Funkcje uogólnione
Funkcje uogólnione
Funkcje uogólnione
•Sygnały nie spełniające warunku Dirichleta
•Dystrybucja (funkcja uogólniona)
•Delta (impuls) Diraca
•Właściwość próbkująca delty Diraca
•Inne właściwości Delty Diraca
•Dystrybucja grzebieniowa
•Transformaty Fouriera funkcji specjalnych
•Podsumowanie
Sygnały nie spełniające warunku
Dirichleta
( )
∞
≈
∫
∞
∞
−
dt
t
x
•Sygnały x(t) są bardzo często wykorzystywane w dziedzinie
czasu, więc wskazanym byłoby jednak podać sposób ich
transformacji fourierowskiej.
•Rozszerzenie zbioru sygnałów, dla których istnieje trans-
formata Fouriera można otrzymać korzystając
z koncepcji dystrybucji (funkcji uogólnionych).
( )
( ) ( )
( )
( )
t
t
x
t
t
x
const
t
x
sgn
=
=
=
1
( )
( )
t
t
x
t
t
x
0
0
sin
cos
ω
ω
=
=
Dystrybucje (funkcje uogólnione)
Dystrybucja (funkcja uogólniona) D(t) przypisuje dowolnej
funkcji
ϕ
(t) liczbę V
D
{
ϕ
(t)}:
( )
( )
( )
{ }
t
V
t
D
t
D
ϕ
ϕ
→
Przykłady dystrybucji:
( )
( )
( )
{ } ( )
( )
( )
( )
{ }
( )
( )
( )
( )
{ }
( )
(
)
dt
dt
t
d
t
V
t
dt
t
t
V
t
t
t
V
t
b
a
D
t
D
b
a
D
t
D
D
t
D
∫
∫
+
=
→
=
→
=
→
2
0
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Zapis całkowy dystrybucji
Dystrybucja (funkcja uogólniona) D(t) przypisuje dowolnej
funkcji
ϕ
(t) liczbę V
D
{
ϕ
(t)}:
( )
( )
( )
{ }
t
V
t
D
t
D
ϕ
ϕ
→
Dystrybucję zapisujemy w postaci całkowej:
( )
( )
( )
{ }
( ) ( )
dt
t
t
D
t
V
t
df
D
t
D
ϕ
ϕ
ϕ
∫
∞
∞
−
=
→
w celu zachowania właściwości liniowości:
( )
( )
{
}
( )
{
}
( )
{
}
t
V
t
V
t
t
V
D
D
D
2
1
2
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+
=
+
Delta Diraca (impuls Diraca)
Delta Diraca
δ
(t) przypisuje dowolnej funkcji
ϕ
(t)
liczbę
ϕ
(0):
( )
( )
( )
{ }
( ) ( )
( )
0
ϕ
ϕ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
∫
∞
∞
−
=
=
→
dt
t
t
t
V
t
t
Definicja delty Diraca jest też
utożsamiana z właściwością
próbkującą delty Diraca.
( )
t
ϕ
t
0
=
t
( )
0
ϕ
Paul Adrien Maurice DIRAC ( 1902 - † 1993)
Dirac Paul Adrien Maurice (1902-1993), wybitny angielski fizyk-
teoretyk, współtwórca mechaniki kwantowej, przewidział istnienie
pozytonu i wniósł istotny wkład w rozwój elektrodynamiki kwantowej.
Był profesorem uniwersytetów w Cambridge i Oksford i członkiem
Royal Society. W 1933 otrzymał (wraz z E. Schrödingerem) Nagrodę
Nobla za rozwinięcie mechaniki kwantowej.
Delta Diraca (impuls Diraca)
0
=
t
( )
t
ϕ
t
( )
0
ϕ
2
ε
+
2
ε
−
ε
1
( ) ( )
( )
(
) (
)
( ) ( )
0
0
2
2
lim
1
lim
lim
0
2
2
0
0
ϕ
ε
ε
ε
ϕ
ε
ϕ
π
ε
ε
ε
ε
ε
ε
=
Φ ′
=
−
Φ
−
+
Φ
=
=
=
→
+
−
→
∞
∞
−
→
∫
∫
dt
t
dt
t
t
( ) ( )
t
t
ϕ
=
Φ ′
( ) ( )
( )
[
]
( )
( )
( ) ( )
( )
0
lim
lim
0
0
ϕ
ϕ
δ
ϕ
π
ϕ
π
δ
ε
ε
ε
ε
=
=
=
∫
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
→
∞
∞
−
→
dt
t
t
dt
t
t
dt
t
t
t
Właściwość próbkująca delty Diraca
( )
( )
( )
{ }
( ) ( )
( )
0
ϕ
ϕ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
∫
∞
∞
−
=
=
→
dt
t
t
t
V
t
t
(
) ( )
( )
0
0
t
dt
t
t
t
ϕ
ϕ
δ
∫
∞
∞
−
=
−
( )
t
ϕ
t
0
t
t
=
( )
0
t
ϕ
(
)
0
t
t
−
δ
Właściwość próbkująca delty Diraca
( )
( )
( )
{ }
( ) ( )
( )
0
ϕ
ϕ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
∫
∞
∞
−
=
=
→
dt
t
t
t
V
t
t
( ) (
) ( ) (
)
0
0
0
t
t
t
t
t
t
−
=
−
δ
ϕ
δ
ϕ
0
t
t
=
( )
t
ϕ
t
( )
0
t
ϕ
(
)
0
t
t
−
δ
Właściwość próbkująca delty Diraca
( )
( )
( )
{ }
( ) ( )
( )
0
ϕ
ϕ
δ
ϕ
ϕ
δ
δ
∫
∞
∞
−
=
=
→
dt
t
t
t
V
t
t
(
) ( )
( )
[ ]
[ ]
∉
∈
=
−
∫
b
a
t
b
a
t
t
dt
t
t
t
b
a
,
,
0
,
,
0
0
0
0
ϕ
ϕ
δ
( )
t
ϕ
t
( )
0
t
ϕ
(
)
0
t
t
−
δ
a
b
0
t
t
=
Inne właściwości delty Diraca
( ) ( )
( ) (
)
( )
t
d
t
t
t
ϕ
τ
τ
ϕ
τ
δ
ϕ
δ
∫
∞
∞
−
=
−
=
∗
Splot sygnału z deltą Diraca
„Pole” delty Diraca
( )
1
∫
∞
∞
−
=
dt
t
δ
( )
( )
t
a
at
δ
δ
1
=
„Symetria” delty Diraca
Dystrybucja grzebieniowa
t
(
)
nT
t
−
δ
( )
(
)
∑
∞
∞
−
−
=
nT
t
t
T
δ
δ
( )
(
)
T
e
T
nT
t
t
n
t
jn
T
π
ω
δ
δ
ω
2
,
1
0
0
=
=
=
−
=
∑
∑
∞
− ∞
=
∞
∞
−
Wykładniczy szereg Fouriera
dystrybucji grzebieniowej
Próbkowanie sygnałów
t
nT
( ) (
)
nT
t
nT
x
−
δ
( )
( ) (
)
( )
(
) ( ) ( )
t
t
x
nT
t
t
x
nT
t
nT
x
t
x
T
δ
δ
δ
=
−
=
−
=
∑
∑
∞
∞
−
∞
∞
−
s
Zapis sygnału spróbkowanego za pomocą
dystrybucji grzebieniowej
Transformaty Fouriera funkcji specjalnych
Delta Diraca
( )
{ }
( ) (
)
( )
1
1
exp
↔
=
−
=
∫
∞
∞
−
t
dt
t
j
t
t
δ
ω
δ
δ
F
Sygnał stały
( )
ω
π δ
2
1
↔
Skok jednostkowy
( )
( )
( )
( )
( )
ω
ω
π δ
ω
j
t
j
t
t
t
1
2
sgn
,
sgn
2
1
2
1
+
↔
↔
+
=
1
1
Transformaty Fouriera funkcji specjalnych
Sygnał harmoniczny
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
±
+
↔
−
−
↔
+
↔
0
0
0
0
2
exp
2
exp
2
1
ω
ω
π δ
ω
ω
ω
π δ
ω
ω
π δ
t
j
t
j
(
) (
)
[
]
(
) (
)
[
]
0
0
0
0
0
0
sin
cos
ω
ω
δ
ω
ω
δ
π
ω
ω
ω
δ
ω
ω
δ
π
ω
+
−
−
−
↔
+
+
−
↔
j
t
t
ω
0
ω
ω
−
=
0
ω
ω
+
=
Transformaty Fouriera funkcji specjalnych
Funkcja grzebieniowa Diraca
( )
(
)
T
e
T
nT
t
t
n
t
jn
T
π
ω
δ
δ
ω
2
,
1
0
0
=
=
=
−
=
∑
∑
∞
− ∞
=
∞
∞
−
( )
(
)
∑
∑
∞
− ∞
=
∞
− ∞
=
−
↔
=
n
n
t
jn
T
n
T
e
T
t
0
2
1
0
ω
ω
δ
π
δ
ω
( )
( )
ω
δ
ω
δ
ω
0
0
↔
t
T
Podsumowanie
•Szereg sygnałów, stosowanych w praktyce laboratoryjnej,
nie posiada transformat Fouriera (nie spełniają warunku
Dirichleta).
•Konstrukcja transformat Fouriera dla tej klasy sygnałów
korzysta z definicji delty Diraca (funkcji uogólnionej).
•Delta Diraca przyporządkowuje sygnałowi – w zapisie
całkowym – wartość jego próbki.
•Funkcja grzebieniowa Diraca – ciąg okresowo powtarzanych
impulsów Diraca – umożliwia zapis operacji próbkowania
sygnałów oraz wyznaczenie transformaty Fouriera sygnału
spróbkowanego.