3. Funkce
137
3.7. Inverzní funkce
Inverzní funkci můžeme sestrojit téměř ke každé známé funkci, říkám téměř, to znamená, že existuje
jisté omezení, kdy lze inverzní funkci sestrojit.
Inverzní funkce k prosté funkci
f je
1
−
f , pro kterou platí:
( )
( )
f
H
f
D
=
−1
, každému
( )
1
−
∈
f
D
y
je přiřazeno právě to
( )
f
D
x
∈
, pro které je
( )
y
x
f
=
.
Oborem hodnot inverzní funkce je definiční obor původní funkce:
( )
( )
f
D
f
H
=
−1
Grafy obou funkcí jsou souměrné podle osy I. a III. kvadrantu
x
y
=
.
Nyní se podrobněji podíváme na inverzní funkce k funkcím lineárním, kvadratickým, lineárním
lomeným a mocninným. Stále musíme mít na paměti, že funkci inverzní lze sestrojit jen k funkci
prosté, jestliže funkce prostá není, musíme nejdříve určit obor prostoty a na něm vytvářen inverzní
funkci. Více u kvadratických a mocninných funkcí.
Lineární funkce
Řešený příklad
• Do téže soustavy souřadnic zakreslete graf funkce
1
4
3
:
−
= x
y
f
a funkce
1
−
f
k ní inverzní.
Řešení
Sestavíme tabulku pro funkci
1
4
3
:
−
= x
y
f
.
x
0
4
y
1
−
2
Nyní určíme inverzní funkci
1
4
3
:
1
−
=
−
y
x
f
.
Z rovnice vyjádříme
y
.
3
4
4
:
1
+
=
−
x
y
f
Sestavíme tabulku pro funkci
3
4
4
:
1
+
=
−
x
y
f
.
x
1
−
2
y
0
4
3. Funkce
138
Nyní nakreslíme grafy obou funkcí. V grafu je také vyznačena přímka
x
y
=
, podle které jsou přímky
1
4
3 −
= x
y
a
3
4
4
+
=
x
y
souměrné. Všimněte si, že funkce
1
4
3
:
−
= x
y
f
je rostoucí a funkce
inverzní
3
4
4
:
1
+
=
−
x
y
f
je také rostoucí.
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1
2
3
4
5
6
7
0
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
1
2
3
4
5
6
7
0
x
y
y=
4x+4
3
y=
3
4
x-1
y=x
3. Funkce
139
Kvadratická funkce
Řešený příklad
• K funkci
2
:
x
y
f
=
vypočítejte inverzní funkci
1
−
f
a nakreslete grafy obou funkcí do téže
soustavy souřadnic.
Řešení
Abychom mohli určit inverzní funkci, musí být funkce prostá. Kvadratická funkce ale prostá není.
Určíme proto nejdříve obor prostoty funkce
f
.
Funkce je prostá na intervalu
(
0
,
∞
−
a na
)
∞
,
0
. Vybereme si
)
∞
,
0
a na tomto intervalu
sestrojíme k funkci
2
:
x
y
f
=
funkci inverzní.
2
y
x
=
rovnici odmocníme (
x
lze odmocnit pokud bude nezáporné tzn.
0
≥
x
a to na zvoleném
intervalu
)
∞
,
0
je)
x
y
f
=
−
:
1
graf bude souměrný s červenou částí grafu funkce
2
:
x
y
f
=
.
Definiční obor
)
∞
= ,
0
f
D
, obor hodnot
)
∞
= ,
0
f
H
. Definiční obor
)
∞
=
−
,
0
1
f
D
, obor hodnot
)
∞
=
−
,
0
1
f
H
.
-1
1
2
3
1
2
3
4
5
0
x
y
-1
1
2
3
1
2
3
4
5
0
x
y
y=x
2
y= x
y=x
3. Funkce
140
Lineární lomená funkce
Řešený příklad
• K funkci
f
vypočítejte inverzní funkci
1
−
f
a nakreslete grafy obou funkcí do téhož obrázku.
2
3
+
+
=
x
x
y
Řešení
Upravíme si nejprve zadanou funkci na středový tvar
2
1
1
:
+
=
−
x
y
f
.
Pro výpočet inverzní funkce vyměníme souřadnice
2
3
+
+
=
y
y
x
a vyjádříme
y
.
(
)
3
2
+
=
+
y
y
x
3
2
+
=
+
y
x
xy
x
y
xy
2
3
−
=
−
(
)
x
x
y
2
3
1
−
=
−
1
2
3
:
1
−
−
=
−
x
x
y
f
a nyní ji upravíme na středový tvar
1
1
2
:
1
−
=
+
−
x
y
f
.
Definiční obor
(
) (
)
∞
−
∪
−
∞
−
=
,
2
2
,
f
D
, obor hodnot
(
) ( )
∞
∪
∞
−
=
,
1
1
,
f
H
. Definiční obor
(
) ( )
∞
∪
∞
−
=
−
,
1
1
,
1
f
D
, obor hodnot
(
) (
)
∞
−
∪
−
∞
−
=
−
,
2
2
,
1
f
H
.
Nakreslíme oba grafy do jednoho obrázku, je zde vyznačena také osa I. a III. Kvadrantu, podle které
jsou oba grafy souměrné. Všimněte si, že souměrné jsou také asymptoty obou hyperbol.
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
0
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
0
x
y
y=
x+3
x+2
x=-2
y=1
y=x
x=1
y=-2
y=
3-2x
x-1
3. Funkce
141
Mocninná funkce
Řešený příklad
• Ukážeme si několik příkladů na sestrojení inverzní funkce k mocninným funkcím. Připomeňte si
vlastnosti těchto funkcí.
a)
5
:
x
y
f
=
5
1
:
x
y
f
=
−
R
H
D
H
D
f
f
f
f
=
=
=
=
−
−
1
1
b)
4
:
x
y
f
=
4
1
:
x
y
f
=
−
4
:
x
y
f
=
není prostá, inverzní funkci sestavíme jen pro tu část, která je prostá.
+
=
=
=
=
−
−
R
H
D
H
D
f
f
f
f
1
1
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
0
x
y
-1
-2
-3
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
0
x
y
y=x
5
y=x
y=
5
x
-1
1
2
3
4
5
-1
1
2
3
4
5
6
0
x
y
-1
1
2
3
4
5
-1
1
2
3
4
5
6
0
x
y
y=x
4
y=x
y=
4
x
3. Funkce
142
Úlohy k řešení
Úloha 3.9.
Do téže soustavy souřadnic zakreslete graf funkce
f
a funkce
1
−
f
k ní inverzní.
a)
1
2
1
:
−
−
=
x
y
f
b)
1
5
:
+
= x
y
f
c)
1
:
=
y
f
♦
Úloha 3.10.
K funkci
f
vypočítejte inverzní funkci
1
−
f
a nakreslete grafy obou funkcí do téhož obrázku.
a)
(
)
2
1
−
= x
y
b)
2
2
−
= x
y
♦
Úloha 3.11.
K funkci
f
vypočítejte inverzní funkci
1
−
f
a nakreslete grafy obou funkcí do téhož obrázku.
a)
3
2
+
=
x
y
b)
1
2
−
−
=
x
x
y
♦
Úloha 3.12.
Sestrojte graf funkce a funkce k ní inverzní
a)
3
:
−
= x
y
f
b)
6
:
−
= x
y
f
(Funkce není prostá, inverzní funkci sestavíme jen pro tu část, která je prostá.)
♦
3. Funkce
143
Výsledky
3.9.
a)
b)
c)
Funkce nemá inverzní funkci, protože není prostá
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
0
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
4
5
0
x
y
y=-
1
2
x-1
y=-2x-2
y=x
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
0
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
0
x
y
y=
x-1
5
y=5x+1
y=x
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
0
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
0
x
y
y=1
y=x
