ELEMENTY TEORII PLASTYCZNOŚCI
Jednoosiowy stan naprężeń – wykres
σ ε
−
. Przykład stal – miękka
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 1
ELEMENTY TEORII PLASTYCZNOŚCI
Jednoosiowy stan naprężeń – wykres
σ ε
−
. Przykład stal – miękka
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 1
Stosowane są uproszczone jednoosiowe modele materiałowe
Zadaniem teorii plastyczności jest opis następujących zjawisk:
• powstanie uplastycznienia – pojawienie się procesów
plastycznych – warunki plastyczności, kurs WM – hipotezy
wytrzymałościowe.
• rozwój odkształceń plastycznych (po przekroczeniu granicy
uplastycznienia)
• warunki wzmocnienia i osłabienia plastycznego
• opis odkształceń odwracalnych (jak w Teorii Sprężystości)
Bieżący kurs – jedynie warunki plastyczności.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 2
Założenie: Istnieje funkcja skalarna określająca granicę obszaru
sprężystego.
1
2
( , , , ...)
ij
F
k k
0
σ
=
W ogólnym przypadku parametry mogą zależeć od stanu
odkształcenia i współrzędnych punktu:
i
k
( , )
i
i
k
k
x
ε
=
Możliwe są następujące uproszczenia
1) materiał jednorodny
( )
i
i
ij
k
k
ε
→
=
2) materiał izotropowy
1
2
3
1
2
( ,
, , , , ...) 0
F
k k
σ σ σ
→
=
,
gdzie
1
2
,
,
3
σ σ σ
są naprężeniami głównymi
3) parametry - wartości liczbowe
i
k
4) redukcja zagadnienia do jednego parametru
0
k
σ
=
stąd sformułowanie tzw. hipotezy jednoparametrowej
1
2
3
0
( ,
, ,
) 0
F
σ σ σ σ
=
lub
1
2
3
0
( ,
, )
0
f
σ σ σ
σ
−
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 3
HIPOTEZY JEDNOPARAMETROWE
WARUNEK TRESKI (Treski – Guesta - TG)
Granice obszaru sprężystego (obszaru bezpiecznego) określają
ekstremalne naprężenia styczne.
Przypomnienie:
max
1
2
3
max( , , )
τ
τ τ τ
=
2
1
2
3
σ
σ
τ
−
=
,
3
1
2
2
σ σ
τ
−
=
,
1
2
3
2
σ σ
τ
−
=
W stanie jednoosiowym – rozciąganie/ściskanie naprężeniem
0
σ
jest
1
0
0
2
2
σ
σ
τ
=
=
.
Warunek obszaru bezpiecznego – układ nierówności
1
0
2
3
2
0
3
1
3
0
1
2
0
0
0
τ τ
σ
σ
σ
τ
τ
σ σ
σ
τ
τ
σ σ
σ
≤
−
≤
⎧
⎧
⎪
⎪
≤ ⇒
−
≤
⎨
⎨
⎪
⎪
≤
−
≤
⎩
⎩
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 4
Określenie granicy obszaru bezpiecznego – odpowiednie równania
Interpretacja geometryczna:
W stosunku do układu
1 2
3
σ σ σ
tworzymy układ obrócony o
wersorach
1
1
[1 1
2]
6
e
=
−
,
2
1
[ 1 1 0]
2
e
=
−
,
3
1
[1 1 1]
3
e
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 5
Na osi spełniony jest warunek
1
2
3
σ
σ
σ
=
=
Płaszczyzna prostopadła do
Π
3
σ
(określona jest przez osie
1
σ
i
2
σ
) jest zbiorem punktów o równaniu
1
2
3
0
σ σ
σ
+
+
=
Jest to tzw. płaszczyzna dewiatorowa – każdy stan naprężeń będący
punktem tej płaszczyzny spełnia warunek
tr
0
σ
=
(istnieje jedynie
dewiator)
Transformacja warunków powierzchni granicznej Treski-Guesta
(równania) do układu
1 2
3
σ σ σ
:
1
2
2
2
0
σ σ
σ
−
= −
= ±
σ
2
3
1
2
3
1
2
2
0
σ
σ
σ
σ
−
=
+
= ±
σ
3
1
1
2
3
1
2
2
0
σ σ
σ
σ
−
= −
+
= ±
σ
Równania sześciu płaszczyzn równoległych do osi
3
σ
, tworzą one
nieskończony graniastosłup.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 6
Hipoteza Treski – płaski stan naprężenia (
3
0
σ
=
)
– przecięcie graniastosłupa płaszczyzną
1 2
σ σ
Granice obszaru sprężystego
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 7
1
2
1
0
2
0
0
σ σ
σ
σ
σ
σ
σ
−
≤
⎧
⎪
≤
⎨
⎪
≤
⎩
Hipoteza Treski – płaski stan odkształcenia
(
3
3
1
0
(
2
)
ε
σ
ν σ σ
= ⇒
=
+
)
1
2
0
1
1
2
2
1
2
(
)
(
)
σ σ
σ
0
0
σ ν σ σ
σ
σ ν σ σ
σ
−
≤
⎧
⎪
−
+
≤
⎨
⎪
−
+
≤
⎩
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 8
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 9
WARUNEK HUBERA – MISESA - HENCKY (H-M-H)
Granicę obszaru sprężystego określa wartość energii właściwej
odkształcenia postaciowego
1
1
(
)(
2
2
3
1
2
2
ij ij
M ij
ij
M ij
ij
M M
ij ij
V
W
s
s e
W
W
γ
σ ε
σ δ
ε δ
σ ε
=
=
+
+
=
+
=
+
)
e
=
Ponieważ
1 2
M
M
E
σ
ε
ν
=
−
więc
1 2
M
M
E
ν
ε
σ
−
=
więc
2
3
3 1 2
2
2
V
M M
W
M
E
ν
σ ε
σ
−
=
=
Zachodzi
1
2
2
ij
ij
ij
ij
S
Ge
e
G
=
⇒
=
S
więc
1
4
ij ij
W
S
G
γ
=
S
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 10
Drugi niezmiennik dewiatora naprężeń
1
2
S
ij ij
II
S
= −
S
więc
1
2
S
W
I
G
γ
=
I
Rozwinięcie
2
2
11
22
22
33
33
11
2
2
2
12
23
31
2
2
2
1
2
2
3
3
1
1
1
[(
)
(
)
(
)
4
12
6(
)]
1
[(
)
(
)
(
) ]
12
ij ij
W
S S
G
G
G
γ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ σ
σ
σ
σ σ
=
=
−
+
−
+
−
+
+
=
=
−
+
−
+
−
2
+
Stan jednoosiowy
2
1
0
2
3
1
,
0)
12
W
G
γ
0
2
σ
σ σ
σ
σ
=
=
=
→
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 11
Stąd warunek H-M-H:
2
2
2
2
2
2
11
22
22
33
33
11
12
23
31
0
(
)
(
)
(
)
6(
)]
2
2
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
−
+
−
+
−
+
+
+
=
σ
2
0
2
2
2
1
2
2
3
3
1
(
)
(
)
(
)
2
σ σ
σ σ
σ σ
−
+
−
+
−
=
σ
0
Inny zapis:
zależność jedynie od drugiego
niezmiennika dewiatora tensora naprężeń.
2
0
3
S
II
σ
+
=
Interpretacja geometryczna w przestrzeni
1 2
3
σ σ σ
powierzchnią
graniczna H-M-H jest nieskończony walec kołowy o osi
3
σ
i
promieniu
0
2
3
R
σ
=
Równanie
2
2
1
2
2
( )
( )
3
2
0
σ
σ
σ
+
=
Jest to więc walec opisany na graniastosłupie T-G
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 12
Płaski stan naprężenia (
3
0
σ
=
)
2
2
2
11
22
11 22
12
0
3
2
σ
σ
σ σ
σ
σ
+
−
+
=
lub
2
2
1
2
1 2
2
0
σ
σ
σ σ
σ
+
−
=
- elipsa opisana równaniem na sześciokącie T-G
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 13
Płaski stan odkształcenia (
3
0
ε
=
)
3
1
(
)
2
σ
ν σ σ
=
+
Stąd wynika ogólne równanie
2
2
2
1
2
1 2
(
)(1
)
[1 2 (1
)]
2
0
σ
σ
ν ν
σ σ
ν
ν
+
− +
−
+
−
=
σ
przy
0
ν
=
identycznie jak w PSN
0
ν
>
rozszerzenie obszaru sprężystego
1
2
ν
=
graniczny przypadek, dwie proste styczne do elipsy
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 14
1
2
0
1
2
2
3
2
3
0
σ σ
σ
σ σ
σ
⎧
−
=
⎪⎪
⎨
⎪ − = −
⎪⎩
Hipotezy T-G i H-M-H
jednoparametrowe, jedna wartość
→
0
σ
materiały o jednakowej granicy plastyczności przy rozciąganiu i
ściskaniu
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 15
Porównać wartość T-G i H-M-H w stanie czystego ścinania.
Znaleźć w obu przypadkach graniczną wartość naprężenia
stycznego
12
0
σ
>
12
12
0
0
σ
σ
σ
⎡
⎤
= ⎢
⎥
⎣
⎦
Naprężenia główne przy czystym ścinaniu:
1
12
,
σ
σ
=
2
12
σ
σ
= −
Hipoteza TG:
1
2
12
0
max
12
2
2
2
2
σ σ
σ
σ
τ
σ
τ
−
=
=
=
≤ =
Stąd graniczna wartość
12
0
0,5
σ
σ
=
Hipoteza H-M-H:
2
2
2
11
22
11 22
12
0
3
2
σ
σ
σ σ
σ
σ
+
−
+
≤
2
2
0
12
0
12
3
3
σ
σ
σ
σ
≤
⇒
≤
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 16
lub ze wzoru
2
2
2
1
2
1 2
12
3
2
0
σ
σ
σ σ
σ
σ
+
−
=
≤
wartość graniczna
0
12
0
0,577
3
σ
σ
σ
=
≈
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 17
Określić zapas bezpieczeństwa wg TG i HMH przy
jednoparametrowym wzroście składowej
11
σ
15 10
0
10
0
0
[MPa]
0
0
25
σ
⎡
⎤
⎢
⎥
= ⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
,
0
50 MPa
σ
=
Sprawdzenie czy dany stan jest bezpieczny (wg obu hipotez)
TG: naprężenia główne:
2
1
2
1,2
2
20
15 0
15 0
10
7,5 12,5
[MPa]
5
2
2
σ
σ
σ
=
⎧
+
−
⎛
⎞
=
±
+
=
±
= ⎨
⎜
⎟
− =
⎝
⎠
⎩
3
25 MPa
σ
= −
1
3
0
max
22,5 MPa
25 MPa
2
2
σ σ
σ
τ
−
=
=
<
=
stan bezpieczny
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 18
Obliczenie zapasu bezpieczeństwa:
15
10
0
10
0
0
[MPa]
0
0
25
z
σ
⎡
⎤
⎢
⎥
= ⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
TG:
2
2
2
1,2
15
15
10
7,5
56,25
100 [MPa]
2
2
z
z
z
z
σ
⎛
⎞
=
±
+
=
±
+
⎜
⎟
⎝
⎠
3
25 MPa
σ
= −
Można wykazać, że dla wszystkich
jest
0
z
>
min
3
σ
σ
=
stąd
1
3
2
max
1
7,5
56,25
100 25
2
2
z
z
σ σ
τ
−
=
=
+
+
+
warunek
2
0
max
0
56,25
100 25 50
2
z
σ
τ
τ
=
=
⇒
+
+
=
1,4
z
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 19
HMH:
( ) (
) ( )
2
2
2
2
2
15
15
25
25
(6)(10)
450
750
1850
L
z
z
z
=
+
+
+
+
=
+
+
2
2
0
2
5000 MPa
P
σ
=
=
2
450
750
3150 0
1,94
L P
z
z
z
=
⇒
+
−
= ⇒ =
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 20
Obliczyć dopuszczalną wartość m, wg TG i HMH, gdy dane jest
0
σ
0
0
0
0 4
0
m m
m
m
σ
⎡
⎤
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
TG:
2
1
2
1,2
2
4,305
4
4
5
3
0,695
2
2
2
2
m
m m
m m
m
m m
m
σ
σ
σ
=
⎧
+
−
⎛
⎞
=
±
+
=
±
= ⎨
⎜
⎟
=
⎝
⎠
⎩
3
0
σ
=
stąd
1
3
0
0
max
0
4,305
0,232
2
2
2
4,305
m
m
σ σ
σ
σ
τ
σ
−
=
=
=
⇒
=
=
HMH:
( ) ( )
2
2
2
2
0
4
3
6
2
m
m
m
m
2
σ
+
+
+
=
stąd
2
2
0
0
0
32
2
0,25
4
m
m
σ
σ
σ
=
⇒
=
=
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann
• WILiŚ PG • Teoria sprężystości i plastyczności • Wykład 08 – str. 21