Analiza zespolona – grupy 2 - 5 – ćwiczenia nr 1

1

Zadanie 1 Podać i udowodnić podstawowe własności
a) operacji sprzężenia
b) modułu.

Zadanie 2 Obliczyć podane wyrażenia. Wynik zapisać w postaci kanonicznej (algebraicznej).

a)

2

1 − 3i

b) (1 + i

√

3)

6

c) (1 + i)

2



4

1 − i

+

2 − i

1 + i



d) (−2 + 3i)

3

e)



1 + 2i

1 + i



2

−



2

1 − i



2

f) (1 − i)

6

(1 + i)

6

Zadanie 3 Wyznaczyć:

a) (5 − 2i)(3 + 4i) b)






2 − i

2 + 3i






c) Re

"

(4 − i)

2

(i + 1)(2i − 1)

#

d) Arg





 

−1 + i

1 + i

√

3

!

10





Zadanie 4 Przedstawić podane liczby w postaci trygonometrycznej:

a) − 7

b) − 14i

c) −

1

2

+

√

3

2

i

d) −

√

6 −

√

2i

e) 8

√

3 + 8i

f) 5e

3
2

πi

Zadanie 5 Obliczyć:

a) (

√

3 − i)

12

b)

(1 − i)

8

(

√

3 + i)

5

c)

 

1

2

+

√

3

2

i

!

31

d)

√

9 − 12i

e)

3

√

1

f)

4

v
u
u
t

1 + i

√

3

1 − i

Zadanie 6 Rozwiązać równania:

a) z

2

+ 2z + 10 = 0 b) z

2

− (4 + 3i)z + 1 + 5i = 0

c) z

4

+ 9z

2

+ 18 = 0 d) z

3

−

1 − i

1 + i

= 0

e) z

4

+ 2z

3

+ 5z

2

+ 6z + 6 = 0 wiedząc, że z

1

= −1 + i f) z

3

+ 3z

2

+ 4z − 8 = 0

Zadanie 7 Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiory określone podanymi warunkami:

a) D =



z : 1 ¬ |z| ¬ 3, −

π

4

< argz <

π

2



b) D =



z : 1 ¬ Imz ¬ 2;

π

4

¬ argz ¬

3

4

π



c) zz < 9

d) |2iz + 1| ­ 2

e) {z : 0 ¬ Re(iz) < 1}

Zadanie 8 Udowodnić nierówność trójkąta:

∀

z

1

,z

2

∈C

|z

1

+ z

2

| ¬ |z

1

| + |z

2

|.

Kiedy zachodzi równość?

Zadanie 9 Wyznaczyć wszystkie liczby zespolone z, dla których wyrażenie

z + 1

z − 1

jest liczbą

a) rzeczywistą,
b) czysto urojoną.

Zadanie 10 Wykazać, że w punktach okręgu |z| = 1 różnych od a moduł ilorazu

z − a

¯

az − 1

dla każdej

liczby zespolonej a równa się 1.

Analiza zespolona – grupy 2 - 5 – ćwiczenia nr 1

2

Zadanie 11 Przedstawić funkcje sin 3ϕ, cos 3ϕ za pomocą funkcji sin ϕ, cos ϕ.

Odpowiedzi: 2. a)

1

5

+

3

5

i, b) 64, c) −1 + 5i, d) 46 + 9i, e) 2 − 0, 5i, f ) 64; 3. a) 7 − 26i, b)

r

5

13

, c) −

53

10

, d)

π

6

; 4. a) 7(cos π + i sin π), b) 14



cos



−

π

2



+ i sin



−

π

2



, c) cos

2

3

π + i sin

2

3

π,

d) 2

√

2



cos



−

5

6

π



+ i sin



−

5

6

π



, e)16



cos

π

6

+ i sin

π

6



, f ) 5



cos

3

2

π + i sin

3

2

π



; 5. a) 2

12

, b)

−

√

3

4

−

1

4

i, c)

1

2

+

√

3

2

i, d) 2

√

3 − i

√

3,

−2

√

3 + i

√

3, e) 1,

−

1

2

+

√

3

2

i,

−

1

2

−

√

3

2

i, f )

8

√

2



cos

7

48

π + i sin

7

48

π



,

8

√

2



cos

31

48

π + i sin

31

48

π



,

8

√

2



cos

55

48

π + i sin

55

48

π



,

8

√

2



cos

79

48

π + i sin

79

48

π



;

6. a) −1 + 3i, −1 − 3i, b) 3 + 2i, 1 + i, c)

√

6i, −

√

6i,

√

3i, −

√

3i, d)

√

3

2

−

1

2

i, i, −

√

3

2

−

1

2

i, e)

−1 + i, −1 − i,

√

3i, −

√

3i, f ) 1, −2 − 2i, −2 + 2i; 8. W nierówności trójkąta zachodzi równość, gdy jedna

z liczb jest proporcjonalna do drugiej z nieujemnym współczynnikiem proporcjonalności; 9. a) z ∈ R, b)
z = cos θ + i sin θ, θ 6= kπ, k ∈ Z; 11. cos 3ϕ = cos

3

ϕ − 3 cos ϕ sin

2

ϕ, sin 3ϕ = 3 cos

2

ϕ sin ϕ − sin

3

ϕ.