**.Metoda identyfikacji metodą momentów dla dowolnego u(t)
NaleŜy wyznaczyć
)
(t
g
na podstawie znajomości
)
(t
u
i
)
(t
y
.
ZałoŜenia:
-
sygnały
)
(t
u
i
)
(t
y
określone są na przedziale czasu [0-
T];
-
rozwaŜania przeprowadza się dla
∞
→
T
-
dla uproszczenia doboru funkcji aproksymujących wprowadza się funkcję wagi
)
(t
w
Transformata sygnału wejściowego z wagą
)
(t
w
:
( )
( ) ( )
dt
e
t
u
t
w
s
U
st
w
−
∞
∫
=
0
(1)
Transformata sygnału wyjściowego z wagą
)
(t
w
:
( )
( ) ( )
dt
e
t
y
t
w
s
Y
st
w
−
∞
∫
=
0
(2)
Oraz transformata odpowiedzi impulsowej
)
(t
g
z wagą
)
(t
w
:
( )
( ) ( )
dt
e
t
g
t
w
s
G
st
w
−
∞
∫
=
0
(3)
Dla zerowych warunków początkowych:
( )
( ) ( )
s
U
s
G
s
Y
w
w
w
=
(4)
Podstawiamy (1),(2) i (3) do (4):
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
dt
e
t
u
t
w
dt
e
t
g
t
w
dt
e
t
y
t
w
st
st
st
−
∞
−
∞
−
∞
∫
∫
∫
⋅
=
0
0
0
(5)
Rozwijając w szereg względem st funkcję
st
e
−
otrzymamy:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
dt
t
u
t
w
s
m
t
-
dt
t
g
t
w
s
t
-
dt
t
y
t
w
s
n
t
-
m
m
m
m
n
n
n
n
!
1
!
1
!
1
0
0
0
0
0
0
∫ ∑
∫ ∑
∫ ∑
∞
∞
=
∞
∞
=
∞
∞
=
⋅
=
ν
ν
ν
ν
ν
(6)
Definiujemy teraz momenty w postaci:
( ) ( )
.
0,1,2,....
0
=
=
∫
∞
ν
µ
ν
ν
dt
t
g
t
w
t
(7)
( ) ( )
.
0,1,2,....
0
=
=
∫
∞
n
dt
t
y
t
w
t
a
n
n
(8)
( ) ( )
.
0,1,2,....
0
=
=
∫
∞
m
dt
t
u
t
w
t
b
m
m
(9)
Momenty (8) i (9) moŜna obliczyć po wprowadzeniu stosownego w(t).
Uwzględniając (7),(8) i (9) w (6) mamy:
( )
( )
( )
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
⋅
=
0
0
0
!
1
!
1
!
1
m
m
m
m
n
n
n
n
s
m
b
-
s
-
s
n
a
-
ν
ν
ν
ν
ν
µ
(10)
( )
( )
∑
∑
∞
=
+
+
∞
=
=
0
,
0
!
1
!
1
m
m
m
m
n
n
n
n
s
b
-
s
n
a
-
ν
ν
ν
ν
ν
µ
(11)
podstawiając
n
m
=
+
ν
( )
( ) ( )
∑∑
∑
∞
=
∞
=
+
−
∞
=
−
=
0
0
0
!
!
1
!
1
n
m
n
n
n
n
n
n
s
n
b
-
s
n
a
-
ν
ν
ν
ν
ν
ν
µ
(12)
porównując współczynniki przy tych samych potęgach s :
( )
( ) ( )
∑
∞
=
−
−
=
0
!
!
1
!
1
ν
ν
ν
ν
ν
µ
n
b
-
n
a
-
n
n
n
n
(13)
ostatecznie:
,....
2
,
1
2
1
0
0
=
=
=
−
∞
=
∑
n
,....
,
,
ν
b
ν
n
a
n
n
ν
ν
ν
µ
(14)
UŜywając równanie (9) moŜna obliczyć:
2
1
0
n
0
0
,....
,
,
b
b
ν
n
a
n
n
n
=
−
=
−
∞
=
∑
ν
ν
ν
µ
µ
(15)
Czyli na tym etapie w oparciu o obliczone wcześniej
ν
−
n
n
b
i
a
moŜna wyliczyć
n
µ
.
Na obecnym etapie mamy policzone
n
µ
. Dalej zostanie przedstawione w jaki sposób w
oparciu o znajomość momentów
n
µ
moŜna wyliczyć
)
(
~
oraz
)
(
~
s
G
t
g
będące aproksymacją
odpowiednio odpowiedzi impulsowej oraz transmitancji badanego obiektu.
Przy tej aproksymacji zadbamy o parę uŜytecznych szczegółów:
-aby funkcja aproksymująca
)
(
~ t
g
oraz aproksymowana
)
(t
g
miały te same momenty przy
wadze
)
(t
w
:
( ) ( )
n
dt
t
g
t
w
t
≤
≤
=
∫
∞
ν
µ
ν
ν
0
~
0
(16)
-aby funkcje tworzące bazę funkcji
( )
∑
=
=
n
i
i
i
t
C
t
g
0
)
(
~
ϕ
(17)
tworzyły ciąg funkcji ortonormalnych:
( ) ( ) ( )
∫
∞
=
≠
=
0
1
0
j
dla i
j
dla i
dt
t
w
t
t
j
i
ϕ
ϕ
(18)
-współczynniki
i
C naleŜy tak dobrać aby osiągnąć minimum funkcjonału:
( ) ( ) ( )
[
]
dt
t
g
t
g
t
w
I
2
0
~
−
=
∫
∞
(19)
W tym celu wstawiamy do (19) (17) uwzględniając (18) otrzymujemy wyraŜenia na
i
C po
Przyrównaniu
0
=
∂
∂
i
C
I
( ) ( ) ( )
.
,.........
2
,
1
,
0
0
=
=
∫
∞
i
dt
t
t
g
t
w
C
i
i
ϕ
(20)
Czyli na tym etapie identyfikacji naleŜy:
Wyznaczyć współczynniki
Wyznaczyć współczynniki
Wyznaczyć współczynniki
Wyznaczyć współczynniki
i
C
dla wyliczonych momentów
dla wyliczonych momentów
dla wyliczonych momentów
dla wyliczonych momentów
ν
µ
dla wybranych
dla wybranych
dla wybranych
dla wybranych
( )
t
i
ϕ
i
i
i
i
( )
t
w
....
1.Aproksymacja wielomianami Laguerra.
Z definicji wielomiany te wyraŜają się wzorem:
( )
( )
( ) ( )
[
]
t
i
i
i
t
i
i
e
t
t
d
d
e
i
t
L
t
!
α
α
α
α
α
ϕ
−
=
=
(21)
po róŜniczkowaniu:
( )
( )
( ) ( )
[
]
t
i
i
i
t
i
i
e
t
t
d
d
e
i
t
L
t
!
α
α
α
α
α
ϕ
−
=
=
(22)
( )
( )
(
)
( )
!
0
j
i
t
j
i
t
L
t
j
i
i
j
i
i
−
−
=
=
−
=
∑
α
α
ϕ
(23)
aby zachodziła ortonormalność funkcję wagi trzeba przyjąć
( )
t
w
w postaci:
( )
t
e
t
w
α
−
=
(24)
uwzględniając (23) w (20):
(
)
( )
( ) ( )
,....,n
,
i
dt
t
t
w
t
g
j
i
j
i
t
C
j
i
i
j
j
i
i
1
0
!
0
0
=
−
−
=
−
∞
=
−
∫
∑
α
α
(25)
podstawiając do (25) relację (7) otrzymujemy:
(
)
( )
,....,n
,
i
j
i
j
i
t
C
i
i
j
j
i
i
1
0
!
0
=
−
−
=
∑
=
−
µ
α
α
(30)
Z (30) moŜemy wyliczyć kolejne współczynniki
i
C kolejno jako:
C
0
0
µ
α
=
(
)
C
-
1
0
1
αµ
µ
α
=
C
!
2
2
-
2
2
1
0
2
+
=
µ
α
αµ
µ
α
C
!
3
!
2
3
3
-
3
3
2
2
1
0
3
−
+
=
µ
α
µ
α
αµ
µ
α
(31)
C
!
4
!
3
4
!
2
6
4
-
4
4
3
3
2
2
1
0
4
+
−
+
=
µ
α
µ
α
µ
α
αµ
µ
α
Dla tych zaleŜności spełniony jest warunek
( ) ( )
t
g
t
g
~
≈
.
Łącząc wzory (17) i (30) oraz (31):
( )
(
)
( )
!
0
0
j
i
t
j
i
C
t
g
j
i
i
j
n
i
i
−
−
≈
−
=
=
∑
∑
α
α
(32)
Transmitancję określa zatem wzór:
( )
(
)
1
0
0
+
−
≈
−
−
=
=
∑
∑
j
i
j
i
i
j
n
i
i
s
t
j
i
C
s
G
α
α
(33)
2.Aproksymacja funkcjami Laguerra.
( )
( )
( ) ( )
[
]
t
i
i
i
t
i
i
e
t
t
d
d
e
i
t
L
t
2
!
α
α
α
α
α
ϕ
−
=
=
(34)
czyli:
( )
(
)
( )
!
0
2
j
i
t
j
i
e
t
j
i
i
j
t
i
−
−
=
−
=
−
∑
α
α
ϕ
α
(35)
( )
( )
( ) ( )
,....,n
,
i
dt
e
t
t
w
t
g
j
i
j
i
C
t
j
i
i
j
j
i
i
1
0
!
2
0
0
=
−
−
=
−
−
∞
=
−
∫
∑
α
α
α
(36)
( )
( )
,....,n
,
i
j
i
j
i
C
j
i
i
j
j
i
i
1
0
!
0
=
−
−
=
−
=
−
∑
µ
α
α
(37)
( )
(
)
( )
!
0
2
0
j
i
t
j
i
e
C
t
g
j
i
i
j
t
n
i
i
−
−
≈
−
=
−
=
∑
∑
α
α
α
(38)
( )
1
0
2
1
1
2
1
1
+
=
+
−
≈
∑
i
i
n
i
i
s
s
C
s
G
α
α
α
(39)
j
ω
δ
α/2
3. Aproksymacja funkcjami wykładniczymi: