1) Test dla wartości średniej populacji

MODEL I

Założenia:

- populacja generalna ma rozkład N(m,σ),

- odchylenie standardowe σ znane,

- m

0

– hipotetyczna wartość średniej,

- weryfikacja na podstawie próby losowej hipotezy H

0

: m=m

0

,

- hipoteza alternatywna H

1

: m≠m

0

.

Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u:

√

Z tablicy rozkładu N(0,1), przy założonym poziomie istotności α, wyznacza się wartość krytyczną
u

α

, tak aby zachodziła równość:

{| |

}

Zbiór wartości U określony jako |U| ≥ u

α

jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:

|u| ≥ u

α

– hipotezę H

0

należy odrzucić,

|u| < u

α

– brak podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

.

UWAGA

Model I opisuje dwustronny obszar krytyczny (H1: p1≠p2).

Jeżeli hipoteza H1:p1<p2 – test z lewostronnym obszarem krytycznym, tzn. U ≤ u(alfa) oraz
u(alfa) wyznaczamy tak, aby:

(

)

Jeżeli hipoteza H1:p1>p2 – test z prawostronnym obszarem krytycznym, tzn. U ≥ u(alfa) oraz
u(alfa) wyznaczamy tak, aby:

(

)

MODEL II

Założenia:

- populacja generalna ma rozkład N(m,σ),

- odchylenie standardowe σ nieznane,

- m

0

– hipotetyczna wartość średniej,

- weryfikacja na podstawie próby losowej hipotezy H

0

: m=m

0

,

- hipoteza alternatywna H

1

: m≠m

0

,

- próba losowa mała (n<30).

Wzór na wartość statystyki t:

√

̂

√

Z tablicy rozkładu t Studenta, przy założonym poziomie istotności alfa oraz k=n-1 stopniach
swobody, wyznacza się wartość krytyczną t

α

, tak aby zachodziła równość:

{| |

}

Zbiór wartości U określony jako |U| ≥ u

α

jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli:

|t| ≥ t

α

– hipotezę H

0

należy odrzucić,

|t| < t

α

– brak podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

.

UWAGA

Model II opisuje dwustronny obszar krytyczny (H1: p1≠p2).

Jeżeli hipoteza H1:p1<p2 – test z lewostronnym obszarem krytycznym, tzn. U ≤ u(alfa) oraz
u(alfa) wyznaczamy tak, aby:

(

)

Jeżeli hipoteza H1:p1>p2 – test z prawostronnym obszarem krytycznym, tzn. U ≥ u(alfa) oraz
u(alfa) wyznaczamy tak, aby:

(

)

MODEL III

Założenia:

- populacja generalna ma rozkład N(m,σ),

- odchylenie standardowe σ nieznane,

- m

0

– hipotetyczna wartość średniej,

- weryfikacja na podstawie próby losowej hipotezy H

0

: m=m

0

,

- hipoteza alternatywna H

1

: m≠m

0

,

- próba losowa duża (n≥30).

Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u:

√

Dalej test istotności obliczany jest dokładnie jak w modelu I.