Metoda Gaussa eliminacji niewiadomych
Za pomocą metody Gaussa można rozwiązać dowolny
URL (bez względu na liczbę równań i niewiadomych oraz
bez względu na liczbę rozwiązań).
Dany jest układ m równań liniowych z n niewiadomymi:
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
........
..........
..........
..........
..........
...
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
Tworzymy macierz rozszerzoną tego układu:
m
mn
m
m
n
n
b
a
a
a
b
a
a
a
b
a
a
a
...
.........
..........
..........
...
...
2
1
2
2
22
21
1
1
12
11
Będziemy przekształcać tę macierz. Celem przekształceń
jest doprowadzenie jej do jednej z poniższych postaci w
zależności od liczby wierszy i kolumn tej macierzy):
#
0
...
0
0
0
....
..........
..........
#
#
...
#
0
0
#
#
...
#
#
0
#
#
...
#
#
#
lub
#
#
#
0
...
0
0
0
...
..........
..........
..........
#
#
#
#
...
#
0
0
#
#
#
#
...
#
#
0
#
#
#
#
...
#
#
#
Symbol # oznacza dowolną liczbę.
Z takiej macierzy łatwo odczytamy rozwiązanie.
Dopuszczalne operacje przy przekształcaniu macierzy:
1. Wiersze wolno zamieniać miejscami.
2. Dowolny wiersz wolno pomnożyć przez liczbę różną od
zera
3. Do dowolnego wiersza wolno dodać inny wiersz
pomnożony przez liczbę.
4. Jeżeli w przekształcanej macierzy pojawi się dwa lub
więcej jednakowych wierszy, to jeden z nich zostawiamy,
a pozostałe skreślamy.
Przykład. Rozwiązać układ równań:
4
3
3
6
3
2
2
1
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Tworzymy macierz rozszerzoną tego układu:
4
3
1
3
6
1
1
1
3
2
1
2
1
1
2
1
~
4
1
3
1
2
1
1
3
2
w
w
w
w
w
w
w
~
7
0
7
0
7
2
1
0
5
0
5
0
1
1
2
1
~
7
/
1
5
/
1
3
1
w
w
~
1
0
1
0
7
2
1
0
1
0
1
0
1
1
2
1
~
.
skresl
~
7
2
1
0
1
0
1
0
1
1
2
1
~
3
2
2
1
w
w
w
w
~
6
2
0
0
1
0
1
0
1
1
2
1
Ta macierz ma docelową postać, ale dodatkowo (dla
wygody dalszych obliczeń) pomnożymy
3
w
przez 1/2:
3
1
0
0
1
0
1
0
1
1
2
1
Napiszemy teraz układ równań dla którego ta macierz jest
macierzą rozszerzoną:
3
1
1
2
3
2
3
2
1
x
x
x
x
x
Wstawiamy
3
1
3
2
x
i
x
do równania pierwszego:
1
3
2
1
x
, stąd
4
1
x
.
Odp.: Układ ma jedno rozwiązanie:
3
,
1
,
4
3
2
1
x
x
x
Przykład. Rozwiązać układ równań:
0
3
5
6
3
2
2
1
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Tworzymy macierz rozszerzoną tego układu:
0
3
5
1
6
1
1
1
3
2
1
2
1
1
2
1
~
4
1
3
1
2
1
1
2
w
w
w
w
w
w
w
~
1
4
7
0
7
2
1
0
5
0
5
0
1
1
2
1
~
4
3
1
5
/
1
w
w
w
~
1
4
7
0
7
2
1
0
1
0
1
0
1
1
2
1
~
4
2
3
2
2
1
7
w
w
w
w
w
w
~
6
4
0
0
6
2
0
0
1
0
1
0
1
1
2
1
~
2
/
1
2
/
1
2
1
w
w
~
3
2
0
0
3
1
0
0
1
0
1
0
1
1
2
1
~
4
3
3
2
1
2
w
w
w
w
w
~
9
0
0
0
3
1
0
0
1
0
1
0
1
1
2
1
Ta macierz ma docelową postać.
Zauważmy, że ostatni wiersz reprezentuje równanie:
9
0
Jest to równanie sprzeczne, więc układ jest sprzeczny.
Wniosek 1.
Jeżeli w czasie przekształceń pojawi się wiersz postaci:
0
0
...
0
0
0
k
to układ jest sprzeczny.
Wniosek 2.
Jeżeli w czasie przekształceń pojawi się wiersz samych
zer, to taki wiersz skreślamy (reprezentuje on równanie
0=0).
Przykład. Rozwiązać układ równań:
6
5
2
3
4
2
3
3
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Tworzymy macierz rozszerzoną:
6
5
2
1
3
4
1
2
3
3
1
1
3
1
1
1
~
4
1
3
1
2
1
1
2
w
w
w
w
w
w
w
~
9
6
3
0
9
6
3
0
6
4
2
0
3
1
1
1
~
.
3
/
1
2
/
1
1
skresl
w
~
3
2
1
0
3
2
1
0
3
1
1
1
~
.
2
1
skresl
w
w
~
3
2
1
0
3
1
1
1
Ta macierz ma docelową postać.
Napiszemy teraz układ równań dla którego ta macierz jest
macierzą rozszerzoną:
3
2
3
3
2
3
2
1
x
x
x
x
x
Z ostatniego równania wyznaczamy
3
2
3
2
x
x
I wstawiamy do równania pierwszego:
3
3
2
3
3
1
x
x
x
Stąd:
3
1
x
x
3
1
x
x
Odpowiedź: Rozwiązaniem równania jest każda trójka
liczb postaci:
3
1
x
x
,
3
2
3
2
x
x
,
3
x
dowolne
Uwaga. Podstawiając np.
1
3
x
mamy:
1
1
x
,
1
2
x
.
Sprawdź, że te liczby spełniają wszystkie równania danego
układu.
Podstawiając np.
0
3
x
mamy:
0
1
x
,
3
2
x
. Sprawdź,
że te liczby spełniają wszystkie równania danego układu.
itd.