F1_ opis ruchu 

1

x

z

y

   OPIS RUCHU 

Wektor położenia, promień wodzący 

                                  0 

Równanie ruchu

 

 

 

 

ˆ

ˆ

ˆ

r t

x t

x

y t

y

z t

z

 

˜



˜



˜

&

Eliminując z tych równań czas otrzymujemy  
równanie toru

z = F (x, y) 

r

&

 

t

r

r

&

&

 

 

 

 

ˆ

( )

ˆ

( )

ˆ

( )

x t

x t x

y t

y t y

z t

z t z

 

 

 

&

&

&

z

z

y

y

x

x

r

ˆ

ˆ

ˆ

˜



˜



˜

 

&

F1_ opis ruchu 

2

PRĘDKOŚĆ 

Prędkość średnia

2

1

2

1

r

r

r

r

v

t

t

t



'

 

 



'

&

&

&

&

prędkość średnia punktu   
w czasie  

1

2

t

t

t



 

'

Prędkość

(prędkość chwilowa) 

∆t → 0 

dt

r

d

t

r

v

t

&

&

&

 

'

'

 

o

'

0

lim

dr

v

dt

 

&

&

ˆ

ˆ

ˆ

dx

dy

dz

v

x

y

z

dt

dt

dt

 





&

prędkość jest zawsze 

styczna do toru

F1_ opis ruchu 

3

t

t + 't

x(t) 

czas 

x(t + 't)

x

'

t

'

0

lim

chwil

t

x

tg

v

t

D

' o

'

 

 

'

 nachylenie 
siecznej: 

nachylenie 
stycznej: 

sr

x

v

t

'

 

'

 POCHODNA FUNKCJI

Pochodna w danym punkcie równa jest 

tangensowi 

nachylenia stycznej do krzywej w tym punkcie. 

Pochodna podaje informację jak szybko funkcja się 
zmienia (inaczej: podaje stopień nachylenia funkcji w 
danym punkcie  

F1_ opis ruchu 

4

1

0

tg

D

!

2

0

tg

D

 

3

0

tg

D



POCHODNA FUNKCJI 

Pochodna podaje „stromość” funkcji w punkcie.  

Liczbowo równa jest tangensowi nachylenia stycznej do 

wykresu funkcji w danym punkcie, df/dx = tgD. 

Funkcja rośnie: pochodna > 0  

Funkcja maleje: pochodna < 0 

Maksimum, minimum, punkt przegięcia: pochodna = 0. 

F1_ opis ruchu 

5

PRZYSPIESZENIE 

Przyspieszenie średnie 

2

1

2

1

sr

v

v

v

a

t

t

t



'

 

 



'

&

&

&

&

Przyspieszenie 

∆t → 0  

dt

v

d

t

v

a

t

&

&

&

 

'

'

 

o

'

0

lim

dv

a

dt

 

&

&

ˆ

ˆ

ˆ

y

x

z

dv

dv

dv

a

x

y

z

dt

dt

dt

 

˜ 

˜ 

˜

&

2

2

d r

a

dt

 

&

&

2

2

2

2

2

2

ˆ

ˆ

ˆ

d x

d y

d z

a

x

y

z

dt

dt

dt

 

˜ 

˜ 

˜

&

F1_ opis ruchu 

6

dt

v

d

a

&

 

SKŁADOWE PRZYSPIESZENIA 

Przyspieszenie ma składowe 

a

x

, a

y 

i

 a

z

x

y

z

a

a

a

a

 





&

&

&

&

oraz 

a

s

i 

a

n

n

s

a

a

a

&

&

&



 

ƒ

przyspieszenie styczne do toru,  opisujące zmiany 
wartości prędkości   

dt

dv

a

s

 

v - wartość prędkości 

ƒ

przyspieszenie normalne, prostopadłe do toru – 
opisujące zmiany kierunku prędkości  

2

U

v

a

n

 

gdzie    

U

- promień krzywizny toru.  

a

n

a

s