Wykład trzeci
Pochodna funkcji
Zał. Funkcja f jest określona w pewnym otoczeniu O punktu x
0
; ∆x 6= 0 – przyrost argumentu
x taki, że x
0
+ ∆x ∈ O.
Ułamek:
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
nazywamy ilorazem różnicowym.
Def. Liczbę lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x
0
i oznaczamy
przez f
0
(x
0
).
Pochodne jednostronne (obliczane przy pomocy odpowiednich granic jednostronnych) funkcji f
oznaczamy przez: f
0
(x
−
0
) , f
0
(x
+
0
).
Interpretacja geometryczna Równanie siecznej wykresu f przechodzącej przez punkty (x
0
, f (x
0
))
(x
0
+ ∆x, f (x
0
+ ∆x)) ma postać y − f (x
0
) =
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
· (x − x
0
).
Granicznym położeniem tej siecznej (∆x → 0) jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie
(x
0
, f (x
0
)). Jeśli f
0
(x
0
) istnieje, to równanie tej stycznej: y − f (x
0
) = f
0
(x
0
) · (x − x
0
).
Α
Hx
0
, f
Hx
0
LL
Hx
0
+ Dx, f
Hx
0
+ Dx
LL
Α
Dx
y = f
HxL
sieczna
styczna
-1
1
2
3
4
X
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Y
Uwaga 1 Jeżeli lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
jest niewłaściwa, to styczną do wykresu f w punkcie
(x
0
, f (x
0
)) jest prosta x = x
0
.
Int. fizyczna Jeżeli s(t) oznacza drogę zależną od czasu t, to iloraz różnicowy
s(t
0
+ ∆t) − s(t
0
)
∆t
przedstawia prędkość średnią ruchu między chwilami t
0
i t
0
+ ∆t, a s
0
(t
0
) - prędkość w chwili t
0
.
1
styczna do wykresu
w punkcie (1,0)
0.5
1.0
1.5
X
-1.0
-0.5
0.5
Y
Funkcję f
0
nazywamy pochodną funkcji f .
Wzory na pochodne podstawowych funkcji elementarnych
(f ± g)
0
= f
0
± g
0
; (f · g)
0
= f
0
· g + f · g
0
;
f
g
!
0
=
f
0
· g − g
0
· f
g
2
, g 6= 0
(c)
0
= 0 ; (x
α
)
0
= αx
α−1
, α 6= 0 ; (sin x)
0
= cos x ; (cos x)
0
= − sin x
(tg x)
0
=
1
cos
2
x
= 1 + tg
2
x ; (ctg x)
0
= −
1
sin
2
x
; (a
x
)
0
= a
x
· ln a ; (e
x
)
0
= e
x
Wyprowadzenie wzorów na pochodne funkcji: f (x) = c , c ∈ R, f (x) = x
n
, n ∈ N,
f (x) = a
x
, a > 0 ∧ a 6= 1, f (x) = sin x.
Tw. Jeżeli f
0
(x
0
) istnieje, to funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
(WK istnienia pochodnej).
lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
) = lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
· ∆x = 0
Tw. (O pochodnej funkcji odwrotnej) Jeżeli funkcja f jest ściśle monotoniczna i posiada po-
chodną f
0
(x) 6= 0, to funkcja odwrotna f
−1
posiada pochodną i prawdziwy jest wzór
(f
−1
(y))
0
=
1
f
0
(x)
, gdzie y = f (x)
2
Α
Α
Β
y = g
HxL
y = x
y = f
HxL
x
0
y
0
y
0
x
0
0.5
1.0
X
0.5
1.0
Y
f
0
(x
0
) = tg α, g
0
(y
0
) = tg β, tg β = ctg α =
1
tg α
Dalsze wzory na pochodne:
(ln x)
0
=
1
x
; (arcsin x)
0
=
1
√
1 − x
2
; (arccos x)
0
= −
1
√
1 − x
2
;
(arctg x)
0
=
1
x
2
+ 1
; (arcctg x)
0
= −
1
x
2
+ 1
Wyprowadzenie wzorów na pochodne funkcji: f (x) = ln x, f (x) = arcsin x.
Tw. (O pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x i funkcja g ma
pochodną w punkcie y = f (x), to funkcja złożona g ◦ f ma pochodną w punkcie x i prawdziwy
jest wzór
(g ◦ f )
0
(x) = g
0
(f (x)) · f
0
(x)
Uwaga Powyższy wzór można stosować wielokrotnie.
Pochodne wyższych rzędów
Zał. f
0
jest określona w pewnym otoczeniu punktu x
0
.
Def. Granicę właściwą lim
∆x→0
f
0
(x
0
+ ∆x) − f
0
(x
0
)
∆x
nazywamy pochodną drugiego rzędu funkcji f
w punkcie x
0
i oznaczamy przez f
00
(x
0
).
f
00
– funkcja drugiej pochodnej funkcji f .
Ogólnie określamy pochodną n – tego rzędu funkcji f jako: f
(n)
(x)
df
=
f
(n−1)
(x)
0
, n = 2, 3, . . ..
Uwaga Jeżeli funkcja f ma pochodną n–tego rzędu, to ma pochodne wszystkich rzędów niższych
niż n.
3
Tw. de l’Hospitala
Tw. Jeżeli funkcje
f
h
oraz
f
0
h
0
są określone na pewnym sąsiedztwie punktu x
0
oraz
1. lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
h(x) = 0 lub | lim
x→x
0
h(x)| = +∞ ;
2. istnieje granica lim
x→x
0
f
0
(x)
h
0
(x)
( właściwa lub niewłaściwa)
to istnieje granica lim
x→x
0
f (x)
h(x)
= lim
x→x
0
f
0
(x)
h
0
(x)
.
Twierdzenie pozostaje prawdziwe dla granic jednostronnych oraz granic w nieskończoności.
Twierdzenie pozwala obliczyć wartości tzw. ”symboli nieoznaczonych” czyli granic typu:
0/0 , ∞/∞ , 0 · ∞ , ∞ − ∞ , 1
∞
, ∞
0
, 0
0
.
4