METODY OBLICZENIOWE
Zagadnienie własne macierzy
Zadanie: o
blicz wartości i wektory własne macierzy
12
6
6
6
16
2
6
2
16
−
=
−
A
1.
Podejście klasyczne.
a)
Zbuduj i rozwiąż równanie charakterystyczne
det (
)
0
− α =
A
I
, gdzie I oznacza macierz
jednostkową, a α jest poszukiwaną wartością własną.
b)
Rozwiąż z pomocą komendy LinearSolve równanie macierzowe
(
)
i
− α
=
A
I u
0 , w
którym
α
i
jest
jedną z wyznaczonych wartości własnych, a u − wektorem własnym.
c)
Rozwiąż z pomocą komendy GenerateEquations układ równań jednorodnych,
odpowiadający równaniu
(
)
i
− α
=
A
I u
0 . Porównaj wyniki uzyskane w p. b) i c).
d) Powtórz obliczenia z p. b) i c)
dla każdej wartości własnej wyznaczonej w p. a).
2. Użyj komendy Eigenvectors do wyznaczenia wartości i wektorów własnych macierzy A.
Porównaj otrzymany rezultat z wynikami uzyskanymi w
podejściu klasycznym.
3.
Zastosuj metodę potęgową do wyznaczenia wszystkich par własnych macierzy A.
a) Wyznacz n
ajwiększą wartość własną i odpowiadający jej wektor własny na podstawie
związków:
1
1
1
2
,
,
.
,
T
k
k
k
k
k
k
k
k
+
+
+
=
=
α ≈
≈
v
w
v
Aw
w v
u
v
v
b)
Wyznacz najmniejszą wartość własną i odpowiadający jej wektor własny na podstawie
związków:
1
1
1
1
2
1
,
,
,
.
k
k
k
k
k
T
k
k
k
−
+
+
+
=
=
α ≈
≈
v
w
v
A w
u
v
v
w v
c)
Wyznacz pośrednią wartość własną i odpowiadający jej wektor własny na podstawie
związków:
1
1
1
1
2
1
,
(
)
,
,
.
k
k
k
k
k
T
k
k
k
−
+
+
+
=
=
− µ
α ≈
+ µ
≈
v
w
v
A
I
w
u
v
v
w v
Uwaga: przyjąć µ = 15.
Porównaj otrzymane rezultaty z wynikami uzyskanymi
z pomocą komendy
Eigenvectors
.