1
DYNAMIKA
Różniczkowe równania ruchu płynów nielepkich
Podstawowe równania dynamiki płynów nielepkich – Euler (1755 r)
Równania równowagi płynu w hydrostatyce np. dla kierunku Ox
0
1
x
p
q
x
Równanie równowagi dynamicznej płynu nielepkiego
dla kierunku Ox
0
1
dt
dv
x
p
q
x
x
2
Różniczkowe równania ruchu płynów nielepkich
Pochodna substancjalna
z
x
y
x
x
x
x
x
v
z
v
v
y
v
v
x
v
t
v
dt
dv
z
x
y
x
x
x
x
x
v
z
v
v
y
v
v
x
v
t
v
x
p
q
1
Równania Eulera
z
z
y
z
x
z
z
z
z
y
y
y
x
y
y
y
v
z
v
v
y
v
v
x
v
t
v
z
p
q
v
z
v
v
y
v
v
x
v
t
v
y
p
q
1
1
Różniczkowe równania ruchu płynów nielepkich
Równania Eulera:
opisują przepływ nielepki,
są słuszne dla przepływu ściśliwego lub nieściśliwego
Rozwiązanie tych równań wymaga:
równania ciągłości
równania stanu (dla przepływu ściśliwego)
równania energii (np. dla przepływów z silnymi
zjawiskami falowymi)
3
Równanie Bernoulliego w przepływie ustalonym
Przepływ ustalony
pochodne lokalne
Siła masowa
ciężar
g
q
q
q
z
y
x
0
dz
dt
dv
dz
z
p
gdz
dy
dt
dv
dy
y
p
dx
dt
dv
dx
x
p
z
y
x
1
1
1
Równania Eulera
pomnożone odpowiednio przez dx, dy, dz
0
t
v
t
v
t
v
z
y
x
Równanie Bernoulliego w przepływie ustalonym
Prawą stronę można przekształcić pod warunkiem, że całkowanie
wykonamy wzdłuż linii prądu do postaci:
dz
dt
dv
dy
dt
dv
dx
dt
dv
dz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
gdz
z
y
x
1
)
(
2
1
)
(
2
1
2
2
2
2
v
d
v
v
v
d
dv
v
dv
v
dv
v
dz
dt
dv
dy
dt
dv
dx
dt
dv
z
y
x
z
z
y
y
x
x
z
y
x
4
Równanie Bernoulliego w przepływie ustalonym
Po scałkowaniu otrzymujemy:
Wzdłuż linii prądu
0
1
)
(
2
1
2
gdz
dp
v
d
C
gz
dp
v
2
2
Równanie Bernoulliego
Równanie Bernoulliego jest całką równań Eulera wzdłuż linii
prądu dla ustalonego przepływu wirowego lub potencjalnego
w polu grawitacyjnym
.
Równanie Bernoulliego w przepływie ustalonym
Stosuje się do gazów i cieczy nielepkich
Wyprowadzone z równań ruchu - wyraża zasadę zachowania energii
mechanicznej
Dla płynu nieściśliwego mamy:
C
z
p
g
v
C
gz
p
v
2
lub
2
2
2
z
p
g
v
2
2
-
wysokość prędkości
-
wysokość ciśnienia
-
wysokość położenia
całkowita wysokość
hydrauliczna H
5
Równanie Bernoulliego w przepływie ustalonym
Prawo Bernoulliego
W ustalonym przepływie cieczy idealnej w polu
grawitacyjnym suma wysokości prędkości, wysokości
ciśnienia i wysokości położenia ma stałą wartość wzdłuż tej
samej linii prądu.
Równanie Bernoulliego w przepływie ustalonym
Wykres Ankony
1
1
1
2
1
2
z
p
g
v
2
2
2
2
2
2
z
p
g
v
h
s
1
2
poziom odniesienia
linia prądu
linia ciśnienia (piezometryczna)
linia energetyczna
linia strat energetycznych
1
1
1
2
1
2
z
p
g
v
2
2
2
2
2
2
z
p
g
v
h
s
1
2
poziom odniesienia
linia prądu
linia ciśnienia (piezometryczna)
linia energetyczna
linia strat energetycznych
6
Równanie Bernoulliego w przepływie ustalonym
W przepływie rzeczywistym dla dwóch punktów 1 i 2 leżących na jednej
linii prądu jest:
s
s
h
H
H
h
z
p
g
v
z
p
g
v
2
1
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
2
Zmianę wysokości całkowitej na jednostkę długości linii prądu
charakteryzującą intensywność strat możemy określić przez:
J
ds
dH
J - spadek hydrauliczny
Równanie Bernoulliego w przepływie ustalonym
Dla gazu:
musimy uwzględnić ściśliwość
możemy zaniedbać energię potencjalną
C
dp
v
2
2
Dla adiabatycznego i ustalonego
przepływu gazu
C
p
v
1
2
2
RT
p
-
dla gazu doskonałego - równanie stanu
Clapeyrona
d
C
dp
C
const
p
1
p
p
C
d
C
dp
1
1
1
1
1
1
2
- adiabata Poissona
wykładnik adiabaty
7
Ciśnienie dynamiczne. Metody pomiaru prędkości przepływu
Jeżeli przepływ cieczy odbywa się w płaszczyźnie poziomej lub jeżeli w
przepływie gazu możemy pominąć ściśliwość to :
Ciśnienie
całkowite
C
p
v
2
2
p
p
v
d
2
2
-
ciśnienie dynamiczne
-
ciśnienie statyczne
c
d
p
p
p
C
p
v
2
2
const
Metody pomiaru prędkości przepływu
Rurka Pitota
Rurka Prandtla
p
v
p
2
2
2
d
m
m
m
d
h
v
v
p
p
h
2
2
2
2
8
Metody pomiaru prędkości przepływu
Przepływomierze zwężkowe
s
h
z
p
g
v
z
p
g
v
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
2
)
(lokalnych
h
miejscowyc
strat
nik
wspólczyn
-
2
2
2
2
2
g
v
h
s
2
2
1
1
v
F
v
F
2
1
z
z
Wysokość prędkości
Wysokość ciśnienia
Metody pomiaru prędkości przepływu
Przepływomierze zwężkowe
Po przekształceniu:
1
]
1
)
1
[(
2
2
1
2
2
2
1
F
F
m
m
v
p
1
)
1
(
2
C
2
2
1
1
1
m
F
p
C
v
F
V
Q
Stąd
p
m
v
1
)
1
(
2
2
2
1
Strumień objętości przepływu:
9
Metody pomiaru prędkości przepływu
Przepływomierze zwężkowe
Wielkość:
1
)
1
(
2
2
k
m
Jest charakterystyczna dla danego przepływomierza
W zależności od sposobu realizacji przewężenia przepływomierze
można podzielić na:
•
kryzy
•
dysze
•
zwężki Venturiego
Metody pomiaru prędkości przepływu
Przepływomierze zwężkowe
Kryza
Zwężka Venturiego
Dysza
10
Wypływ cieczy ze zbiornika
Problem:
Wypływ przez mały otwór do atmosfery
Równanie Bernoulliego:
b
a
z
p
g
v
h
p
g
v
2
2
2
0
2
0
0
0
0
v
F
F
v
v
F
v
F
z
z
z
z
Równanie ciągłości:
Wypływ cieczy ze zbiornika
Prędkość wypływu:
2
0
0
1
2
z
n
F
F
h
p
g
v
b
a
n
p
p
p
Gdy F
0
/ F
z
<<1
h
p
g
v
n
2
0
Dla p
n
=0
gh
v
2
0
wzór Torricellego
11
Wypływ cieczy ze zbiornika
Wzór Torricellego stosujemy dla otworów małych tzn takich, że:
powierzchnia otworu jest mała w porównaniu z powierzchnią
zwierciadła cieczy,
gdy wymiar pionowy otworu jest mały w porównaniu z głębokością
zanurzenia
Przydatność do określania prędkości wypływu.
W przypadku określenia strumienia objętościowego:
gh
F
Q
2
0
błąd jest duży (wynosi ok. 40%).
Wypływ cieczy ze zbiornika
Zwężenie strugi (kontrakcja)
Ogólnie strumień objętościowy przez otwór określa się:
0
/ F
F
S
liczba kontrakcji
gh
F
Q
2
0
współczynnik przepływu
Dla otworu kołowego =0.59-0.64
12
Wypływ cieczy ze zbiornika
Przystawki:
•
walcowe (wewnętrzne, zewnętrzne)
•
stożkowe (zbieżne, rozbieżne)
•
konoidalne
D
L
3
82
.
0
68
.
0
9
.
0
Wypływ cieczy przez duży otwór
Problem:
Określić strumień wypływu przez duży otwór do atmosfery (jego wymiar
jest tego samego rzędu co głębokość zanurzenia środka otworu)
vdF
dQ
gz
v
2
Strumień objętości wypływu z
uwzględnieniem kontrakcji:
sin
/
bdz
bd
dF
2
1
sin
)
(
2
z
z
F
dz
z
b
gz
vdF
Q
2
1
)
(
sin
2
z
z
dz
z
z
b
g
Q
13
Wypływ cieczy przez duży otwór
Otwór prostokątny w ścianie pionowej:
1
sin
,
)
(
const
b
z
b
)
(
2
3
2
2
2
/
3
1
2
/
3
2
2
1
z
z
g
b
dz
z
g
b
Q
z
z
h
z
z
2
1
,
0
gh
bh
Q
2
3
2
Przelew (prostokątny):
Czas opróżniania zbiornika
Problem:
Zasilany, otwarty zbiornik o zmiennym przekroju poziomym, napełniony
cieczą opróżniany jest przez mały otwór.Określić czas opróżniania
zbiornika.
dt
gz
f
2
W czasie dt
przez otwór przepływa ciecz
w ilości:
dz
z
F
Qdt
)
(
W czasie dt
zwierciadło obniża się o dz.
Ze zbiornika ubywa w czasie dt ciecz:
więc:
dt
gz
f
dz
z
F
Qdt
2
)
(
14
Czas opróżniania zbiornika
Po uporządkowaniu
Przy całkowitym opróżnianiu wysokość zmienia się od h do 0.
Jeżeli Q=0 to możemy zapisać:
gz
f
Q
dz
z
F
dt
2
)
(
0
0
2
)
(
h
gz
f
Q
dz
z
F
t
h
z
dz
z
F
g
f
t
0
0
)
(
2
1