LABORATORIUM   METROLOGII 

 

 

 
 
 
 

TECHNIKA POMIARÓW  

(M-1) 

                      

www.imiue.polsl.pl/~wwwzmiape 

 

 

 

 

           

 

 

 

 

Opracował: Dr in . Jan Około-Kułak 
Sprawdził: Dr hab. in . Janusz Kotowicz 
Zatwierdził: Dr hab. in . Janusz Kotowicz 

 

 

 

 

 

 

 

1.  Cel  wiczenia. 

   Celem  wiczenia jest poznanie techniki wykonywania pomiarów oraz 

opracowywania wyników tak, aby były one zgodne z przepisami 

obowi zuj cymi w Unii Europejskiej. Dokumenty ujednolicaj ce metody 

obliczania niepewno ci pomiaru w laboratoriach akredytowanych zostały 

opublikowane przez E.A. (Europejska Współpraca w dziedzinie Akredytacji). 

Dokumenty te zostały przetłumaczone i wydane przez Zakład Metrologii 

Ogólnej Głównego Urz du Miar i zatwierdzone przez Prezesa Głównego 

Urz du Miar. 

   

 

2.  Wprowadzenie. 

 

2.1   Technika pomiarów. 

 

Czynno ci wykonywane przed i w czasie pomiarów badawczych powinny by  

opisane w sprawozdaniu z pomiarów a je eli laboratorium ma akredytacj  i 

certyfikat tak e w ksi dze jako ci laboratorium (w postaci opisu metody oraz 

procedury pomiarowej).  [3]. 

Ogólne terminy metrologiczne zwi zane z technik  pomiarów: 

 

Pomiar: Zbiór operacji maj cych na celu wyznaczenie warto ci wielko ci 

 

Warto ci wielko ci: Wyra enie ilo ciowe wielko ci równe iloczynowi liczby i 

jednostki miary. 

 

Metoda pomiarowa: Logiczny ci g wykonywanych podczas pomiaru operacji 

opisanych w sposób ogólny 

 

Procedura pomiarowa: Zbiór operacji opisanych w sposób szczegółowy i 

realizowanych podczas pomiaru zgodnie z dan  metod  

 

Wielko  mierzona: Wielko  okre lon  stanowi c  przedmiot pomiaru 
 
Wielko  wpływaj ca: Wielko  nie b d ca wielko ci  mierzon , która ma 

jednak wpływ na wynik pomiaru 
 

Wynik pomiaru: Warto  przypisana wielko ci mierzonej, uzyskana drog  

pomiaru 
 
Wynik surowy: Wynik pomiaru przed  korekcj  bł du systematycznego 
 
Wynik poprawiony: Wynik pomiaru po korekcji bł du systematycznego 
 
Dokładno  pomiaru: Stopie  zgodno ci wyniku pomiaru z warto ci  

prawdziw  wielko ci mierzonej 
 
Powtarzalno  (wyników pomiaru): Stopie  zgodno ci wyników kolejnych 

pomiarów tej samej wielko ci mierzonej, wykonywanych w tych samych 

warunkach pomiarowych 
Odtwarzalno  (wyników pomiarów): Stopie  zgodno ci wyników kolejnych 

pomiarów tej samej wielko ci mierzonej wykonywanej w zmiennych warunkach 
2.2.  Niepewno  pomiaru. 
 Niepewno  pomiaru musi by  okre lona i obliczona zgodnie z przewodnikiem 

,,Wyra anie niepewno ci pomiaru” wydanym przez Główny Urz d Miar w 1999 

roku [1]. Je eli pomiary s  dokonywane w celu wydania  wiadectwa 

wzorcowania  aparatury lub przyrz du przez akredytowane laboratorium 

niepewno  musi by  okre lona zgodnie z dokumentem EA-4/02 (Europejskiej 

Współpracy w dziedzinie Akredytacji) wydanej po polsku przez G.U.M. w 2001 

roku [4].      
Ogólne terminy metrologiczne zwi zane z niepewno ci  pomiarów: 
Niepewno  (pomiaru): Parametr zwi zany z wynikiem pomiaru, 

charakteryzuj cy rozrzut warto ci, które mo na w uzasadniony sposób przypisa  

warto ci mierzonej 

Niepewno  standardowa: Niepewno  wyniku pomiaru wyra ona w formie 

odchylenia standardowego

 

 
Zło ona niepewno  standardowa: Niepewno  standardowa wyniku pomiaru 

okre lona, gdy wynik ten otrzymywane jest z pewnej liczby innych wielko ci, 

równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy wyrazów, b d cych wariancjami 

lub kowariancjami tych innych wielko ci z wagami zale nymi od tego jak 

wynik pomiaru zmienia si  ze zmianami tych wielko ci 

 

Niepewno  rozszerzona: Wielko  okre laj ca przedział wokół wyniku 

pomiaru od którego to przedziału oczekuje si ,  e obejmie du  cz

 rozkładu 

warto ci, które w uzasadniony sposób mo na przypisa  wielko ci mierzonej 

 

Współczynnik rozszerzenia, pokrycia, obj cia: Współczynnik zastosowany 

jako mno nik zło onej niepewno ci standardowej w celu otrzymania 

niepewno ci rozszerzonej najcz ciej: K <2÷3> 

 

Obliczanie niepewno ci - metoda typu A: Metoda obliczania drog  analizy 

statystycznej serii obserwacji 

 

Obliczanie niepewno ci - metoda typu B: Metoda obliczania niepewno ci 

innymi sposobami ni  analiza serii obserwacji 

 

Bł d pomiaru: Ró nica mi dzy wynikiem pomiaru a warto ci  prawdziw  

wielko ci mierzonej 

 

Bł d wzgl dny: Stosunek bł du pomiaru do warto ci prawdziwej wielko ci 

mierzonej (lub umownie prawdziwej) 

 

Bł d przypadkowy: Ró nica mi dzy wynikiem pomiaru a  redni  z 

niesko czonej liczby wyników pomiarów tej samej wielko ci mierzonej 

wykonanej w warunkach powtarzalno ci 

 

Bł d systematyczny: Ró nica mi dzy  redni  z niesko czonej liczby pomiarów 

tej samej wielko ci mierzonej, wykonanych w warunkach powtarzalno ci a 

warto ci  prawdziw  wielko ci mierzonej 

 

Poprawka: Warto  dodana algebraicznie do surowego wyniku pomiaru w celu 

skompensowania bł du systematycznego 

 

Współczynnik poprawkowy: Współczynnik liczbowy, przez, który nale y 

pomno y  surowy wynik pomiaru, aby skompensowa  bł d systematyczny 

 

 

ródła niepewno ci pomiaru: 

a) Niepełna definicja wielko ci mierzonej 

b) Niedoskonała realizacja definicji wielko ci mierzonej 

c) Niereprezentatywne próbkowanie 

d) Niepełna znajomo  oddziaływania otoczenia na pomiar 

e) Niedoskonały pomiar warunków otoczenia 

f) Subiektywne bł dy w odczytywaniu wskaza  analogowych 

g) Sko czona rozdzielczo  albo próg pobudliwo ci przyrz du 

h) Niedokładne warto ci przypisane wzorom 

i) Niedokładne warto ci stałych i innych parametrów otrzymywanych ze  ródeł 

zewn trznych u ywanych w procedurach przetwarzania danych 

j) Przybli enia i zało enia upraszczaj ce tkwi ce w metodzie i procedurze 

pomiarowej 

k)Zmiany w powtarzanych obserwacjach wielko ci mierzonej w pozornie 

identycznych warunkach 

 

 

 

 

3. 

Przykłady podawania zło onej niepewno ci standardowej „u

c

” 

m

s

 - masa odwa nika wzorcowego (100 g) 

u

c

 - warto  zło onej niepewno ci standardowej 

 

1)  

m

s 

= 100,02147 g (ze zło on  niepewno ci  standardow ) 

u

c

 =  0,35 mg 

2)  

m

s

 = 100,02147(35) g - gdzie liczba w nawiasach jest warto ci  (zło onej 

niepewno ci standardowej)  u

c

  odniesion  do ostatnich cyfr podawanego 

wyniku 

3)  

m

s

 = 100,02147(0,00035) g - gdzie liczba w nawiasach jest warto ci  

(zło onej niepewno ci standardowej)  u

c

  wyra onej w tej samej jednostce 

co wynik 

4)  

m

s

 = (100,02147 ± 0,00035) g - gdzie liczba zapisana za symbolem ± jest 

warto ci  zło onej niepewno ci standardowej u

c

, a nie jest przedziałem 

ufno ci 

U w a g a :  4) jest sposobem najrzadziej stosowanym - grozi pomyleniem z 

przedziałem ufno ci 

 

 

 

 

 

 

 

Bud et niepewno ci: 

Analiz  zło onej niepewno ci pomiaru najlepiej jest jednak przedstawi  w 

postaci tabeli zwanej bud etem niepewno ci. Wzór takiej tabeli podano 

poni ej: 

 

 

Symbol 

wielko ci 

Estmata 

Wielko ci 

Niepewno  

standardowa 

Współczynnik 

wra liwo ci 

Udział w  

zło onej 

niepewno ci 

standardowej 

        X

i 

         x

i 

        u(x

i

) 

     

i

i

x

f

c

∂

∂

=

 

    u

i

=c

i

•u(x

i

) 

X

1

 

X

2

 

. 

. 

. 

X

N 

x

1

 

x

2

 

. 

. 

. 

x

N 

u(x

1

) 

u(x

2

) 

. 

. 

. 

u(x

N

) 

c

1

 

c

2 

. 

. 

. 

c

N

 

u

1

(y) 

u

2

(y) 

. 

. 

. 

u

N

(y) 

Y 

y 

-----------------  ------------------  u(y) 

 

 

Gdzie: Y=f(X

1

;X

2

;.....;X

N

) oraz: y=f(x

1

;x

2

;...;x

N

) 

 

Tabela ilustruj ca bud et zło onej niepewno ci standardowej najcz ciej 

uzupełniona jest niepewno ci  rozszerzon : U(y) = k•u(y)  

z podanym poziomem ufno ci. Poziom ufno ci najcz ciej wynosi 0,95 

(warto  zalecana). Dla tak przyj tego poziomu ufno ci mo na dobra  

współczynnik rozszerzenia ,,k” z tablic lub metod  rachunkow  (gdy 

przyj ty rozkład g sto ci prawdopodobie stwa nie ma stablicowanej 

dystrybuanty).   

 

 

4. 

Podstawowe poj cia statystyczne 

 

U w a g a : wszystkie całkowania powinny by  rozci gni te na cały przedział 

zmiennej losowej 

 

Warto  oczekiwana (warto   rednia): µ

z

 zmiennej losowej 

„z” o funkcji 

g sto ci prawdopodobie stwa 

p(z) definiuje si  wzorem: 

µ

z

E z

zp z dz

≡

=

( )

( )

  

Estymata  µ

z

  jest  redni  arytmetyczn

  

z

 „n”  niezale nych obserwacji: 

z

n

z

i

n

=

1

1

 

Wariancj  zmiennej losowej  z  o funkcji g sto ci prawdopodobie stwa  p(z)  

definiuje si  wzorem: 

σ

µ

2

2

( )

(

) . ( )

z

z

p z dz

z

=

−

 

Estymat  wariancji pojedynczej obserwacji  z

i

  pomiaru jest: 

s z

n

z z

2

1

2

1

1

( )

(

)

=

−

−

 

 

 

Estymat  wariancji  redniej  z  niezale nych pomiarów jest 

−

−

=

2

2

)

(

)

1

.(

1

)

(

z

z

n

n

z

s

i

 

Odchylenie standardowe: jest dodatnim pierwiastkiem kwadratowym z 

wariancji 
 

Kowariancja dwóch zmiennych losowych  „y”  i  „z”  jest miar  ich wzajemnej 

zale no ci je eli przez  

p(y; z) oznaczymy dwuwymiarow  g sto  

prawdopodobie stwa zmiennych  

„y”  i  z  to kowariancj  definiuje si  wzorem 

cov( , )

(

)(

) ( , ).

y z

y

z

p y z dydz

y

z

=

−

−

µ

µ

 

Estymat  kowariancji zmiennych  „y”  i  „z”  wyznaczonych na podstawie  

„n”  niezale nych obserwacji jest: 

s y z

n

y

y z

z

i

i

i

i

( , )

(

)(

)

=

−

−

−

1

1

 

Estymat   kowariancji dwóch  rednich  y  i  z  jest: 

s y z

n n

y

y z

z

i

i

( ; )

(

)

.

(

)(

)

=

−

−

−

1

1

  

  
 
Współczynnik korelacji jest miar  wzgl dnej wzajemnej zale no ci dwóch 

zmiennych  y  i  z. Jest on równy stosunkowi kowariancji tych zmiennych do 

dodatniego pierwiastka kwadratowego z iloczynu ich wariancji. Definiuje si  go 

wzorem: 

δ

σ

σ

( )

cov( )

( ) ( )

yz

yz

y

z

=

2

2

 

δ

( , )

;.

y z

∈ −1 1

 

estymat  współczynnika korelacji jest: 

r y z

s y z

s y s z

i

i

i

i

i

i

( , )

( , )

( ). ( )

=

2

2

 

r y z

i i

(

)

;

∈ −11

 

3. 

Przebieg  wiczenia. 

a) Wykorzystuj c wyniki pomiarów oraz dane dotycz ce aparatury pomiarowej i 

procedur pomiarowych (wzi tych z  wiczenia 

M-4 lub podanych przez 

prowadz cego) obliczy  standardow  niepewno  pomiarow  metodami typu 

,,A” i ,,B”.  

b) Oszacowa  współczynniki korelacji pomi dzy zmiennymi. 

c) Korzystaj c z wyników ,,a” i ,,b” obliczy  standardow  niepewno  zło on . 

d) Wyniki analizy niepewno ci przedstawi  w tabeli (bud et niepewno ci). 

e) Na podstawie liczby stopni swobody (wynikaj cych z ilo ci pomiarów 

u ytych przy obliczaniu niepewno ci metod  ,,A”) przyj tego poziomu 

istotno ci (n.p.: 0,05) oszacowa  współczynnik rozszerzenia ,,k” i obliczy  

niepewno  rozszerzon . 

f) Korzystaj c z wyników pomiarów dobra  metod  najmniejszych kwadratów 

prost  wzorcowania, narysowa  jej wykres zaznaczaj c na niej ,,słupki 

niepewno ci”. 

UWAGA: Zaleca si  do oblicze  wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego Excel 

lub innego dost pnego programu matematycznego lub statystycznego. 

wiczenie mo na równie  wykona  przy u yciu kalkulatora naukowego. 

Literatura: 
[1]Wyra anie niepewno ci pomiaru - Przewodnik – G.U.M. 1999 

[2]Mi dzynarodowy słownik podstawowych i ogólnych terminów metrologii 

[3]Wzorcowanie aparatury pomiarowej  – Janusz Piotrowski, Krystyna 

Kostyrko. 

[4] Wyra anie niepewno ci pomiaru przy wzorcowaniu – G.U.M. 2001