1
Twierdzenie (reguła de L’Hospitala)
Zało enia
( ) { }
R
x
b
a
g
f
→
0
\
,
:
,
( ) { }
(
)
0
\
,
,
x
b
a
D
g
f
∈
,
x
0
– punkt skupienia zbioru
(a,b),
tzn.
[ ]
b
a
x
,
0
∈
( )
( ) { }
0
\
,
0
x
b
a
x
x
g
∈
≠
′
( )
( )
0
lim
lim
0
0
=
=
→
→
x
g
x
f
x
x
x
x
lub
( )
( )
±∞
=
=
→
→
x
g
x
f
x
x
x
x
0
0
lim
lim
Teza
( )
( )
( )
( )
( )
( )
c
x
g
x
f
x
g
x
f
c
x
g
x
f
x
x
x
x
x
x
=
∧
∃
=
′
′
∃
→
→
→
0
0
0
lim
lim
lim
Dowód
Tylko przypadek:
( )
( )
0
lim
lim
0
0
=
=
→
→
x
g
x
f
x
x
x
x
Rozszerzmy funkcje
f
i
g
na przedział
( ) { }
0
,
x
b
a
∪
( )
( )
0
:
0
:
0
0
=
=
x
g
x
f
Do udowodnienia istnienia
( )
( )
x
g
x
f
x
x
0
lim
→
wykorzystamy definicj Heinego granicy funkcji.
Niech
( )
b
a
x
n
,
∈
i
0
x
x
n
n
→
∞
→
(
)
0
x
x
n
≠
.
Pytanie:
( )
( )
c
x
g
x
f
n
n
n
?
lim
=
+∞
→
Z twierdzenia Cauchy’ego
(
)
n
n
x
x
c
,
0
∈
∃
lub
(
)
:
,
0
x
x
c
n
n
∈
( )
( )
( )
( )
n
n
n
n
c
g
c
f
x
g
x
f
′
′
=
0
0
x
c
x
x
n
n
n
n
→
→
∞
→
∞
→
(na postawie twierdzenia o trzech ci gach, poniewa
(
)
0
0
0
0
x
x
x
x
x
c
n
n
n
n
−
<
−
=
−
<
θ
)
