ELEKTRONIKA

MATEMATYKA/2st(MAP1058)

LISTA 1.

(Miara i całka Lebesgue’a w IR

n

, przestrzenie liniowe, rozwinięcia ortogonalne.)

1. Niech X będzie dowolnym zbiorem nieskończonym. Pokazać, że rodzina zbiorów

A={A ∈ 2

X

: A jest zbiorem przeliczalnym lub A

′

jest zbiorem przeliczalnym} jest σ-ciałem.

2. Pokazać, że funkcja µ określona na rodzinie zbiorów A z zad.1 jako 0, gdy A jest zbiorem przeliczal-

nym oraz 1, gdy A

′

jest zbiorem przeliczalnym jest miarą.

3. Pokazać, że podzbiór zbioru miary Lebesgue’a zero jest zbiorem miary Lebesgue’a zero.

4. Pokazać, że każdy zbiór przeliczalny jest miary Lebesgue’a zero.

5. Zbadać zbieżność punktową ciągu funkcji f

n

(x) =

sin nx

√

n

oraz zbieżność punktową ciągu (f

′

n

(x)).

6. Zbadać zbieżność punktową ciągu funkcji f

n

(x) = n

2

x

(1 − x

2

)

n

oraz zbieżność ciągu

 

1

R

0

f

n

(x))dx

!

.

7. Zbadać zbieżność punktową ciągu funkcji f

n

(x) = nx(1 − x

2

)

n

oraz zbieżność ciągu

 

1

R

0

f

n

(x))dx

!

.

8. Znaleźć bazę i wymiar przestrzeni generowanej przez wektory (3, 1, 0, −1), (1, 0, 1, 1), (6, 2, 3, 0), (1, 0, −2, −1).

9. Podać bazę i wymiar przestrzeni rozwiązań układów równań:











x

+ 2y + 3z −

t

= 0

3x + 6y + 7z

= 0

x

+ 2y + 4z + 2t = 0











x

+ 2y + 3z −

t

= 0

+ 6y + 7z

= 0

x

+

+

+ 2t = 0

10. Sprawdzić, że zbiór V = {p ∈ IR

4

[x] : p(1) + p

′

(0) = p

′

(1) + p

′′

(0)} jest podprzestrzenią liniową

przestrzeni wielomianów stopnia 4. Znaleźć bazę w V i okrelić jej wymiar.

11. Wykazać, że dla dowolnego n układ funkcji sin x, sin 2x, . . . , sin nx jest układem liniowo niezależnym

w przesztrzeni funkcji ciągłych na [0, 2π].

12. W przetrzeni IR

2

zdefiniowany jest taki iloczyn skalarny ◦, że e

1

◦ e

2

= 1 oraz |e

1

| = |e

2

| = 2.

Obliczyć u ◦ v, jeżeli u = (2, −1) oraz v = (3, 5).

13. Znaleźć rzut ortogonalny ~u

0

wektora ~u = (1, 0, −1) na podprzestrzeń V = lin{(2, −1, 0), (0, 2, 1)}.

14. Wykazać, że dla dowolnego n układ funkcji sin x, sin 2x, . . . , sin nx jest układem ortogonalnym w

przesztrzeni L

2

([0, 2π]).

15. Sprawdzić, że funkcja f ◦ g = f (−1)g(−1) + f (0)g(0) + f (1)g(1) określa iloczyn skalarny w prze-

strzeni wielomianów stopnia 2. Wyznaczyć rzut ortogonalny wielomianu f (x) = x

2

na podprzestrzeń

generowaną przez funkcje e

1

(x) = 1, e

2

(x) = x.

16. W przestrzeni L

2

([0, 2π]) wyznaczyć rzut ortogonalny funkcji f (x) = sin 2x na podprzestrzeń gene-

rowaną przez funkcje e

1

(x) = sin x, e

2

(x) = cos x.

17. Wyznaczyć szereg Fouriera w postaci rzeczywistej i zespolonej oraz widmo amplitudowe i fazowe

następujących funkcji:

1)f

0

(t) =

(

2(1 − 2|t|) dla |t| <

1
2

,

okresowo

dla |t| >

1
2

,

2) f

3

(t) =



















0

dla 1 < |t| < 2},

2

dla |t| < 1,

1

dla t = −

1
2

lub t =

1
2

,

okresowo dla |t| > 2,

1

ELEKTRONIKA

MATEMATYKA/2st(MAP1058)

LISTA 2.

(Zmienne losowe wielowymiarowe, warunkowa wartość oczekiwana.)

1. Niech (Ω, F,P ) będzie przestrzenią probabilistyczną i niech A będzie ustalonym zdarzeniem o praw-

dopodobieństwie dodatnim. Pokazać, że funkcja P

A

określona na F wzorem P

A

(B) = P (B|A) jest

miarą probabilistyczną.

2. Rzucamy symetryczną kostką tak długo aż wypadnie „6”. Interesuje nas ilość wyrzuconych po drodze

„5”. Opisać to doświadczenie za pomocą dwu zmiennych losowych i znaleźć ich rozkład łączny.

3. Wektor losowy (X, Y ) ma następujący rozkład łączny:

P

(X = 0, Y = −2) = 0, 1; P (X = 0, Y = 0) = 0; P (X = 0, Y = 1) = 0, 2;

P

(X = 2, Y = −2) = P (X = 2, Y = 0) = 0, 2; P (X = 2, Y = 1) = 0, 3.

Czy X i Y są niezależne?

4. Znaleźć gęstość prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ) o dystrybuancie F (x, y),

gdzie:

a) F (x, y) =

(

1−e

−x

−e

−y

+e

−x−y

dla 0 < x, 0 < y

0

poza tym.

b) f (x, y) =

(

e

−(x

2

+y

2

)

gdy x

2

+ y

2

¬ 1,

0

poza tym.

5. Dobrać stałą C tak, aby funkcja F (x, y) =

(

C

(x

2

y

+ y) dla 0 < x < 1, 0 < y < 2

0

poza tym.

była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y ). Czy X i Y są niezależne?

6. Dobrać stałą c tak, aby funkcja f (x, y) =

(

c

(x + y) dla 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ x,

0

poza tym

była gęstością pewnego wektora losowego (X, Y ). Obliczyć następnie P (X

2

+ Y

2

¬ 1) i współczynnik

korelacji zmiennych losowych X i Y . Czy X i Y są niezależne?

7. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład jednostajny na zbiorze

{(x, y) : 0 ¬ x, y ¬ 1, y ­ x +

1
2

lub x −

1
2

¬ y ¬ x}.

a) Sprawdzić, że rozkłady brzegowe są jednostajne na przedziale [0, 1].
b) Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?

8. Gęstość prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ) zadana jest wzorem

f

(x, y) =

1

√

2π

e

−

1
2

(x

2

+y

2

)

.

a) Obliczyć P (X > 1). b) Obliczyć P (X

2

+ Y

2

¬ 1).

9. Rzucamy dwa razy monetą. Rozważamy σ-ciało generowane przez zdarzenie A - ”wypadły dwie

reszki”. Zmienna losowa X równa jest liczbie otrzymanych orłów. Wyznaczyć warunkową wartość
oczekiwaną zmiennej X względem rozważanego σ-ciała.

10. Rzucamy dwa razy kostką. Rozważamy σ-ciało generowane przez zdarzenia A

1

, A

2

, gdzie A

1

- ”suma

oczek nie przekacza 4”, A

2

- ”suma oczek wynosi przynajmniej 10”. Zmienna losowa X równa jest

wartości bezwzględnej różnicy liczby oczek na kostkach. Wyznaczyć warunkową wartość oczekiwaną
zmiennej X względem rozważanego σ-ciała.

11. Ω = [0, 1] i P jest miarą Lebesgue’a. Rozważamy σ-ciało generowane przez zbiór liczb wymier-

nych i zmienną losową f (x) = x

2

. Wyznaczyć warunkową wartość oczekiwaną zmiennej X względem

rozważanego σ-ciała.

12. Ω = [0, 1] i P jest miarą Lebesgue’a. Rozważamy σ-ciało generowane przez zbiory postaci [

1

n

+1

,

1

n

) i

zmienną losową f (x) = x. Wyznaczyć warunkową wartość oczekiwaną zmiennej X względem rozwa-
żanego σ-ciała.

2