ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW
(AWP)
Jednostka prowadz
ą
ca:
Instytut Metrologii i In
Ŝ
ynierii Biomedycznej
Autor programu:
dr in
Ŝ
. Jerzy Arendarski
ANALIZA WYNIKÓW POMIARÓW
(AWP)
Jednostka prowadz
ą
ca:
Instytut Metrologii i In
Ŝ
ynierii Biomedycznej
Autor programu:
dr in
Ŝ
. Jerzy Arendarski
Metody szacowania niepewno
ś
ci
standardowych cz
ą
stkowych i zło
Ŝ
onych
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
mm
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
1
4
3
2
1
1
1
1
4
1
3
1
2
1
1
1
4
1
4
44
43
42
41
3
1
3
34
33
32
31
2
1
2
24
23
22
21
1
1
1
14
13
12
11
...
...
...
...
...
...
( )
( )
(
)
j
i
j
m
i
m
i
j
i
i
m
i
i
c
x
x
u
x
f
x
f
x
u
x
f
y
u
,
2
1
1
1
2
2
1
2
+
≅
∑ ∑
∑
−
=
+
=
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(
)
m
X
X
X
f
Y
,...,
,
2
1
=
Niepewno
ść
standardowa zło
Ŝ
ona
Metoda typu A (metoda statystyczna)
- obliczanie niepewno
ś
ci
standardowej na podstawie analizy serii pojedynczych obserwacji:
Na podstawie
n
wyników
(x
1
, x
2
, ... x
n-1
, x
n
)
oblicza si
ę
odchylenie
standardowe eksperymentalne ze wzoru:
( )
1
2
−
∑
−
=
n
x
i
x
x
s
u (x) = s(x)
n
x
u(
x
u
)
=
Metoda typu A
(
)
( )
X
u
k
P
X
X
p
p
Σ
s
±
+
=
(
)
( )
1
p
p
Σ
s
n
/
X
u
k
P
X
X
±
+
=
(
)
( )
X
u
k
P
X
X
ν
p,
Σ
s
±
+
=
Metoda typu A
Metoda typu A
Metoda typu A
„Je
Ŝ
eli laboratorium pomiarowe ma do
ść
czasu i
ś
rodków, mo
Ŝ
e
prowadzi
ć
wyczerpuj
ą
ce badania statystyczne wszystkich mo
Ŝ
liwych
przyczyn niepewno
ś
ci, stosuj
ą
c na przyk
ł
ad wiele ró
Ŝ
nych
konstrukcji i rodzajów przyrz
ą
dów pomiarowych, stosuj
ą
c ró
Ŝ
ne
metody pomiaru, ró
Ŝ
ne ich realizacje i ró
Ŝ
ne aproksymacje ich
teoretycznych modeli. Niepewno
ś
ci powi
ą
zane ze wszystkimi
przyczynami mog
ą
wtedy by
ć
obliczone drog
ą
statystycznej analizy
serii obserwacji i ka
Ŝ
da z nich mo
Ŝ
e by
ć
scharakteryzowana przez
statystycznie obliczone odchylenie standardowe.
Metoda typu A
Metoda typu A
Dla estymaty
x
i
wielko
ś
ci
X
i
, nie wyznaczanej z powtarzalnych
obserwacji, estymat
ę
jej wariancji u
2
(x
i
)
albo niepewno
ść
standardow
ą
u(x
i
) okre
ś
la si
ę
na drodze analizy naukowej opartej
na wszystkich dost
ę
pnych informacjach o mo
Ŝ
liwej zmienno
ś
ci
X
i
.
Zestaw tych informacji mo
Ŝ
e obejmowa
ć
:
poprzednie dane pomiarowe;
posiadane do
ś
wiadczenie wraz z ogóln
ą
znajomo
ś
ci
ą
zjawisk i
w
ł
a
ś
ciwo
ś
ci odpowiednich materiałów i przyrz
ą
dów;
specyfikacje wytwórców;
dane uzyskane z kalibracji i certyfikacji;
niepewno
ś
ci przypisane danym odniesienia zaczerpni
ę
tym z
podr
ę
czników.
Metoda typu B
Metoda typu B
Przykład 1.
Na podstawie poprzednich danych pomiarowych
W sprawozdaniu podano,
Ŝ
e długo
ść
wahadła wynosi L = (92,95 ± 0,10) cm
oraz
Ŝ
e niepewno
ść
rozszerzon
ą
wyznaczono na poziomie ufno
ś
ci 1-
α
=0,95, przy zastosowaniu współczynnika rozszerzenia k = 2.
)
(L
U
L
+
)
(L
U
L
−
L
2
)
(
)
(
L
U
L
u
=
Metoda typu B - przykłady
Przykład 2.
Na podstawie posiadanego do
ś
wiadczenia wraz z ogóln
ą
znajomo
ś
ci
ą
zjawisk i
wła
ś
ciwo
ś
ci odpowiednich materiałów i przyrz
ą
dów
Do wyznaczenia poprawki temperaturowej potrzebny jest współczynnik
rozszerzalno
ś
ci cieplnej płytki wzorcowej, niestety w dost
ę
pnych materiałach jego
warto
ść
nie jest podana. Do
ś
wiadczony metrolog przyjmuje,
Ŝ
e:
α
δ
α
δ
α
δ
29
,
0
3
2
)
=
=
u(
2
α
δ
α
+
α
1
6
10
)
5
,
1
5
,
11
(
−
−
⋅
±
=
K
α
1
6
1
6
10
866
,
0
3
10
5
,
1
)
(
−
−
−
−
⋅
=
⋅
=
K
K
u
α
2
α
δ
α
−
Metoda typu B - przykłady
Przykład 4.
Na podstawie danych uzyskanych z kalibracji i certyfikacji
Ze
ś
wiadectwa wzorcowania wynika,
Ŝ
e bł
ę
dy wskaza
ń
przyrz
ą
du nie
przekraczaj
ą
dopuszczalnych warto
ś
ci granicznych MPE (± E
g
)
3
)
g
E
g
E
u(
=
0
g
E
+
g
E
−
W
Metoda typu B - przykłady
Przykład 5.
Niepewno
ść
zwi
ą
zana z rozdzielczo
ś
ci
ą
przyrz
ą
du,
δ
x
x
x
δδδδ
δδδδ
δδδδ
29
,
0
3
2
)
====
====
x
u(
2
x
X
δδδδ
++++
2
x
X
δδδδ
−−−−
X
Metoda typu B - przykłady
( )
( )
i
2
2
m
1
i
X
u
X
f
Y
u
∑
=
∂
∂
( )
( )
( )
( )
2
m
m
2
2
2
2
2
2
1
1
2
X
X
u
γ
...
X
X
u
β
X
X
u
α
Y
Y
u
+
+
+
=
γ
m
β
2
α
1
...X
X
aX
Y
=
Niepewno
ść
standardowa zło
Ŝ
ona
Przykład 1.
Pomiar przyspieszenia ziemskiego g przy wykorzystaniu wahadła matematycznego
g
L
T
π
2
=
st
ą
d
2
2
4
T
L
g
π
=
)
(
04
,
979
2
g
U
s
cm
g
±
=
Wyniki pomiarów bezpo
ś
rednich:
L= (92,95 ± 0,10)cm
T= (1,936 ± 0,004)s
1-
α
=0,95
Przykłady obliczania niepewno
ś
ci pomiaru
dwoma sposobami
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
T
u
T
g
L
u
L
g
g
u
∂∂∂∂
∂∂∂∂
++++
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
2
2
2
2
2
2
1
5329
,
10
936
,
1
4
4
s
s
T
L
g
====
⋅⋅⋅⋅
====
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
ππππ
ππππ
3
3
3
2
3
2
4
,
1011
936
,
1
95
,
92
8
8
s
cm
s
cm
T
L
T
g
====
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
====
−−−−
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
ππππ
ππππ
u(L) = 0,05 cm
u(T) = 0,002s
Obliczenie niepewno
ś
ci pomiaru
przyspieszenia ziemskiego - sposób I
09
,
2
002
,
0
4
,
1011
05
,
0
5329
,
10
)
(
2
2
2
2
====
⋅⋅⋅⋅
++++
⋅⋅⋅⋅
====
g
u
2
09
,
2
)
(
s
cm
g
u
====
2
2
4
18
,
4
)
(
s
cm
s
cm
g
U
≈≈≈≈
====
2
)
4
979
(
s
cm
g
±±±±
====
Obliczenie niepewno
ś
ci pomiaru
przyspieszenia ziemskiego - sposób I
2
2
2
)
(
2
)
(
)
(
++++
====
T
T
u
L
L
u
g
g
u
054
,
0
)
(
====
L
L
u
%
10
,
0
)
(
====
T
T
u
%
213
,
0
103
,
0
4
054
,
0
)
(
2
2
====
⋅⋅⋅⋅
++++
====
g
g
u
%
2
2
09
,
2
00213
,
0
979
)
(
s
cm
s
cm
g
u
====
⋅⋅⋅⋅
====
Obliczenie niepewno
ś
ci pomiaru
przyspieszenia ziemskiego - sposób II
2
4
)
(
s
cm
g
U
≈≈≈≈
2
)
4
979
(
s
cm
g
±±±±
====
Obliczenie niepewno
ś
ci pomiaru
przyspieszenia ziemskiego - sposób II
Na poprzednim wykładzie niepewno
ść
standardow
ą
zło
Ŝ
on
ą
obliczono ze wzoru:
I otrzymano wynik ko
ń
cowy:
Y = (1000,0 ± 1,4) mm
2
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
B
u
B
Y
A
u
A
Y
Y
u
c
⋅
∂
∂
+
⋅
∂
∂
=
Obliczenie niepewno
ś
ci pomiaru
pola przekroju - sposób I
Przykład 2.
Pomiar pola przekroju płaskownika:
A
B
Obliczenie niepewno
ś
ci pomiaru
pola przekroju - sposób I
Równanie pomiaru:
Y = A * B
A = 20,00 mm; u(A) = 0,01 mm;
B = 50,00 mm; u(B) = 0,025 mm;
Y = A * B = 1000 mm
2
u
c
(Y) = 1000 mm
2
*0,000707=0,707 mm
2
U
c
(Y) 2* u
c
(Y)=1,4 mm
2
Otrzymujemy taki sam wynik:
Y = (1000,0 ± 1,4) mm
2
2
2
)
(
)
(
)
(
+
=
B
B
u
A
A
u
Y
Y
u
c
%
05
,
0
)
(
=
A
A
u
%
05
,
0
)
(
=
B
B
u
000707
,
0
%
0707
,
0
%)
05
,
0
(
%)
05
,
0
(
)
(
2
2
=
=
+
=
Y
Y
u
c
Obliczenie niepewno
ś
ci pomiaru
pola przekroju - sposób II
Przykład 3: Pomiar przeło
Ŝ
enia d
ź
wigni dwuramiennej:
Równanie pomiaru:
A = 100,0 mm; u(A) = 0,1 mm;
B = 10,0 mm; u(B) = 0,05 mm;
A
B
B
A
Y
=
10
=
=
B
A
Y
Obliczenie niepewno
ś
ci pomiaru
przeło
Ŝ
enia d
ź
wigni- sposób I
Na poprzednim wykładzie niepewno
ść
standardow
ą
zło
Ŝ
on
ą
obliczono ze wzoru:
i otrzymano wynik ko
ń
cowy:
Y = 10,00 ± 0,10
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
B
u
B
Y
A
u
A
Y
Y
u
c
⋅
∂
∂
+
⋅
∂
∂
=
Obliczenie niepewno
ś
ci pomiaru
przeło
Ŝ
enia d
ź
wigni- sposób I
2
2
)
(
)
(
)
(
+
=
B
B
u
A
A
u
Y
Y
u
c
%
1
,
0
)
(
=
A
A
u
%
5
,
0
)
(
=
B
B
u
005099
,
0
%
5099
,
0
%)
5
,
0
(
%)
1
,
0
(
)
(
2
2
=
=
+
=
Y
Y
u
c
Obliczenie niepewno
ś
ci pomiaru
przeło
Ŝ
enia d
ź
wigni- sposób II
u
c
(Y) = 10*0,005099=0,05099
U
c
(Y) 2* u
c
(Y)=0,10
Otrzymujemy taki sam wynik:
Y = 10,00 ± 0,10
(
)
m
X
X
X
f
Y
,...,
,
2
1
=
( )
( )
i
2
2
m
1
i
X
u
X
f
Y
u
∑
=
∂
∂
Bud
Ŝ
et niepewno
ś
ci pomiaru
Wielkość
Oszaco-
wanie
Szerokość
połówkowa
Wsp.
rozrzutu
Niepewn.
standard.
Wsp.
wp
ł
ywu
Składowe niep.
złoŜ
.
1
2
3
4
5
6
7
X
i
x
i
0,5R
i
k
*
i
u
B
(X
i
)
c
i
u
i
(Y)
X
1
x
1
-
-
u
A
(X
1
)
c
1
u
1
(Y)
X-
2
x
2
-
-
u
A
(X
2
)
c
2
u
2
(Y)
X
3
x
3
0,5R
3
k
*
3
u
B
(X
3
)
c
3
u
3
(Y)
...
...
...
...
...
...
...
X
m
x
m
0,5R
m
k
*
m
u
B
(X
m
)
c
m
u
m
(Y)
Y
y
u
c
(Y)
U(Y) = k u
c
(Y)
Bud
Ŝ
et niepewno
ś
ci pomiaru
Niepewno
ść
standardow
ą
u
B
(X
i
) oblicza si
ę
ze wzoru
(((( ))))
i
i
i
B
k
a
X
u
*
====
Udzia
ł
y poszczególnych niepewno
ś
ci cz
ą
stkowych w niepewno
ś
ci
z
ł
o
Ŝ
onej wyznacza si
ę
ze wzoru:
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
i
i
i
i
i
X
u
X
Y
X
u
c
Y
u
⋅⋅⋅⋅
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====
⋅⋅⋅⋅
====
Niepewno
ść
standardow
ą
z
ł
o
Ŝ
on
ą
oblicza si
ę
korzystaj
ą
c ze wzoru:
( )
∑
=
m
1
2
i
)
(Y
u
Y
u
Bud
Ŝ
et niepewno
ś
ci pomiaru
1. Równanie pomiaru:
P
P
P
W
X
ws
rw
w
+
+
+
=
2. Równanie niepewno
ś
ci standardowej zło
Ŝ
onej:
( )
)
(P
u
)
(P
u
)
(P
u
(W)
u
X
u
ws
2
rw
2
w
2
2
+
+
+
=
2
2
2
)
+
=
w
k
w
U(E
3
E
)
u(P
)
U(P
P
w
w
±
3. Niepewno
ść
standardowa poprawki wskazania:
3
E
)
u(P
g
w
=
2
)
U(P
)
u(P
w
w
=
Przykład post
ę
powania przy obliczaniu
niepewno
ś
ci pomiaru bezpo
ś
redniego
4. Niepewno
ść
standardowa poprawki kompensuj
ą
cej bł
ą
d
rozdzielczo
ś
ci
5. Niepewno
ść
standardowa poprawki temperaturowej
3
2
d
)
u(P
rw
=
2
d
P
rw
±
=
0
)
(
)
(
t
u
W
P
u
t
δ
α
⋅
=
Przykład
Kontrola wału, którego
ś
rednica powinna nale
Ŝ
e
ć
do przedziału
[183,900 mm; 184,000 mm]
Pomiar
ś
rednicy mikrometrem: W = 183,955 mm
Przykład post
ę
powania przy obliczaniu
niepewno
ś
ci pomiaru bezpo
ś
redniego
t
αδ
W
P
P
W
X
rw
w
+
+
+
=
2
.
Równanie niepewno
ś
ci standardowej zło
Ŝ
onej:
( )
)
(
u
c
)
(
u
c
)
(P
u
c
)
(P
u
c
(W)
u
c
X
u
2
2
5
2
2
4
rw
2
2
3
w
2
2
2
2
2
1
t
δ
α
+
+
+
+
=
1. Równanie pomiaru:
1
=
=
=
3
2
1
c
c
c
0
=
=
t
W
δ
4
c
α
W
=
5
c
Współczynniki wpływu:
Przykład post
ę
powania przy obliczaniu
niepewno
ś
ci pomiaru bezpo
ś
redniego
Wielko
ść
Estymata
Szeroko
ść
połówkowa
Wspó
ł
.
rozrzutu
Niepewn.
standard.
Wsp.
wpływu
Sk
ł
adowe
niep. zło
Ŝ
.
1
2
3
4
5
6
7
X
i
x
i
0,5R
i
k
*
i
u (X
i
)
c
i
u
i
(Y)
W
183,955
-
-
0,0012
1
0,0012
P
w
0
0,007
0,004
1
0,004
P
w
0
P
rw
0
0,0005
0,0003
1
0,0003
δt
0
3
1,73
0,00213
0,0037
D
183,955
0,00559
U
(D) = k u
c
(D) = 0,01118 mm
≈
0,011 mm; D = (183,955 ± 0, 011) mm
3
3
3
Przykład post
ę
powania przy obliczaniu
niepewno
ś
ci pomiaru bezpo
ś
redniego
Dzi
ę
kuj
ę
za uwag
ę
i zapraszam na dalsz
ą
cz
ęść
wykładu
U(X
s
)
U(X
s
)
U(X)
U(X)
x
s
x
x
x
s