Egzamin dla Aktuariuszy z 9 października 2006 r.
Matematyka Finansowa
Zadanie 1
+
+
+
+
+
⋅
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
⋅
+
+
+
+
=
...
)
2
1
(
)
2
2
1
(
)
2
1
(
...
)
1
1
(
)
1
2
1
(
)
1
1
(
8
2
4
2
4
3
2
2
1
8
1
4
4
3
2
1
2
1
v
A
v
A
v
v
v
v
v
R
A
v
A
v
v
v
v
v
R
A
A
4
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
4
4
2
1
4
4
4
4
4
4
3
4
4
4
4
4
4
2
1
[
]
...)
1
(
8
4
1
+
+
+
=
−
v
v
A
v
R
k
k
k
k
v
k
i
v
v
i
v
k
v
k
va
a
A
k
3
4
4
3
3
4
1
+
−
+
−
=
+
⋅
+
=
∑
∑
∞
=
−
=
−
−
+
−
−
−
+
−
=
−
+
−
+
−
=
=
1
2
4
3
2
4
4
4
3
4
4
1
3440
)
1
)(
1
(
)
1
)(
1
(
)
(
1
1
1
1
1
1
k
k
k
v
v
v
v
v
i
v
v
v
i
v
k
v
k
i
v
v
i
v
v
R
ODP
Zadanie 2
n
1000000
- tyle w i-tą firmę
i
X - zysk z i-tej firmy
∑
=
=
n
i
i
X
Y
1
99
,
0
var
1500000
var
99
,
0
)
1500000
(
≥
−
≥
−
≥
≥
Y
EY
Y
EY
Y
P
Y
P
(
)
5
5
6
,
0
1
0
6
,
0
32000000
−
=
=
=
=
i
i
X
P
n
X
P
2
13
2
34
,
7
var
2488320
n
X
EX
n
EX
i
i
i
≈
→
=
EY=2488320
n
Y
13
34
,
7
var
=
Z tego wynika:
(
)
406
326
,
2
34
,
7
2488320
1500000
13
≥
→
−
≤
−
n
n
(
)
46
,
3
1
,
1
3
4
,
0
6
,
0
)
50
8
,
64
(
6
,
0
)
50
4
,
86
(
1
,
1
6
,
0
2
4
,
0
6
,
0
1
,
1
6
,
0
4
,
0
2
1
,
1
6
,
0
1
,
1
1
1
.
7
269
,
1
1
,
1
2
4
,
0
6
,
0
)
50
8
,
64
(
1
,
1
4
,
0
6
,
0
2
1
,
1
6
,
0
4
,
0
2
1
,
1
1
1
.
6
3
2
3
3
2
2
2
2
2
3
2
3
2
2
=
→
⋅
−
+
−
=
+
⋅
+
⋅
⋅
+
+
+
=
→
⋅
−
=
⋅
+
⋅
⋅
+
+
P
P
P
P
Zadanie 5
)
90
;
30
(
~ J
X
1
50
4
,
0
)
0
;
55
max(
5
6
,
0
50
4
,
0
)
0
;
55
max(
5
6
,
0
)
1
(
:
2
1
50
:
1
−
+
−
=
→
+
−
=
+
−
=
X
X
i
X
K
X
K
i
K
PORT
X
i
PORT
105
,
0
1
50
4
,
0
60
1
1
50
4
,
0
)
55
(
5
6
,
0
60
1
:
2
90
55
55
30
=
−
+
−
+
−
=
∫
∫
X
X
X
Ei
PORT
(
)
≈
+
−
+
+
−
=
∫
∫
90
55
2
2
2
55
30
2
2
1
50
8
,
0
50
4
,
0
60
1
012544
,
0
2544
,
1
36
,
31
60
1
x
x
x
x
Ei
Stąd
661908
,
0
)
var(
≈
i
12
,
0
)
1
(
var
=
PORT
i
5
,
5
≈
ODP
Zadanie 6
)
1
(
)
(
1
20
+
−
−
=
k
v
P
k
OD
P
a
a
P
a
v
P
v
P
v
P
k
k
k
k
400
6
6
400
6
1600
)
1
(
400
)
1
(
1600
6
6
6
14
20
15
1
20
6
1
1
20
−
=
→
−
=
−
=
→
−
=
−
=
∑
∑
=
+
−
=
+
−
i wstawiamy do pierwszego
1
200
3
800
3
)
400
6
(
6
1600
14
1
14
−
−
−
=
→
−
−
=
−
P
P
i
P
v
P
Zadanie 7
∫
∫
∫
+
+
+
=
+
+
+
=
+
−
+
=
+
=
t
t
t
t
t
t
t
t
t
1
1
)
1
ln(
1
1
)
1
ln(
2
1
)
1
(
1
)
2
2
(
2
1
)
1
(
2
2
2
δ
t
B
B
t
t
B
t
t
B
t
t
t
B
t
t
B
ds
s
s
B
e
t
t
B
ds
s
t
s
t
B
s
t
t
t
B
t
t
t
t
t
t
t
s
t
t
s
t
+
=
′
→
+
−
+
=
+
+
+
+
+
+
−
+
+
′
→
+
−
+
+
=
+
+
→
+
−
+
+
+
+
+
+
−
+
=
∫
∫
−
1
1
1
1
exp
)
1
(
1
2
exp
)
1
(
1
1
exp
1
1
1
1
exp
1
1
exp
)
1
(
1
1
exp
)
1
(
1
1
exp
)
1
(
1
1
exp
1
1
exp
1
1
)
1
(
1
1
exp
)
1
(
3
2
0
3
1
0
2
C
t
B
t
)
1
(
+
=
B(0)=1
Stąd
C=1 i B(t)=1+t dlatego B(2)=3
Zadanie 8
Stopa dyskontowa oznacza, Ŝe dyskonto "z góry" tzn. pierwsza płatność dyskontowana stopa
dla k=0 itd.
∑
∏
∑
∏
∞
=
−
=
∞
=
−
=
+
−
+
=
+
−
+
=
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
k
k
j
k
k
j
j
j
i
k
k
j
j
i
k
k
ODP
(
)
−
−
=
−
−
−
−
=
=
−
+
−
−
=
−
+
+
=
−
+
=
+
−
∏
∏
∏
−
=
−
=
−
=
k
i
i
k
i
i
k
k
i
i
i
j
k
i
k
j
i
j
j
i
k
k
k
k
k
j
k
k
j
k
j
1
1
)
1
(
1
1
)
1
(
)
1
(
1
1
1
)
1
(
1
1
!
)
1
(
!
)
1
(
1
1
1
1
0
1
0
1
0
