowanie w układzie sterowania tzw.
obserwatora stanu, który na podstawie pomiaru
wejścia i części zmiennych stanu obiektu odtwarza
pozostała niemierzalną część wektora stanu.
6.8
Celem syntezy jest wyznaczenie transmitancji
regulatora dyskretnego
Gr(z)=Lr(z)/Mr(z)
W przypadku, gdy dana jest transmitancja
dyskretna obiektu wraz ekstrapolatorem
G(z)=L(z)/M(z)  *
I żądana transmitancja układu zamkniętego
Gz(z)=Lz(z)/Mz(z)  **
Rozwiązując zależność określającą dyskretną
transmitancję zastępczą układu (przyjęto regulator
w torze głównym)
Gz(z)=Gr(z)G(z)/1+Gr(z)G(z)
Wzglendem poszukiwanej transmitancji Gr(z),
otrzymano
Gr(z)=Gz(z)/G(z)[1-Gz(z)]  ***
Lub po uwzględnieniu zależności *, **
Gr(z)=M(z)L(z)/L(z)[Mz(z)-Lz(z)] ****
Na podstawie równań *** lub **** Można
wyznaczyć równanie różnicowe, według którego
regulator (mikroprocesora) oblicza wartości sygnału
sterującego obiektem w kolejnych chwilach
próbkowania. Gdyby wyznaczona transmitancja
regulatora nie była realizowana fizycznie (stopień
wielomianu licznika większy od stopnia wielomianu
w mianowniku), wówczas należy zmienić warunek
syntezy, czyli postać transmitancji Gz(z).
W dyskretnym układzie regulacji o równaniu
charakterystycznym w postaci
Mz(z)=z(do potęgi)n=0