Obwody prądu stałego lub zmiennego
zawierające rezystory
Obwody prądu stałego lub zmiennego
zawierające rezystory
Obwody I i II są równowaŜne wtedy i tylko wtedygdy spełnione są zaleŜności:
u
1
(t) = u
2
(t)
oraz
i
1
(t) = i
2
(t)
u
1
(t)
Obwód
I
i
1
(t)
≡
Obwody równowaŜne
u
2
(t)
Obwód
II
i
2
(t)
Obwody zawierające rezystory
Szeregowe łączenie rezystorów
Rezystancja zastępcza n rezystorów połączonych szeregowo jest równa sumie
algebraicznej ich rezystancji
Prawo Ohma:
u
j
(t) = i(t)R
j
u(t) = i(t)R
Z
II prawo Kirchhoffa:
u
1
(t) + u
2
(t) + u
3
(t) + ……. + u
n
(t) = u(t)
u(t) = u
Z
(t)
i(t)R
1
+ i(t)R
2
+ i(t)R
2
+ ….. + i(t)R
n
= i(t)R
Z
i(t)
u
Z
(t)
R
1
R
Z
u(t)
≡
≡
n
Z
R
R
R
R
R
+
+
+
+
=
.......
3
2
1
u
1
(t)
R
1
R
1
u
3
(t)
u
2
(t)
R
1
R
2
u
n
(t)
R
n
u(t)
i(t)
R
1
Obwody zawierające rezystory
równoległe łączenie rezystorów
Odwrotność rezystancji zastępczej n rezystorów połączonych równolegle jest równa
sumie algebraicznej odwrotności ich rezystancji
Prawo Ohma:
i
j
(t) = u(t)/R
j
i(t) = u(t)/R
Z
Węzeł w:
i
1
(t) + i
2
(t) + i
3
(t) + ……. + i
n
(t) = i(t)
u(t) = u
Z
(t)
u(t)/R
1
+ u(t)/R
2
+ u(t)/R
2
+ ….. + u(t)/R
n
= u(t)/R
Z
i(t)
u
Z
(t)
R
1
R
Z
u(t)
≡
≡
u(t)
i(t)
R
1
i
1
(t)
R
2
R
3
i
n
R
n
w
i
2
(t)
i
3
(t)
i
n
(t)
n
Z
R
R
R
R
R
1
.......
1
1
1
1
3
2
1
+
+
+
+
=
Obwody zawierające rezystory
Łączenie rezystorów w gwiazdę i w trójkąt
Połączenie rezystorów w gwiazdę będzie równowaŜne połączeniu rezystorów w trójkąt
jeŜeli będą spełnione następujące zaleŜności:
u’
G
(t) = u’
T
(t)
u’’
G
(t) = u’’
T
(t)
i
1G
(t) = i
1T
(t)
i
2G
(t) = i
2T
(t)
i
3G
(t) = i
3T
(t)
R
1
u
2
(t)
u
1
(t)
u
3
(t)
R
2
R
3
i
2G
(t)
i
3G
(t)
i
1G
(t)
w
u’’
G
(t)
u’
G
(t)
I
II
Gwiazda
Trójkąt
u
x
(t)
R
13
i
12
(t)
i
3T
(t)
i
1T
(t)
w1
u’’
T
(t)
u’
T
(t)
w2
R
12
R
23
i
2T
(t)
i
13
(t)
i
23
(t)
≡
Gwiazda
Trójkąt
Węzeł w:
i
1G
(t) + i
2G
(t) = i
3G
(t)
Oczko II:
u’’
G
(t) = u
2
(t) + u
3
(t)
Prawo Ohma:
u
2
(t) = i
2G
(t) R
2
u
3
(t) = i
3G
(t) R
3
Węzeł w 1
:
i
1T
(t)
=
i
12
(t)
+
i
13
(t)
Węzeł w 2
:
i
2T
(t)
=
i
23
(t)
-
i
12
(t)
Oczko:
u’’
T
(t) = u’(t) - u
x
(t)
u’
T
(t) = i
13
(t) R
12
Prawo Ohma:
u’’
T
(t) = i
23
(t) R
23
u
x
(t) = i
12
(t) R
13
Obwody zawierające rezystory
Łączenie rezystorów w gwiazdę i w trójkąt
Z pierwszego i drugiego prawa Kirchhoffa otrzymujemy:
( )
( )
( )(
)
3
2
2
3
1
''
R
R
t
i
R
t
i
t
u
G
G
G
+
+
=
( )
( )
( ) (
)
23
13
12
12
13
23
2
23
13
12
23
13
1
''
R
R
R
R
R
R
t
i
R
R
R
R
R
t
i
t
u
T
T
T
+
+
−
+
+
+
=
Dla obwodów równowaŜnych współczynniki występujące przy prądach i
1G
i i
1T
, oraz i
2G
i i
2T
,
naleŜy przyrównać:
(
)
23
13
12
12
13
23
3
2
23
13
12
23
13
3
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
+
+
−
=
+
+
+
=
23
13
12
23
13
3
23
13
12
23
12
2
23
13
12
13
12
1
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
+
+
=
+
+
=
+
+
=
2
3
1
3
1
31
1
3
2
3
2
23
3
2
1
2
1
12
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
+
+
=
+
+
=
+
+
=
Układ równań umoŜliwiający zamianę
obwodu gwiazda --> trójkąt
Układ równań umoŜliwiający zamianę
obwodu trójkąt --> gwiazda
Gdy R
1
= R
2
= R
3
= R
G
,
to
R
12
= R
23
= R
13
= 3R
G
,
Obwody zawierające rezystory
RównowaŜność połączeń w gwiazdę i w trójkąt
Stosując prawa Kirchhoffa dla obu obwodów i porównując odpowiednie współczynniki
moŜna trzymać następujące zaleŜności pomiędzy rezystancjami R
1
, R
2
, R
3
, R
12
, R
13
i R
23
:
Przykład:
Obliczyć rezystancję R
Z
zastępczą pomiędzy punktami A i B dla sieci siedmiu rezystorów przedstawionej
na rysunku.
Obwody zawierające rezystory
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
A
B
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
A
B
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
A
B
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
≡
≡
≡
≡
≡
Połączenia równoległe
Połączenie szeregowe
Połączenia równoległe
Połączenie w gwiazdę
Połączenie równoległe
R
R
R
R
R
R
R
R
Z
Z
3
2
6
9
6
2
6
7
3
1
7
6
1
1
=
=
+
=
+
=
Obwody zawierające rezystory
Rezystancyjny dzielnik napięciowy
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
1
1
1
2
2
1
R
R
R
R
t
u
t
i
R
t
i
t
u
t
u
t
u
t
u
t
u
t
u
Z
Z
wej
wyj
wej
+
=
=
=
=
+
=
( )
( )
( )
( )
( )
1
0
2
1
2
2
1
2
2
1
1
≤
≤
+
=
+
=
+
+
=
K
R
R
R
K
R
R
R
t
U
t
U
t
U
R
R
R
t
U
t
U
wej
wyj
wyj
wej
wej
Współczynnik podziału napięcia - K
II prawo Kirhchoffa:
Prawo Ohma:
Rezystancja zastępcza w
połączeniu szeregowym
R
2
u
1
(t)
R
1
u
wyj
(t)
u
wej
(t)
u
2
(t)
i(t)
Bocznik prądowy
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
oraz
0
1
to
,
gdy
0
0
0
t
u
t
u
t
u
K
R
R
R
R
R
K
t
u
t
Ku
t
u
t
u
t
u
t
u
wej
wyj
B
B
B
wej
wej
B
wej
wyj
B
≈
≈
≈
<<
+
=
−
=
−
=
Rezystor R
B
nazywany jest
bocznikiem prądowym i słuŜy
do pomiaru prądu płynącego w
obwodzie za pomocą
woltomierza.
( )
( )
( )
( )
( )
A
99
,
9
0,01
V
0999
,
0
V
901
,
99
V
0999
,
0
-
V
100
V
0999
,
0
10
01
,
0
01
,
0
V
100
=
Ω
=
=
≈
=
=
=
Ω
+
Ω
Ω
=
B
B
wej
wyj
B
R
t
u
t
i
t
u
t
u
t
u
Przykład:
NaleŜy zmierzyć natęŜenie prądu (10A) płynącego
w obwodzie (R
0
= 10
Ω
; u
wej
(t) = 100 V) za pomocą
woltomierza i rezystora bocznikującego o
rezystancji R
B
= 0,01
Ω
II prawo Kirhchoffa:
V
R
0
u
B
(t)
R
B
u
wyj
(t)
u
wej
(t)
i(t)
V
R
0
u
B
(t)
R
B
u
wyj
(t)
u
wej
(t)
i(t)
Obwody zawierające rezystory
Rezystancyjny dzielnik napięciowy
Obwody zawierające rezystory
Rezystancyjny dzielnik prądowy
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
1
2
1
2
2
2
R
R
R
R
R
R
t
U
t
i
R
t
U
t
i
t
U
t
U
Z
Z
wej
wej
wyj
wej
+
=
=
=
=
Współczynnik podziału prądu - K
i
II prawo Kirhchoffa
Rezystancja zastępcza w
połączeniu równoległym
( )
( )
1
0
2
1
1
2
1
1
≤
≤
+
=
+
=
i
i
wej
wyj
K
R
R
R
K
R
R
R
t
i
t
i
R
1
i
1
(t)
R
2
i
wyj
(t)
u
1
(t)
u
2
(t)
i
wej
(t)
u(t)
prawo Ohma
JeŜeli odbiornikami są rezystory, to zgodnie z prawem Ohma:
u(t) = Ri(t)
Dla prądu zmiennego moc chwilowa wyraŜa się wzorem:
p(t) = Ri
2
(t)
lub
p(t) = u
2
(t)/R
Dla prądu stałego moc jest niezaleŜna od czasu i wynosi:
P= RI
2
lub
P= U
2
/R
Obwody zawierające rezystory
Moc prądu elektrycznego
Praca wyraŜona powyŜszym wzorem zamienia się na ciepło i powoduje nagrzewanie rezystora.
Jest to tzw. ciepło Jule’a.
JeŜeli przez rezystor R w ciągu czasu t płynie prąd stały o natęŜeniu I, to praca tego prądu
wyniesie:
W = Pt = RI
2
t
Suma mocy pobieranej przez wszystkie rezystory równa się mocy
dostarczonej ze źródła
Obwody zawierające rezystory
Bilans mocy elektrycznej
i
1
(t)
i
3
(t)
u(t)
i(t)
R
1
R
2
R
3
i
n
R
n
i
2
(t)
i
n
(t)
R
1
R
1
Połączenie szeregowe rezystorów
Połączenie równoległe rezystorów
moc dostarczona moc pobierana
moc dostarczona moc pobierana
moc pobierana:
moc dostarczona:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
[
]
( ) ( )
t
i
t
u
t
i
t
i
t
i
t
i
t
u
t
i
t
u
t
i
t
u
t
i
t
u
n
n
n
=
=
+
+
+
+
=
=
+
+
+
....
....
3
2
1
2
2
1
1
moc pobierana:
moc dostarczona:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
[
]
( ) ( )
t
i
t
u
t
u
t
u
t
u
t
u
t
i
t
i
t
u
t
i
t
u
t
i
t
u
n
n
n
=
=
+
+
+
+
=
=
+
+
+
....
....
3
2
1
2
2
1
1
I prawo Kirchhoffa
II prawo Kirchhoffa