plik

dr in˙z. Magdalena Topczewska

Cwiczenia nr 10

Przedzia ly ufno´

sci

Zakres teorii

• przedzia ly ufno´sci dla ´sredniej

• przedzia ly ufno´sci dla procentu (wska´znika struktury)

• przedzia ly ufno´sci dla wariancji

• minimalna liczno´s´

c pr´

oby

Przedzia lem ufno´

sci nazywamy losowy przedzia l wyznaczony za pomoc

a rozk ladu estymatora, a maj

acy t

e w lasno´

s´

c, ˙ze z du˙zym,

z g´

ory zadanym prawdopodobie´

nstwem, pokrywa warto´

s´

c szacowanego parametru θ.

Zwykle zapisujemy go w postaci P (a < θ < b) = 1 − α, gdzie a i b s

a dolnym i g´

ornym kra´

ncem przedzia lu ufno´

sci, za´

s 1 − α jest

to wsp´

o lczynnik ufno´

sci, czyli prawdopodobie´

nstwo zadane z g´

ory, z jakim parametr θ pokryty jest przedzia lem ufno´

sci.

Przedzia ly ufno´

sci dla ´

sredniej

• Model I

Populacja generalna ma rozk lad N (m, σ)
m – nieznane
σ – znane dla populacji

x − u

√

< m < ¯

x + u

√

= 1 − α

wyznacza si

e z tablic dystrybuanty rozk ladu normalnego, by spe lniona by la relacja P {−u

< U < u

} = 1 − α

• Model II

Populacja generalna ma rozk lad N (m, σ)
m – nieznane
σ – nieznane dla populacji
n – ma le (n < 30)

x − t

√

n − 1

< m < ¯

x + t

√

n − 1

= 1 − α

lub

x − t

√

< m < ¯

x + t

√

= 1 − α

gdzie s i ˆ

s s

a odchyleniami standardowymi

s =

v
u
u
t

i=1

− ¯

s =

v
u
u
t

n − 1

i=1

− ¯

wyznacza si

e z tablic t-Studenta, by spe lniona by la relacja P {−t

< T < t

} = 1 − α i dla n − 1 stopni swobody

• Model III

Populacja generalna ma rozk lad N (m, σ)
m – nieznane
σ – nieznane dla populacji
n – du ˙ze (n > 30)
wz´

or z modelu I (we wzorze zamiast σ u˙zywamy s lub ˆ

W przypadku danych w postaci szeregu rozdzielczego o r klasach ´

sredni

a i odchylenie standardowe obliczamy ze wzor´

ow:

x =

j=1

◦
j

s =

v
u
u
t

j=1

◦
j

− ¯

gdzie x

◦
j

jest ´

srodkiem j-tego przedzia lu klasowego, za´

s n

jego liczno´

sci

Przedzia ly ufno´

sci dla procentu (wska´

znika struktury)

• Model

Populacja generalna ma rozk lad dwupunktowy z parametrem p
n – du ˙ze (n > 100)

− u

(1 −

)

< p <

+ u

(1 −

)

= 1 − α

wyznacza si

e z tablic dystrybuanty rozk ladu normalnego, by spe lniona by la relacja P {−u

< U < u

} = 1 − α

Przedzia ly ufno´

sci dla wariancji

• Model I

Populacja generalna ma rozk lad N (m, σ)
m – nieznane
σ – nieznane
n – ma le (n < 30)

< σ

= 1 − α

lub

(n − 1)ˆ

< σ

(n − 1)ˆ

= 1 − α

i c

wyznacza si

e z tablic rozk ladu χ

(chi-kwadrat) dla n − 1 stopni swobody oraz tak, by spe lnione by ly relacje

P {χ

< c

} =

1
2

α oraz P {χ

> c

} =

1
2

• Model II

Populacja generalna ma rozk lad N (m, σ) lub zbli ˙zony do normalnego
m – nieznane
σ – nieznane
n – du ˙ze (n > 30)

1 +

√

< σ <

1 −

√

= 1 − α

wyznacza si

e z tablic dystrybuanty rozk ladu normalnego, by spe lniona by la relacja P {−u

< U < u

} = 1 − α

Zadania

Zad 1.
Do zagadnie´

n normowania pracy potrzebne jest oszacowanie ´

sredniego czasu pracy potrzebnego tokarzowi na

obr´

obk

e skrawaniem pewnego detalu na okre´

slonym typie obrabiarki. W tym celu zmierzono czas toczenia tego

detalu u 10 losowo wybranych (niezale˙znie) tokarzy. Otrzymano nast

epuj

ace wyniki (w minutach): 16.2; 15.4;

13.8; 18; 15.1; 17.3; 16.8; 15; 15.9; 16.5. Przyjmuj

ac, ˙ze rozk lad czasu toczenia tego detalu jest normalny, poda´

przedzia l ufno´

sci ze wsp´

o lczynnikiem ufno´

sci

a) 0.95
b) 0.90
c) 0.99
dla ´

sredniego czasu toczenia.

Zad 2.
W pewnym eksperymencie chemicznym bada si

e czas ca lkowitego zako´

nczenia pewnej reakcji. Dokonano 60

niezale˙znych do´

swiadcze´

n i otrzymano z nich ´

sredni

a 46 sek. oraz odchylenie standardowe 13 sek. Przyjmuj

wsp´

o lczynnik ufno´

sci

a) 0.99
b) 0.90
oszacowa´

c metod

a przedzia low

a ´

sredni czas potrzebny w tym do´

swiadczeniu na ca lkowite zako´

nczenie reakcji.

Zad 3.
W celu oszacowania ´

sredniego czasu po´

swi

ecanego tygodniowo przez student´

ow pewnej uczelni na studiowanie w

bibliotece, wylosowano niezale˙znie pr´

e 132 student´

ow i otrzymano z niej nast

epuj

ace wyniki (czas studiowania

w bibliotece w godzinach):

Czas

Liczba student´

0 − 2

2 − 4

4 − 6

6 − 8

8 − 10

10 − 12

Przyjmuj

ac wsp´

o lczynnik ufno´

sci 0.90 oszacowa´

c metod

a przedzia low

a ´

sredni tygodniowy czas studiowania

student´

ow w bibliotece.

Zad 4.
W celu zbadania hamowania samochodu po usprawnieniach technicznych wykonano 100 pomiar´

ow, a nast

epnie

obliczono ´

sredni czas hamowania 4.26 sek. i wariancj

e z pr´

oby 1.1 sek2. Znale´

z´

c realizacj

e przedzia lu ufno´

sci na

poziomie ufno´

sci 0.9 dla warto´

sci oczekiwanej i odchylenia standardowego czasu hamowania. Por´

owna´

c wyniki

po zmianie poziomu na 0.95. Jak zmieni lyby si

e wyniki, gdyby liczno´

s´

c pr´

oby zmniejszy´

c do 25 pomiar´

ow?

Zad 5.
Na podstawie danych liczbowych z zadania 3 oszacowa´

c metod

a przedzia low

a procent student´

ow badanej uczelni,

kt´

orzy na studiowanie w bibliotece po´

swi

ecaj

a mniej ni˙z 6 godzin tygodniowo. Przyj

a´

c wsp´

o lczynnik ufno´

sci

0.95.

Zad 6.
W celu oszacowania rozrzutu wagi jaj dostarczanych do pewnego sklepu dokonano pomiar´

ow wagi 15 jaj i

otrzymano nast

epuj

ace wyniki (w g): 62, 57, 70, 58, 59, 67, 65, 69, 55, 57, 60, 54, 72, 66, 74. Przyjmuj

wsp´

o lczynnik ufno´

sci 0.96 zbudowa´

c przedzia l ufno´

sci dla wariancji wagi jaj dostarczanych do sklepu.

Zad 7.
W celu wyznaczenia dok ladno´

sci przyrz

adu pomiarowego dokonano 7 niezale˙znych pomiar´

ow pewnej sta lej

wielko´

sci, uzyskuj

ac rezultaty: 171, 175, 182, 178, 173, 180, 179. Wyznaczy´

c ocen

e wariancji b l

ed´

ow tego

przyrz

adu, je˙zeli:

a) warto´

s´

c mierzonej wielko´

sci jest znana i r´

owna 176,

b) warto´

s´

c mierzonej wielko´

sci jest nieznana.

Przyj

a´

c poziom istotno´

sci 1 − α = 0.90.

Zad 8.
W celu oszacowania struktury procentowej rodzaju kontraktacji w indywidualnych gospodarstwach rolnych
pewnego powiatu wylosowano niezale˙znie 360 gospodarstw rolnych spo´

sr´

od tych, ktore prowadz

a kontraktacj

Otrzymano nast

epuj

ace dane:

Rodzaj kontraktacji

liczba gospodarstw

zbo˙za i ziemniaki

buraki i ro´

sliny przemys lowe

123

byd lo

trzoda chlewna

166

Zbudowa´

c przedzia ly ufno´

sci ze wsp´

o lczynnikami 0.9 dla poszczeg´

olnych wska´

znik´

ow struktury gospodarstw

prowadz

acych kontraktacj

e w tym powiecie.

Zad 9.
Obliczy´

c niezb

edn

a liczb

e pomiar´

ow jakie nale˙zy wykona´

c w celu wyznaczenia 95%-wego przedzia lu ufno´

sci o

d lugo´

sci nie przekraczaj.cej 0.08 mm dla warto´

sci przeci

etnej grubo´

sci tkaniny, wiedz

ac, ˙ze b l

edy pomiar´

maj

a rozk lad normalny o odchyleniu standardowym s = 0.1 mm

Zad 10.
Ile nale˙zy wylosowa´

c niezale˙znie puszek konserwowych do badania jako´

sci pewnej partii konserw, aby przy

wsp´

o lczynniku ufno´

sci 0.90 oszacowa´

c procent zepsutych konserw, kt´

ory przypuszczalnie jest rz

edu 10%, z

b l

edem maksymalnym 5%?

Zad 11.
Ile przebieg´

ow poci

ag´

ow pasa˙zerskich w Polsce nale˙za loby wylosowa´

c niezale˙znie do pr´

oby, aby z maksymal-

nym b l

edem dopuszczalnym 6% oszacowa´

c nieznany procent op´

o´

znionych przyjazd´

ow na stacj

e docelow

Wsp´

o lczynnik ufno´

sci 0.90.