CAŁKA NIEWŁAŚCIWA
Definicja Punkt c ∈ ha, bi jest punktem osobliwym funkcji f (x) jeżeli:
1. c = ∞ lub c = −∞
albo
2. lim
x→c
+
f (x) lub lim
x→c
−
f (x) nie jest właściwa.
Definicja całki niewłaściwej.
Z
∞
a
f (x)dx =
def
lim
B→∞
Z
B
a
f (x)dx
Z
b
∞
f (x)dx =
def
lim
A→−∞
Z
b
A
f (x)dx
Z
b
a
f (x)dx =
def
lim
→0
+
Z
b
a+
f (x)dx
gdy a jest punktem osobliwym
Z
b
a
f (x)dx =
def
lim
→0
+
Z
b−
a
f (x)dx
gdy b jest punktem osobliwym
Z
∞
−∞
f (x)dx =
def
Z
c
−∞
f (x)dx +
Z
∞
c
f (x)dx
gdzie c nie jest punktem osobliwym
Mówimy, że całka niewłaściwa jest zbieżna, gdy odpowiadająca jej granica jest właścwa.
Mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna, gdy odpowiadająca jej granica jest niewłaścwa lub nie istnieje.
Zad 1
Zbadać zbieżność całek:
a)
Z
∞
1
dx
√
x(x + 1)
b)
Z
e
1
dx
x
√
ln x
c)
Z
1
0
dx
√
x
d)
Z
π
2
0
sin xdx
√
cos x
e)
Z
1
−∞
dx
√
3x − 5
f )
Z
∞
−∞
e
x
dx
1 + e
2x
g)
Z
1
−1
dx
x
2
− 1
Zad 2
Obliczyć pole obszaru zawartego między krzywymi:
a) y = 0, y = x
−2
dla x > 1
b) y = e
x
, y = e
−x
, y = 0
c) y =
1
x
2
+1
i jej asymptotą
d) y = 0, y =
1
x(1+
√
x)
e) y =
1
2+e
−x
, y = 0 w II ćwiartce układu współrzędnych
Zad 3
Dana jest funkcja f (x) =
1
1+e
x
x ∈ h0, ∞)
a) Znaleźć pole obszaru ograniczonego osiami układu i krzywą y = f (x)
b) Znaleźć objętość bryły powstałej z obrotu krzywej y = f (x) wokół osi OX.
Zad 4
Zlaleźć objętość bryły powstałej z obrotu krzywej y = f (x) wokół osi OX
a) f (x) =
1
√
x
2
+1
, x ∈ R
b) f (x) = x
2
√
xe
−x
2
, x > 0.
mgr Dorota Grott SNM PG