K
OMBINACJA LINIOWA WEKTORÓW
Macierze jednokolumnowe lub jednowierszowe nazywamy wektorami i oznaczamy małymi
literami. Macierze jednowierszowe utoŜsamiamy ze skończonymi ciągami liczbowymi. Ze względu
na duŜą rolę takich macierzy w rozwaŜaniach teoretycznych i praktycznych wyróŜniamy ten
przypadek w formie odrębnej definicji.
Def:
Zbiór wszystkich n-wyrazowych ciągów liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem
n
R
i
nazywamy rzeczywistą przestrzenią kartezjańską o n wymiarach. Elementy tej przestrzeni
nazywamy wektorami, a wyrazy ciągu współrzędnymi wektora.
Piszemy zatem:
(
)
n
x
x
x
x
K
,
,
2
1
=
(
)
n
n
n
n
e
x
e
x
e
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
=
+
+
=
=
K
K
K
K
K
K
2
2
1
1
2
1
2
1
)
0
,
0
,
0
(
)
0
,
1
,
0
(
)
0
,
0
,
1
(
,
,
Niech k będzie ustaloną liczbą naturalną,
k
x
x
x
,
,
,
2
1
K
będą wektorami z przestrzeni
n
R zaś
α
1
,
α
2
,...,
α
k
liczbami rzeczywistymi.
Def.
Wektor x postaci
k
k
x
x
x
x
α
α
α
+
+
+
=
K
2
2
1
1
nazywamy kombinacją liniową wektorów
k
x
x
x
,
,
,
2
1
K
o współczynnikach
k
α
α
α
,
,
,
2
1
K
.
L
INIOWA NIEZALEśNOŚĆ I LINIOWA ZALEśNOŚĆ WEKTORÓW
Def.
Układ wektorów
k
x
x
x
,
,
,
2
1
K
nazywamy liniowo zaleŜnym, gdy istnieją liczby
k
α
α
α
,
,
,
2
1
K
nie
wszystkie równe zero takie, Ŝe
0
2
2
1
1
=
+
+
+
k
k
x
x
x
α
α
α
K
0 w tym równaniu oznacza wektor o n elementach równych zero.
n
R
∈
=
)
0
,
0
,
0
(
0
K
Układ wektorów
k
x
x
x
,
,
,
2
1
K
nazywamy liniowo niezaleŜnym, jeŜeli nie jest on liniowo zaleŜny to
znaczy jeŜeli równość
0
2
2
1
1
=
+
+
+
k
k
x
x
x
α
α
α
K
zachodzi tylko wtedy, gdy
0
,
2
1
=
=
=
=
k
α
α
α
K
(jeŜeli kombinacja liniowa tych wektorów jest
wektorem zerowym jedynie wówczas, gdy wszystkie jej współczynniki są równe zero).
Uwaga
Równanie wektorowe
0
2
2
1
1
=
+
+
+
k
k
x
x
x
α
α
α
K
jest toŜsame z jednorodnym układem n równań liniowych o k niewiadomych
k
α
α
α
,
,
,
2
1
K
.
Twierdzenia
1)
n
k
=
a) Układ
k
x
x
x
,
,
,
2
1
K
n wektorów przestrzeni
n
R jest liniowo niezaleŜny wtedy i tylko wtedy, gdy
[
]
n
x
x
x
rz
n
=
,
,
,
2
1
K
.
