III. ELEMENTY SYMETRII W CHEMII.
SYMETRIA WYBRANYCH CZĄSTECZEK
Symetrycznym nazywamy każdy obiekt, którego nie
można odróżnić od jego odwzorowania na
płaszczyźnie lub w przestrzeni w wyniku
operacji symetrii. Innymi słowy, obiekt symetryczny
i jego odwzorowanie dokładnie pokrywają się, czyli
są identyczne.
Przykładem obiektu niesymetrycznego może być
którakolwiek dłoń człowieka. Zwierciadlane odbicie
dłoni lewej jest odwzorowaniem dłoni prawej i vice
versa, ale lewa i prawa dłoń (rys. 1) nie są
identyczne, ponieważ nie pokrywają się.
Rys. 1. Lewa i prawa dłoń jako przykład obiektów
niesymetrycznych
Jedyną operacją, która doprowadza do nałożenia się
obiektu niesymetrycznego na jego odwzorowanie jest
obrót o 360
o
wokół dowolnie wybranej osi. O takim
obrocie mówimy, że jest to tożsamościowa operacja
symetrii.
Obiekt symetryczny, np. przedmiot, figura płaska,
bryła geometryczna, kryształ, cząsteczka, musi
posiadać jakiś element symetrii.
Elementami symetrii
cząsteczek są osie symetrii, płaszczyzny symetrii,
środek symetrii (inwersji), osie przemienne.
Osie symetrii (osie n-krotne) są osiami obrotu o kąt α
= 360
o
/n, gdzie n = 2, 3, 4 i 6. Osie te oznaczamy
ogólnym symbolem C
n
. Oś o najwyższej krotności
jest osią główną. Zgodnie z tym co powiedziano
wcześniej, obrót względem wybranej osi n-krotnej
o kąt 360
o
jest operacją tożsamościową.
Płaszczyzna symetrii dzieli cząsteczkę na dwie części,
które mają się do siebie tak, jak przedmiot i jego
odbicie w lustrze. Płaszczyzny symetrii oznaczamy
symbolem σ. Płaszczyzna symetrii σ
v
jest płaszczyzną
wertykalną (vertical plane), w której leży oś główna.
Płaszczyzna symetrii, σ
h
jest płaszczyzną prostopadłą
(horizontal plane) do osi głównej. Symbol σ
d
odnosi
się do diagonalnych płaszczyzn (diagonal planes)
symetrii cząsteczki.
Środek symetrii (inwersji), i , mają tylko niektóre
cząsteczki, np. cząsteczki AX
6
o strukturze
oktaedrycznej, natomiast nie mają go płaskie
cząsteczki AX
3
i w cząsteczki tetraedryczne AX
4
.
Operacja względem środka symetrii cząsteczki to
inwersja
– czyli zamiana współrzędnych x,y,z
poszczególnych atomów na współrzędne -x,-y,-z.
Wszystkie z wyżej wymienionych elementów
symetrii można w przejrzysty sposób rozpatrzyć na
przykładzie sześcianu (rys. 2).
Rys. 2. Elementy symetrii sześcianu
a) płaszczyzny równoległe do ścian – 3, każda z nich jest wertykalna
względem jednej i horyzontalna dla dwóch pozostałych osi C
4
;
b) płaszczyzny diagonalne - 6; c) osie C
4
– 3; d) osie C
3
– 4, e) osie C
2
– 6.
Osie C
n
w sześcianie przecinają się w środku symetrii i,
który w układzie wyznaczonym przez wzajemnie
prostopadłe osie C
4
ma współrzędne 0,0,0. Każde
naroże sześcianu (x,y,z) ma swój odpowiednik
inwersyjny (-x,-y,-z) - co pokazano na poniższym
schemacie:
Rys. 3. Operacja inwersji naroży w sześcianie
a b c d e
Osie przemienne, oznaczone symolem S
n
, odnoszą się
do
operacji
obrotu
o
kąt
α
=
360
o
/n
z
równoczesnym
odbiciem
w
płaszczyźnie
prostopadłej do osi. Istotę tej operacji symetrii na
przykładzie osi S
2
wyjaśnia rys. 4.
.
180
O
S
Rys. 4. Oś S
2
– obrót o 180
o
i odbicie w płaszczyźnie horyzontalnej
Elementy symetrii wybranych cząsteczek
Cząsteczka wody
Cząsteczka wody ma strukturę kątową,
ponieważ orbitale atomu tlenu mają hybrydyzację
sp
3
. Elementy symetrii tej cząsteczki, to oś
dwukrotna C
2
i dwie wertykalne płaszczyzny
symetrii σ
v
(rys. 5).
C
2
●
– O
○
– H
σ
V
’
σ
V
’’
Rys. 5. Elementy symetrii cząsteczki wody
Cząsteczki BF
3
i SO
3
W cząsteczkach BF
3
i SO
3
atomy centralne boru
lub siarki są w stanie hybrydyzacji sp
2
. Z tego
powodu cząsteczki tych związków mają strukturę
trójkąta równobocznego z atomami fluoru lub tlenu
zajmującymi jego wierzchołki. Elementami symetrii
rozpatrywanych cząsteczek są: oś C
3
, trzy osie C
2
oraz trzy płaszczyzny wertykalne i jedna płaszczyzna
horyzontalna w stosunku do osi głównej.
Wymienione elementy symetrii cząsteczek BF
3
i SO
3
przedstawiono na rys. 6.
Rys. 6. Symetria cząsteczek BF
3
lub SO
3
o strukturze trójkąta
równobocznego: ○ – atom centralny (B lub S),
●
– atomy F lub O
Cząsteczka amoniaku
Atom azotu w cząsteczkach NH
3
jest atomem
centralnym o hybrydyzacji orbitali typu sp
3
.
Oznacza to, że cząsteczki amoniaku mają strukturę
piramidy trygonalnej, gdzie atom azotu jest
wierzchołkiem tej piramidy, a atomy wodoru
obsadzają wierzchołki podstawy. Elementami
symetrii piramidy trygonalnej jest oś trójkrotna C
3
oraz trzy płaszczyzny wertykalne (rys. 7).
C
2
C
2
C
2
C
3
σ
h
C
3
○
–
N
,
●
– H
σ
'
Rys. 7. Symetria cząsteczki amoniaku.
Dla przejrzystości zaznaczono tylko płaszczyznę wertykalną σ
v
’
Cząsteczki CH
4
i CCl
4
Hybrydyzacja sp
3
orbitali atomu węgla decyduje
o tetraedrycznej strukturze cząsteczkowej metanu
i tetrachlometanu. Cztery podstawniki (tu atomy
wodoru lub chloru) obsadzają naroża tetraedru,
a atom węgla zajmuje jego centrum, które jest
punktem 0,0,0 w układzie współrzędnych XYZ (rys.
8). Rozpatrywane cząsteczki są pozbawione środka
inwersji i, ale mają następujące elementy symetrii:
● cztery osie C
3
, z których każda przechodzi przez
jeden wierzchołek i środek tetraedru;
● trzy osie C
2
, które pokrywają się z osiami X,Y,Z;
● trzy osie S
4
pokrywające się z osiami X,Y,Z;
● sześć płaszczyzn symetrii.
Rys. 8. Tetraedryczna cząsteczka metanu wpisana w sześcian.
Kierunek pokazanej osi S
4
jest zgodny z kierunkiem osi Z układu
współrzędnych
Cząsteczki i jony kompleksowe o liczbie koordynacji 6,
np. SF
6
, Mo(CO)
6
,[Co(NH
3
)
6
]
3+
[Fe(CN)
6
]
4-
Wymienione cząsteczki i jony kompleksowe mają
strukturę oktaedryczną. Atom centralny zajmuje
miejsce w środku ośmiościanu, a podstawniki (ligandy)
są rozmieszczone w jego wierzchołkach. Elementy
symetrii oktaedru to:
środek symetrii
i;
osie
C
4
przechodzące przez dwa przeciwległe wierzchołki (
3
)
;
osie
C
3
przechodzące przez środki przeciwległych ścian
(
4
)
;
osie
C
2
przechodzące przez środki przeciwległych
krawędzi (
6
)
;
płaszczyzny
σ
h
(lub
σ
v
) przechodzące
przez cztery spośród sześciu wierzchołków (
3);
płaszczyzny
σ
d
przechodzące przez dwa sąsiednie
wierzchołki i dzielące przeciwległe krawędzie na
polowy (
6
)
;
osie
S
4
(
3
)
;
osie
S
6
(
4
)
.
Rys. 9. Oktaedryczna struktura cząsteczki SF
6
.
Dla przejrzystości na rysunku zaznaczono po jednej osi C
n
i po jednej płaszczyźnie σ
v(h)
i σ
d
. Pokazana płaszczyzna σ
v
jest
równocześnie wertykalna względem zaznaczonej osi C
4
i horyzontalna w stosunku do pozostałych dwóch osi C
4
.
Zbiór wszystkich operacji symetrii,
które można wykonać na danej cząsteczce
nazywamy punktową grupą symetrii.
a