Politechnika Gdańska 

 

Laboratorium z Technologii Betonu 

Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu 

 

WILiŚ, rok II, semestr  4 

 

1 

Lucyna Grabarczyk 

 

Projektowanie betonu 
 
Kolejność czynności przy projektowaniu betonu: 

1.  Ustalenie danych do projektowania : przeznaczenie betonu, klasa wytrzymałości 

betonu, konsystencję mieszanki betonowej (uwzględniając typ konstrukcji: kształt 
elementu, gęstość zbrojenia i sposób zagęszczania). 

2.  Ustalenie jakości składników: rodzaj i klasa wytrzymałości cementu, rodzaj i 

uziarnienie kruszyw; zbadanie właściwości przyjętych składników; sprawdzenie ich 
zgodności z wymaganiami normowymi; określenie tych cech składników, które będą 
potrzebne do ustalenia składu mieszanki betonowej. 

3.  Projekt stosu okruchowego kruszywa. 
4.  Przyjęcie metody projektowania i wyznaczenie ilościowego składu mieszanki 

betonowej (u nas na 1dm

3

 mieszanki betonowej).  

5.  Wykonanie zarobu próbnego; badanie zgodności mieszanki betonowej i betonu 

stwardniałego z założeniami projektowymi.  

 
W literaturze można znaleźć więcej niż sto metod projektowania betonu. My ograniczymy się 
do dwóch metod: metody podwójnego otulenia i metody trzech równań. 
 
Metoda podwójnego otulenia (PO) – (nieobowiązkowa w tym roku) 
Metoda podwójnego otulenia została opracowana przez prof. W. Paszkowskiego w 1934r. 
Jest to metoda stosowana jeszcze do dziś, głównie przy projektowaniu betonów 
wodoszczelnych.  
 
Istota metody 

Metoda podwójnego otulenia wymaga umownego rozsegregowania kruszywa na: 
-  żwir: ziarna o średnicy >2mm 
-  piasek: średnica ziaren ≤2mm. 
Zakłada się, że znane są uziarnienia obu kruszyw, a następnie przyjmuje się konsystencję 

mieszanki betonowej oraz klasę wytrzymałości cementu. 

Metoda opiera się na założeniu, że każde ziarno żwiru otulone zostaje warstewką zaprawy 

(pierwsze otulenie; rys.1a), a każde ziarno piasku warstewką zaczynu cementowego (drugie 
otulenie; rys.1b), stąd właśnie nazwa metody – podwójne otulenie. 

 

 

Rys.1 Otulenie: a) ziaren żwiru warstewką zaprawy o grubości 1/2r

g

, 

 

b) ziaren piasku zaczynem cementowym o grubości 1/2r

f 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Politechnika Gdańska 

 

Laboratorium z Technologii Betonu 

Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu 

 

WILiŚ, rok II, semestr  4 

 

2 

Lucyna Grabarczyk 

 

Aby zrozumieć istotę tej metody, przeanalizujmy co dzieje się z 1dm

3

 suchego, 

zagęszczonego żwiru po otuleniu jego ziaren warstewką zaprawy(rys.2).  

 

 

Rys.2 Zmiana objętości żwiru w wyniku otulenia warstewką zaprawy 

 

W efekcie tego działania zamiast wyjściowej objętości 1dm

3

 uzyskuje się nową, zwiększoną 

objętość m

g

×1dm

3

, gdzie m

g

 jest to wskaźnik spęcznienia żwiru, równy wzrostowi objętości 

1dm

3

 ziaren, powstałemu w wyniku rozsunięcia ich przez warstewki zaprawy. 

Analogicznie, wskaźnikiem spęcznienia piasku m

f

 nazywamy wzrost objętości 1dm

3

 

ziaren piasku, powstały w wyniku rozsunięcia ich przez warstewki zaczynu. 

Wielkości spęcznienia żwiru (m

g

) i piasku (m

f

) zależą od promieni otulenia żwiru (r

g

)     i 

piasku (r

f

). Wartość promień otulenia żwiru wynosi 0,25÷3,0mm, a o doborze jego wielkości 

decydują warunki wykonania elementu – im prostszy kształt elementu, rzadziej ułożone 
zbrojenie i lepsze warunki zagęszczania, tym mniejsze wartości promienia. W przypadku 
piasku, o doborze promienia otulenia r

f

 decyduje klasa wytrzymałości cementu i jego 

miałkość. Dla wyższych klas i drobniej zmielonych cementów przyjmować można niższe 
wartości promienia. 

Przed przystąpieniem do obliczenia składu mieszanki betonowej należy określić 

wodożądności: żwiru, piasku i cementu. Wodożądność jest to ilość wody, jakiej wymaga 1kg 
materiału dla uzyskania wymaganej konsystencji mieszanki betonowej. Wodożądność żwiru i 
piasku oblicza się jako sumy wodożądności poszczególnych frakcji. Każda frakcja kruszywa 
ma bowiem inny średni wymiar ziarna, a więc inną powierzchnię właściwą, w związku z tym 
dla uzyskania założonej konsystencji wymaga innej ilości wody. Wskaźnik wodożądności 
(Sterna) jest to ilość wody niezbędna do uzyskania założonej ciekłości mieszanki betonowej 
przez 1kg danej frakcji kruszywa. Iloczyn zawartości tej frakcji oraz odpowiedniego 
wskaźnika Sterna stanowi wodożądność frakcji. Suma wodożądności poszczególnych frakcji 
stanowi poszukiwaną wodożądność żwiru  (w

g

) lub piasku (w

f

). Wodożądność cementu 

przyjmuje się z tablicy. 

 

Obliczenie ilości składników na 1 dm

3

 mieszanki betonowej   

Tok obliczeń jest następujący: 

-  ilość żwiru: 

g

nzg

m

G





  [kg] 

gdzie: 
ρ

nzg

  – gęstość nasypowa żwiru w stanie zagęszczonym 

m

g

  – wskaźnik spęcznienia żwiru 

 

-  ilość zaprawy: 

pg

G

Z







1

  [dm

3

] 

gdzie: 
ρ

pg

  – gęstość pozorna żwiru 

Politechnika Gdańska 

 

Laboratorium z Technologii Betonu 

Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu 

 

WILiŚ, rok II, semestr  4 

 

3 

Lucyna Grabarczyk 

 

-  ilość piasku: 

f

nzf

m

Z

F







  [kg]  

gdzie: 
ρ

nzf

  – gęstość nasypowa piasku w stanie zagęszczonym 

m

f

  – wskaźnik spęcznienia piasku 

 
 
 

-  ilość zaczynu: 

pk

pf

pg

F

G

F

G

Z



















1

1

0

  [dm

3

] 

gdzie: 
ρ

pf

  – gęstość pozorna piasku 

ρ

pk

  – gęstość pozorna kruszywa 

 

-  ilość wody i cementu: 
 
 

W

C

Z

pc







0

  [dm

3

] 

 

c

f

g

w

C

w

F

w

G

W













  [dm

3

] 

 

c

pc

f

g

w

w

F

w

G

Z

C

















1

0

  [kg] 

gdzie: 
w

g

  – wodożądność żwiru 

w

f

  – wodożądność piasku 

w

c

  – wodożądność cementu 

ρ

pc

  – gęstość pozorna cementu 

 

-  sprawdzenie: 

1









W

F

G

C

pf

pg

pc







  [dm

3

]  

dopuszczalna odchyłka ±0,5% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Politechnika Gdańska 

 

Laboratorium z Technologii Betonu 

Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu 

 

WILiŚ, rok II, semestr  4 

 

4 

Lucyna Grabarczyk 

 

-  w metodzie PO spodziewana wytrzymałość projektowanego betonu na ściskanie 

wynika z zaprojektowanego składu i nie jest wytrzymałość nie jest najważniejszym 
parametrem, metoda ta nastawiona jest na uzyskanie betonu odpowiedniej szczelności 
do obliczeń korzysta się z podstawowego wzoru w technologii betonu  - wzoru 
Bolomeya, który opisuje wytrzymałość w funkcji zawartości cementu i wody 

1/ 2

0,5

cm

C

f

A

W



















  [MPa] 

 
 

gdzie: 
f

cm

  – średnia wytrzymałość betonu na ściskanie, niezbędna dla uzyskania betonu o 

odpowiedniej wytrzymałości charakterystycznej (f

ck

) wyliczanej ze wzoru 

6

cm

ck

f

f





  [MPa] 

A

1/2

 – współczynniki zależne od rodzaju kruszywa grubego oraz klasy wytrzymałości 

cementu; jeżeli C/W<2,5 należy przyjąć stałą A

1

 i znak „-” w nawiasie; jeżeli 

C/W≥2,5 – stałą A

2

 i znak „+” w nawiasie 

 

W przypadku, gdy ze wzoru Bolomeya wynika zbyt niska w stosunku do wymagań 

konstrukcyjnych wytrzymałość betonu, należy zwiększyć promień otulenia piasku (r

f

) i 

ponownie wykonać obliczenia.  

Gdyby uzyskana w wyniku obliczeń ilość cementu przekraczała wielkość 

dopuszczalną, należałoby przyjąć mniejszy r

f

 i ponownie wykonać obliczenia. Należy 

również zwrócić uwagę, czy wyliczona ilość cementu nie jest mniejsza od ilości 
minimalnej. Obydwie wartości maksymalna i minimalna przyjmowane są wg normy 
PN-EN 907-1 w zależności od klas ekspozycji betonu. 

 

-  obliczenie gęstości teoretycznej 

pt

pc

pk

C

G

F W

C

G

F

W







  









  [kg/dm

3

] 

 
 

Metoda trzech równań (3R) – metoda, której będziemy używać na zajęciach 

 

Metoda ta stosowana jest w przypadku, gdy kruszywo traktuje się jako całość nie 

rozdzielając w obliczeniach na drobne i grube. Można tak postępować, jeśli kruszywo 
zostanie ocenione jako dopuszczalne do zastosowania. 

Projektowanie betonu metodą 3R polega na obliczeniu trzech poszukiwanych wartości, 

tj. ilości cementu, kruszywa i wody w kg/m

3

 mieszanki betonowej dzięki wykorzystaniu 

podstawowych równań, tj. wytrzymałości, konsystencji i szczelności. 
-  warunek wytrzymałości  - ujęty we wzorze Bolomeya (doświadczalnie ustalona 

zależność wytrzymałości na ściskanie betonu stwardniałego od klasy zastosowanego 
cementu, rodzaju zastosowanego kruszywa i wskaźnika C/W charakteryzującego zaczyn 
cementowy) 

















5

,

0

2

/

1

W

C

A

f

cm

  [MPa] 

 W tej metodzie klasę betonu, jaką chcemy uzyskać zakładamy na początku projektu. 

Politechnika Gdańska 

 

Laboratorium z Technologii Betonu 

Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu 

 

WILiŚ, rok II, semestr  4 

 

5 

Lucyna Grabarczyk 

 

-  warunek konsystencji – ujęty we wzorze na ilość wody niezbędnej do sporządzenia 

mieszanki betonowej o wymaganej konsystencji 

k

c

w

K

w

C

W









  [dm

3

]    

-  warunek szczelności – ujęty wzorem absolutnych objętości, który wskazuje, że szczelną 

mieszankę betonową uzyskuje się jeżeli suma objętości poszczególnych składników jest 
równa objętości mieszanki betonowej 

1000







W

K

C

pk

pc





  [dm

3

]

 

Powyższy układ równań z trzema niewiadomymi pozwala obliczyć poszukiwane ilości: 
cementu C, kruszywa K i wody W w 1 m

3

 betonu. Układ ten jest słuszny pod warunkiem 

przyjęcia założenia, że w betonie nie ma pęcherzyków powietrza (p=0).  
 
Projekt stosu okruchowego polega na znalezieniu proporcji zmieszania kruszywa drobnego 
K

1 

i kruszywa grubego K

2

. Najczęściej z góry zadany jest (lub przyjmowany na podstawie 

literatury) w projektowanym stosie okruchowym tzw. punkt piaskowy P, czyli procentowa 
zawartość ziaren o średnicy do 2 mm. Oznacza to, że nie znając jeszcze proporcji zmieszania 
obu kruszyw, a więc ich krzywej przesiewu, znany jest jeden punkt na tej krzywej – wielkość 
przejścia przez sito #2 mm. Obliczenie proporcji zmieszania prowadzi się za pomocą wzoru: 

2

1

1

2

K

P

P

x

K

P

P









 

gdzie: 
P

1

, P

2

 – punkty piaskowe kruszywa drobnego i grubego. 

Poszukiwane udziały kruszywa drobnego K

1

 i grubego K

2

 wyznacza się z następującego 

układu równań: 

100

2

1





K

K

  [%] 

2

1

K

x K

 

  [%] 

Rozwiązaniem tego układu równań są wzory: 

1

100

1

K

x





  [%] 

1

2

100

K

K





  [%] 

W metodzie 3R z góry zakłada się klasę betonu, konsystencję, klasę wytrzymałości 

cementu, uziarnienie kruszywa drobnego oraz rodzaj i uziarnienie kruszywa grubego. 

Tok obliczeń przedstawia się następująco: 

-  oznaczenie wskaźnika cementowo-wodnego C/W jako N; w przypadku zadanej klasy 

betonu oblicza się jego wielkość korzystając przekształcenia wzoru Bolomeya dla 
C/W<2,5: 

5

,

0

1







A

f

W

C

N

cm

 

 

-  jeżeli wyliczone N spełnia nierówność C/W<2,5, można przejść do dalszych obliczeń; 

jeżeli nierówność nie jest spełniona, należy skorzystać z przekształcenia wzoru Bolomeya 
dla C/W≥2,5 

5

,

0

2







A

f

W

C

N

cm

 

 

-  oblicza się łączną zawartość kruszywa K=K

1

+K

2

 w 1 dm

3

 betonu, korzystając ze wzoru: 

Politechnika Gdańska 

 

Laboratorium z Technologii Betonu 

Katedra Konstrukcji Betonowych i Technologii Betonu 

 

WILiŚ, rok II, semestr  4 

 

6 

Lucyna Grabarczyk 

 

pk

pc

c

k

N

w

N

w

K





1

1

1

1000



























  [kg/m

3

] 

 
-  następnie wylicza się udział procentowy kruszywa drobnego K

1

 i K

2

 

-  oblicza się ilość wody zarobowej 

c

k

w

N

w

K

W









1

  [kg/m

3

]   

 
-  oblicza się zawartość cementu 

N

W

C





  [kg/m

3

] 

 
-  sprawdzenie obliczeń polega na wstawieniu wyliczonych ilości składników do wzoru 

absolutnych objętości; dopuszczalny błąd wynosi ±5 dm

3

 

-  obliczenie wytrzymałości ze wzoru Bolomeya 
-  obliczenie gęstości pozornej teoretycznej ze wzoru: 

W

K

C

W

K

C

pk

pc

pt

















  [kg/m

3

] 

 
-  obliczenie ilości zaprawy w 1 m

3

 mieszanki betonowej 

W

K

C

Z

pk

pc

p











'

  [dm

3

/m

3

] 

gdzie: 
K’ – ilość piasku zawartego w kruszywie, obliczana ze wzoru: 

K

P

K





100

'

  [kg]