3.   Cztery dziaùania arytmetyczne na liczbach zespolonych

 

Dodawanie,  odejmowanie  i  mno

¿enie  liczb  zespolonych  wykonuje  siê  tak  jak 

odpowiednie  dzia

ùania  na  zwykùych  dwumianach,  przyjmuj¹c 

(przy  mno

¿eniu) 

1

2





i

.  

 

.......................................................................................... 

PRZYK£AD

 

Obliczy

ã sumê, ró¿nicê i iloczyn liczb 

i

z

4

5

1





  i 

i

z

2

1

2







. 

Rozwi

¹zanie

 





i

i

i

z

z

6

4

2

1

4

5

2

1

















 





i

i

i

z

z

2

6

2

1

4

5

2

1

















 



 



i

i

i

i

i

i

i

z

z

6

13

8

6

5

8

4

10

5

2

1

4

5

2

2

1



































 

........................................................................................... 

 

Obliczaj

¹c  iloraz  dwóch  liczb  zespolonych,  rozszerzamy  uùamek  przez  liczbê 

sprz

ê¿on¹

 z mianownikiem po to, by otrzyma

ã 

w mianowniku liczb

ê rzeczywist¹.

 

 

........................................................................................... 

PRZYK£AD

 

Wykona

ã dzielenie liczby 

i

z

4

5

1





  przez  

i

z

2

1

2







. 

Rozwi

¹zanie

 



 





 







 





i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

z

z

5

14

5

3

5

14

3

4

1

8

14

5

2

1

8

4

10

5

2

1

2

1

2

1

4

5

2

1

4

5

2

2

2

2

1

































































 

........................................................................................ 

Dziaùania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej i wykùadniczej  

 

Niech liczby zespolone 

1

z

 oraz 

2

z

  dane b

êd¹ w postaci trygonometrycznej:

 





1

1

1

1





sin

i

cos

z

z





 





2

2

2

2





sin

i

cos

z

z





 

W

ówczas zachodz¹ wzory

 













2

1

2

1

2

1

2

1

















sin

i

cos

z

z

z

z

 













2

1

2

1

2

1

2

1

















sin(

i

cos

z

z

z

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

id3706375 pdfMachine by Broadgun Software  - a great PDF writer!  - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com  http://www.broadgun.com 

Interpretuj

¹c 

 powy

¿sze wzory mo¿na powiedzieã, ¿e moduù iloczynu (ilorazu) dwóch 

liczb  r

ówna  siê  iloczynowi  (ilorazowi)  moduùów,  a  argument  równa  siê  sumie 

(r

ó¿nicy) argumentów tych liczb.

  

Je

œli  liczby 

1

z

  oraz 

2

z

  zapisane  zostan

¹  w  postaci  wykùadniczej,  to  powy¿szy 

wniosek  otrzymamy  natychmiast  na  podstawie  znanych  ze  szko

ùy  wùasnoœci  potêg

, 

bowiem 





2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

















i

i

i

e

z

z

e

z

e

z

z

z

 

oraz 





2

1

2

1

2

1

2

1

2

1















i

i

i

e

z

z

e

z

e

z

z

z