Kwantyfikatory

Kwantyfikatory to określenia ilościowe dotyczące liczby obiektów jakiegoś typu. Na przykład niech 
oznacza zbiór Polaków, zaś 

 funkcję zdaniową ``  jest praworęczny''. RozwaŜmy zdanie:

KaŜdy Polak jest praworęczny.

MoŜemy to zdanie przepisać w sposób częściowo symboliczny:

Dla kaŜdego 

,   jest praworęczny.

W rachunku zdań zastępowaliśmy spójniki języka potocznego przez pewne symbole. W rachunku
kwantyfikatorów zwrot ``dla kaŜdego '' zapisujemy symbolicznie w postaci  . Zdanie 

 moŜemy więc

zapisać w postaci

Zdanie to jest równowaŜne temu, Ŝe wykres funkcji zdaniowej 

 to cały zbiór 

, tzn.

Zdanie 

 moŜemy odczytywać na wiele równowaŜnych sposobów:

Dla kaŜdego 

, 

 .

1.

Dla dowolnego 

, 

.

2.

Dla wszystkich 

, 

.

3.

Wszystkie 

 mają własność 

.

4.

KaŜdy 

 spełnia 

.

5.

 dla wszystkich 

.

6.

Symbol   nazywamy duŜym kwantyfikatorem (lub kwantyfikatorem ogólnym, uniwersalnym)

6.1

. Ogólnie,

dla dowolnej funkcji zdaniowej 

 zapis 

 odczytujemy na dowolny z powyŜszych

sposobów. Oznacza on zawsze, Ŝe 

. Zdanie postaci 

 nazywamy zdaniem

uniwersalnym.

RozwaŜmy teraz zdanie

Pewien Polak jest praworęczny.

Oznaczając znów przez 

 zbiór Polaków i uŜywając 

 na oznaczenie funkcji zdaniowej ``  jest

praworęczny'' moŜemy zdanie to zapisać w postaci

Istnieje 

 taki, Ŝe 

.

Zwrot ``istnieje'' zapisujemy symbolicznie w postaci  . Zatem zdanie 

 moŜemy zapisać symbolicznie

jako

Zdanie to jest równowaŜne temu, Ŝe wykres funkcji zdaniowej 

 jest niepusty, tzn.

Zdanie 

 moŜemy odczytywać na wiele równowaŜnych sposobów:

Istnieje 

 takie, Ŝe 

.

1.

Dla pewnego 

 mamy 

.

2.

Jakieś 

 spełnia 

.

3.

 dla pewnego 

.

4.

Symbol   nazywamy małym kwantyfikatorem (lub kwantyfikatorem egzystencjalnym)

6.2

. Ogólnie, dla

dowolnej funkcji zdaniowej 

 zapis 

 odczytujemy na dowolny z powyŜszych sposobów.

Oznacza on zawsze, Ŝe 

. Zdanie postaci 

 nazywamy zdaniem

egzystencjalnym.

Zbiór 

 w wyraŜeniach 

 i 

 nazywamy zakresem kwantyfikatora. Gdy jest on znany z kontekstu,

moŜna pomijać fragment ``

'' w 

 i 

, pisząc odpowiednio

UŜywając kwantyfikatorów wiele matematycznych zdań moŜemy zapisać w przejrzystej formie. Na
przykład zdanie

mówi, Ŝe ``równanie 

 ma rozwiązanie''. Fakt, Ŝe 

 zawiera się w 

, moŜemy zapisać w

postaci

zaś to, Ŝe zbiory 

 i 

 nie są rozłączne, znaczy, Ŝe

W przypadku kwantyfikowania po zbiorze skończonym mały kwantyfikator moŜemy zastąpić przez
kilkukrotną alternatywę, zaś duŜy kwantyfikator przez kilkukrotną koniunkcję. ZałóŜmy mianowicie, Ŝe
rozwaŜamy funkcję zdaniową 

, gdzie 

 jest zbiorem skończonym.

Wówczas zdanie 

 jest równowaŜne

zaś zdanie 

 jest równowaŜne

W matematyce uŜywa się teŜ często tak zwanych kwantyfikatorów ograniczonych (inaczej:
zrelatywizowanych).

Przykład 1. Zdanie ``Jeśli liczba rzeczywista   jest 

, to 

'' w formie symbolicznej ma postać

gdzie zakres kwantyfikatora to zbiór liczb rzeczywistych. MoŜemy je jednak równieŜ wyrazić mówiąc:
``Dla kaŜdej liczby rzeczywistej   większej lub równej   mamy 

'', co w formie symbolicznej ma

postać:

W wyraŜeniu tym zakres kwantyfikatora jest ograniczony do liczb rzeczywistych 

, dlatego nazywamy

go tu kwantyfikatorem ograniczonym (zrelatywizowanym).

Podobnie dla funkcji zdaniowej 

 i zbioru 

 zdanie

czytamy ``Dla kaŜdego  , jeśli 

, to 

''. Jest ono równowaŜne temu, Ŝe 

.

Zatem równowaŜnie moŜemy wyrazić to zdanie mówiąc: ``Dla kaŜdego 

 mamy 

''. W formie

symbolicznej zdanie to ma postać

zakres kwantyfikatora został tu ograniczony do zbioru 

.

Przykład 2. RozwaŜmy zdanie ``Istnieje liczba rzeczywista   taka, Ŝe 

 i 

''. Symbolicznie

zdanie to ma postać

MoŜemy jednak wysłowić je mówiąc: ``Istnieje liczba   mniejsza od  , taka Ŝe 

''. Symbolicznie

zapisujemy to w postaci:

Znów zakres kwantyfikatora, ktory początkowo był równy 

, został tu ograniczony do liczb

rzeczywistych 

.

Podobnie, gdy mamy funkcję zdaniową 

 i 

, zdanie

jest równowaŜne temu, Ŝe 

. MoŜemy więc zapisać je w formie

Zakres kwantyfikatora, który początkowo był równy 

, jest tu ograniczony do zbioru 

.

RozwaŜmy teraz sytuację, gdy 

. Wtedy zdanie

jest prawdziwe, gdyŜ jest ono równowaŜne zdaniu 

. Poprzednik implikacji

wystepującej wewnątrz tego zdania jest fałszywy dla kaŜdego  .
Natomiast zdanie

jest w tym przypadku fałszywe, gdyŜ równowaŜne jest ono zdaniu 

. Pierwszy człon

koniunkcji występującej wewnątrz tego zdania jest fałszywy dla kaŜdego  .

Warto podkreślić, Ŝe relatywizacja duŜego kwantyfikatora odpowiada ``schowaniu'' poprzednika
implikacji, zaś relatywizacja małego kwantyfikatora odpowiada ``schowaniu'' pierwszego członu
koniunkcji, i tylko w takich przypadkach mogą być one dokonane. Formalnie rzecz biorąc, kaŜda z form
zapisu (zrelatywizowana lub nie) jest równie dobra, wybór formy jest więc kwestią smaku. W miarę
potrzeby moŜna przechodzić od jednej formy zapisu do drugiej. Kwantyfikatory ograniczone zazwyczaj
ujmujemy w nawiasy.

Jako kolejny przykład zauwaŜmy, Ŝe w zrelatywizowanej formie zdanie 

 ma postać

. Podobnie zdanie 

 w postaci zrelatywizowanej moŜna zapisać na

dwa sposoby: 

 i 

. (W obu tych przykładach zakładamy, Ŝe zbiory 

 i

 są podzbiorami jednej przestrzeni 

, która jest zakresem kwantyfikatorów w postaci

niezrelatywizowanej.)

MoŜemy równieŜ kwantyfikować funkcje zdaniowe większej liczby zmiennych. RozwaŜmy funkcję
zdaniową 

. Wówczas moŜemy utworzyć nowe funkcje zdaniowe:

``dla kaŜdego 

'' oraz ``istnieje 

 takie, Ŝe 

''.

W formie symbolicznej zapisujemy je następująco:

Są to funkcje zdaniowe zmiennej   o zakresie 

. Zmienna   została tu ``związana'' przez kwantyfikatory

 i 

. Gdy zakres kwantyfikatorów jest znany z kontekstu, moŜemy pomijać fragment ``

'' w 

,

pisząc 

 i 

.

Niech 

 będzie wykresem funkcji zdaniowej 

. Widzimy, Ŝe

Dla dowolnych 

 mamy teŜ

Przy pomocy cięć pionowych zbioru 

 moŜemy więc zinterpretować zdania typu

.

Podobnie przy pomocy cięć poziomych zbioru 

 interpretujemy zdania

RozwaŜymy teraz kilka przykładów z języka potocznego. Niestety, zarówno w języku potocznym, jak i w
matematyce, by sformalizować zdanie przy pomocy kwantyfikatorów, trzeba je często najpierw
przeformułować.

Przykład 1. Sformalizujemy zdanie: ``KaŜdy kij ma przynajmniej dwa końce''. Niech mianowicie 
oznacza zbiór kijów, 

 zbiór końców, zaś 

 funkcję zdaniową: ``  jest końcem  ''.

Nasze zdanie moŜemy wysłowić mówiąc:

Dla kaŜdego kija   istnieją końce 

 takie, Ŝe   jest końcem   i   jest końcem   i 

.

Symbolicznie nasze zdanie ma postać:

Zapis 

 jest skrótem dla 

.

Przykład 2. Sformalizujemy zdanie: ``KaŜdy dudek ma swój czubek''. Niech 

 oznacza zbiór dudków, 

zbiór czubków, zaś 

 funkcję zdaniową: ``  ma  ''. Nasze zdanie moŜemy

przeformułować następująco:

Dla kaŜdego dudka   istnieje czubek   taki, Ŝe   ma  .

W formie symbolicznej nasze zdanie ma postać

W tym miejscu zwróćmy uwagę, Ŝe zdanie z kwantyfikatorami w zmienionej kolejności:

odczytujemy jako:

Istnieje taki czubek, Ŝe kaŜdy dudek go ma.

co jest jawnym fałszem. Widzimy więc, Ŝe ogólnie zdania

nie są równowaŜne, to znaczy kwantyfikatory   i   nie są przemienne.

Przykład 3. Sformalizujemy zdanie: ``Nie wszystko złoto, co się świeci''. Niech 

 oznacza zbiór rzeczy,

, funkcję zdaniową ``  jest złote'', zaś 

 funkcję zdaniową ``  się świeci''. Nasze

zdanie moŜemy przeformułować w postaci: ``Nieprawda, Ŝe kaŜda rzecz  , która się świeci, jest złota.'',
czy teŜ inaczej: ``Nieprawda, Ŝe dla kaŜdej rzeczy  , jeśli   się świeci, to   jest złota.'' Zatem nasze
zdanie ma postać symboliczną:

Formalizacja zdań matematycznych przy pomocy spójników logicznych i kwantyfikatorów nie jest celem
samym w sobie. Warto ją stosować, gdy rozjaśnia znaczenie matematycznego zdania lub upraszcza jego
zapis. Gdy jednak zdanie jest wystarczająco jasne w potocznym języku matematycznym, nie naleŜy ulegać
manierze zastępowania w nim zwyczajnych słów (takich jak ``i'', ''lub'', ``dla kaŜdego'') przez sztuczne
znaczki ( 

).