1. CA LKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA

1. Obliczy´

c ca lki:

a)

R

L

(x + y)dl, gdzie L jest brzegiem tr´

ojk

,

ata o wierzcho lkach (0, 0), (1, 0), (0, 1),

b)

R

L

x

3

ydl, gdzie L = {(x, y) ∈ R

2

: 9x

2

+ 4y

2

= 36, x ≥ 0, y ≥ 0}.

c)

R

L

px

2

+ y

2

dl, gdzie L jest okr

,

egiem o r´

ownaniu x

2

+ y

2

= ax, (a > 0).

2. Obliczy´

c d lugo´s´

c  luku cykloidy: x = a(t − sin t),

y = a(1 − cos t),

t ∈ [0, 2π],

a > 0.

3. Obliczy´

c d lugo´s´

c  luku krzywej danej r´

ownaniem y = 2 ln

1+

√

x

1−

√

x

− 4

√

x

dla

x ∈

0,

1
2

 .

4. Obliczy´

c mas

,

e  luku krzywej y = ln x, x ∈ [a, b], 0 < a < b, wiedz

,

ac, ˙ze g

,

esto´s´

c liniowa

w danym punkcie jest wprost proporcjonalna do kwadratu odci

,

etej tego punktu.

5. Wyznaczy´

c wsp´

o lrz

,

edne ´srodka masy linii ´srubowej







x(t) = r cos t
y(t) = r sin t ,

t ∈ [0, 2π]

z(t) = λt

o jednorodnej g

,

esto´sci liniowej.

6. Obliczy´

c pole powierzchni cz

,

e´sci walca o r´

ownaniu x

2

+ y

2

= 2x zawartej pomi

,

edzy

p laszczyzn

,

a z = 0 i sfer

,

a x

2

+ y

2

+ (z − 2)

2

= 4.

7. * Obliczy´

c

R

L

x

2

dl, gdzie L jest okr

,

egiem w R

3

powsta lym z przeci

,

ecia sfery

x

2

+ y

2

+ z

2

= a

2

p laszczyzn

,

a x + y + z = 0.