Obliczenia z fizyki II
Lista #01. Magnetyzm
1.
Elektron porusza się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B = 9⋅10
-3
T, po torze spiralnym, o pro-
mieniu R = 1 cm i skoku h = 7.8 cm. Obliczyć częstotliwość (f) wykonywanych obrotów oraz prędkość (υ)
elektronu.
Odp.: 252 MHz; 2.52·10
7
m/s
2.
Dwa nieskończenie długie przewodniki prostoliniowe, w których płyną prądy
o wartości natężenia i
1
= 2 A, i
2
= 3 A, są umieszczone prostopadle względem sie-
bie i znajdują się w płaszczyznach wzajemnie prostopadłych, przy czym odległość
OA = OB = 1 cm, zaś OC = 2 cm (rysunek). Obliczyć wartość indukcji magne-
tycznej w punktach A i B.
Odp.: B
A
= 4.46⋅10
-5
T; B
B
= 1.62B
A
3.
Dwa nieskończenie długie przewodniki, w których płyną prądy o jednakowym
natężeniu, i
1
= i
2
= i = 3 A, są umieszczone równolegle, w odległości r = 13 cm od
siebie. Obliczyć wartość wektora indukcji magnetycznej B i wskazać jego kierunek
w punkcie P. Przyjąć, że r
1
= 5 cm, r
2
= 12 cm.
Odp.: 1.3·10
–5
T
4.
Przewód wygięto w dwa półkola o promieniach R = 1 m i r = 0.5 m. Półkola leżą w
płaszczyznach wzajemnie prostopadłych (rysunek). Obliczyć wartość wektora in-
dukcji magnetycznej w centrum układu (punkt A), jeżeli w przewodniku płynie
prąd i = 1/π A; kierunek prądu wskazują strzałki.
Odp.: 2.23⋅ 10
-7
T
5. Rysunek zamieszczony obok przedstawia kontur wykonany z cienkiego drutu, w
którym płynie prąd o natężeniu i = 10 A. Obliczyć wartość indukcji pola magnetycz-
nego B w punkcie O przyjmując, że wartość parametru geometrycznego konturu
R = 20 cm.
Odp.: 27.1 µT
6. Cienki drut z prądem o natężeniu i posiada płaską konfigurację. Dwa bardzo długie,
prostoliniowe fragmenty, każdy styczny do okręgu o promieniu R, łączy łuk pokry-
wający się z częścią okręgu, jak przedstawiono na rysunku. Obliczyć, dla jakiego ką-
ta α wartość indukcji pola magnetycznego B, wyznaczona w środku okręgu, jest
równa zero.
Odp.: α = 2 rad
7.
Dwa równoległe, długie przewodniki prostoliniowe są w pewnej odległości od siebie. W przewodnikach
płyną prądy o równej wartości i zgodnym kierunku. Obliczyć wartość natężenia prądu w przewodnikach, je-
żeli przy ich rozsunięciu na odległość trzykrotnie większą wykonano pracę – liczoną na jednostkę długości
przewodnika – równą 4.3·10
–5
J/m.
Odp.: 14 A
8. Na rysunku jest przedstawiony nieskończenie długi, prostoliniowy przewodnik, w
którym płynie prąd o natężeniu i
1
= 30 A. W pewnej odległości od przewodnika
znajduje się prostokątna ramka, w której płynie prąd o natężeniu i
2
= 20 A. Obliczyć
wartość i określić kierunek siły wypadkowej działającej na ramkę. Przyjąć następu-
jące parametry geometryczne: a = 10 cm, b = 15 cm, l = 45 cm.
Odp.: F
w
= 3.24·10
–4
N
Obliczenia z fizyki II
Lista #02. Prąd przemienny
1.
Maksymalne napięcie w obwodzie drgającym, składającym się z cewki o indukcyjności L = 5 µH i konden-
satora o pojemności C = 20 nF wynosi U
0
= 120 V. Obliczyć maksymalną wartość strumienia magnetyczne-
go (Φ
max
), jeżeli liczba zwojów cewki N = 30. Założyć, że opór obwodu jest do zaniedbania.
Odp.: 1.26⋅10
-6
Wb
2.
Obwód drgający tworzą: cewka o indukcyjności L = 1.2 mH i kondensator o pojemności C = 0.03 µF. Wy-
znaczyć długość fali elektromagnetycznej wytwarzanej w obwodzie. Opór omowy traktować jako znikomo
mały.
Odp.: 1.13⋅10
4
m
3.
Kondensator o pojemności C = 16 µF oraz opór omowy R = 200 Ω, są włączone szeregowo do sieci prądu
przemiennego o napięciu U = 220 V i częstotliwości f = 50 Hz. Obliczyć: zawadę (impedancję) obwodu, na-
tężenie prądu, przesunięcie fazowe między napięciem i natężeniem prądu w obwodzie oraz spadek napięcia
na kondensatorze i na oporze omowym.
Odp.: 282.1 Ω, 0.779 A, 44
o
51’, 155 V, 155.8 V
4.
Do sieci prądu przemiennego o U = 230 V i f = 50 Hz włączono szeregowo uzwojenie transformatora o in-
dukcyjności L = 5 H, opór omowy R = 100 Ω oraz kondensator, którego pojemność dobrano tak, by w ob-
wodzie wystąpił rezonans. Obliczyć pojemność kondensatora, natężenie prądu płynącego w obwodzie oraz
napięcie na okładkach kondensatora.
Odp.: 2 µF, 3.6 kV
5.
Obwód prądu przemiennego zawiera szeregowo połączone: opór R = 400 Ω, indukcyjność L = 1.3 H i po-
jemność C = 1.6 mF. Do obwodu podłączono napięcie U = 230 V, o częstotliwości f = 50 Hz. Obliczyć natę-
żenie płynącego prądu oraz moc wydzieloną w obwodzie.
Odp.: 403 mA, 65 W
6.
Cewka o oporze czynnym R = 9 Ω i indukcyjności L jest podłączona do obwodu prądu przemiennego o na-
pięciu U = 120 V i częstotliwości f = 50 Hz. Znaleźć indukcyjność cewki, jeżeli pobiera ona moc 400 W,
a przesunięcie fazowe między napięciem i natężeniem prądu wynosi 60
o
.
Odp.: ~50 mH
7.
Naładowany kondensator o pojemności C = 0.5 µF połączono z cewką o indukcyjności L = 5 mH. Obliczyć,
po jakim czasie, od momentu połączenia kondensatora z cewką, energia pola elektrycznego kondensatora
będzie równa energii pola magnetycznego w cewce. Opór omowy cewki zaniedbać.
Odp.: 39.3 µs
Obliczenia z fizyki II
Lista #03. Ruch falowy
z elementami akustyki
1.
Określić długość fal odpowiadających częstotliwościom z przedziału słyszalności ucha ludzkiego: f
1
= 16 Hz
i f
2
= 20 kHz. Prędkość dźwięku w powietrzu przyjąć równą 340 m/s.
Odp.: 21 m, 17 mm
2.
Fala dźwiękowa, biegnąca w powietrzu z prędkością 340 m/s, dociera do obserwatora znajdującego się
w odległości 800 m od źródła dźwięku opóźniona w stosunku do fali biegnącej w wodzie, przy czym różnica
czasowa wynosi 1.8 s. Obliczyć prędkość dźwięku w wodzie.
Odp.: ~1.45 km/s
3.
Prędkość rozchodzenia się dźwięku w nafcie wynosi 1.33 km/s. Obliczyć współczynnik ściśliwości nafty,
jeśli jej gęstość wynosi 0.8 g/cm
3
.
Odp.: 7.1⋅10
-10
m
2
/N
4.
Dwa pociągi jadą naprzeciw siebie, sąsiednimi torami, z prędkościami odpowiednio 72 i 54 km/h. Parowóz
pierwszego z nich daje sygnał (gwizd) o częstotliwości 600 Hz. Obliczyć częstotliwość sygnału, jaki słyszy
pasażer drugiego pociągu, gdy: a) pociągi zbliżają się, b) pociągi oddalają się od siebie. Prędkość dźwięku w
powietrzu przyjąć równą 340 m/s.
Odp.: 666 Hz, 542 Hz
5.
Zanalizować drgania powietrza znajdującego się w rurze o długości l = 0.85 cm. Przyjmując wartość prędko-
ści dźwięku w powietrzu równą 340 m/s, obliczyć tylko te drgania własne słupa powietrza, których często-
tliwości drgań f
i
są mniejsze o pewnej wartości granicznej, równej f
gr
= 650 Hz. Rozważyć dwa wypadki:
a) rura jest zamknięta z jednej strony, b) rura jest otwarta z obu końców. Przedstawić ilustrację graficzną
Odp.: a) 100, 300, 500 Hz; b) 200, 400, 600 Hz
6.
Pręt miedziany, o długości l = 50 cm, jest zamocowany w środku. Moduł Younga dla Cu wynosi
E = 1.18⋅10
11
N/m
2
, zaś gęstość Cu wynosi ρ = 8.6 g/cm
3
. Obliczyć, ile drgań własnych pręta występuje
w przedziale częstotliwości 10 ÷ 20 kHz oraz wyznaczyć wartości tych częstości.
Odp.: 11.1 kHz, 18.5 kHz
7.
W lince wytworzono falę sinusoidalną, rozchodzącą się w dodatnim kierunku osi x. Amplituda fali wynosi
15 cm, długość fali wynosi 40 cm, a częstotliwość f = 8 Hz. Dla warunków początkowych: t = 0 i x = 0, wy-
chylenie wynosi y = 15 cm. Obliczyć liczbę falową k, okres T, częstość kołową ω oraz prędkość rozchodze-
nia się fali υ
f
. Napisać równanie fali y(x, t).
Odp.: 15.7 m
-1
, 0.125 s, 50.3 rad/s, 3.2 m/s, y = 0.15sin(15x – 50.3t + π/2) [m]
8.
Sinusoidalną falę dźwiękową opisuje równanie: s(x,t) = 2 ⋅10
-6
cos(15.7x – 858t), gdzie: s jest wyrażone
w metrach, t - w sekundach.. Obliczyć długość i prędkość rozchodzącej się fali, wychylenie cząstki dla
x = 0.05 m i t = 3 ms oraz amplitudę prędkości cząstek.
Odp.: 0.4 m, 54.6 m/s, –0.433 µm, 1.716 mm/s
9.
Dwie fale biegnące w przeciwnych kierunkach tworzą falę stojącą. Równania fal są następujące:
y
1
= 4 sin(3x – 2t) oraz y
2
= 4 sin(3x + 2t), gdzie x jest wyrażone w cm, t – w sekundach. Obliczyć amplitudę
wychylenia cząstki w położeniu x = 2.3 cm, położenia węzłów oraz położenia strzałek wytworzonej fali sto-
jącej.
Odp.: 4.63 cm, węzły: x = k(π/3) [cm], k = 0, 1, 2, 3,… strzałki: x = k(π/6) [cm], k = 1, 3, 5,…
Obliczenia z fizyki II
Lista #04. Interferencja i dyfrakcja
1.
Światło monochromatyczne, o długości fali 680 nm, pada na przesłonę z dwiema szczelinami i tworzy obraz
interferencyjny na ekranie, odległym od przesłony o L = 1 m. Jasny prążek interferencyjny IV rzędu znajduje
się w odległości 28 mm od prążka centralnego. Obliczyć odległość między szczelinami.
Odp.: 97 µm
2.
W doświadczeniu Younga, na drodze jednego z interferujących promieni, o długości fali 0.6 µm, umieszczo-
no cienką płytkę szklaną (n
s
= 1.50). Wskutek tego pierwszy jasny prążek przesunął się i zajął miejsce
uprzednio zajmowane przez szósty prążek jasny. Obliczyć grubość wstawionej płytki szklanej.
Odp.: 6 µm
3.
Doświadczenie Younga przeprowadzono przy użyciu światła o długości fali 589 nm, modyfikując je przez
wstawienie w bieg jednego z promieni kuwetę o długości 2 cm, wypełnioną chlorem. Obecność chloru spo-
wodowała, że rząd widma zmienił się o 20. Obliczyć współczynnik załamania światła w gazowym chlorze,
jeśli współczynnik załamania światła w powietrzu wynosi n
p
= 1.000276.
Odp.: 1.000865
4.
Wiązka światła monochromatycznego o długości fali 0.6 µm pada pod kątem 30
o
na znajdującą się w powie-
trzu błonę mydlaną (n = 1.30). Obliczyć, przy jakiej najmniejszej grubości błony mydlanej, wskutek interfe-
rencji, promieniowanie odbite będzie a) maksymalnie wygaszone, b) maksymalnie wzmocnione.
Odp.: 0.25 µm, 0.125 µm
5.
Monochromatyczna wiązka światła pada prostopadle na cienką, jednorodna warstwę oleju pokrywającą płyt-
kę szklaną. Jeśli długość fali światła padającego zmieniać w sposób ciągły, to – wskutek interferencji – pro-
mieniowanie odbite jest całkowicie wygaszone dla dwóch długości fali: 485 nm i 679 nm (i żadnej innej
między tymi wartościami). Współczynnik załamania światła w wypadku oleju n
O
= 1.32, a w wypadku szkła
– n
s
= 1.50. Wyznaczyć grubość warstwy oleju.
Odp.: 0.643 µm
6.
Na obrazie dyfrakcyjnym pojedynczej szczeliny, obserwowanym na ekranie oddalonym o 82.3 cm, odległość
między minimami znajdującymi się po lewej i prawej stronie maksimum centralnego, wynosi 5.2 mm. Dłu-
gość falo światła padającego λ = 546 nm. Wyznaczyć szerokość szczeliny.
Odp.: 173 µm
7.
Światło, o długości fali λ = 589 nm, pada a szczelinę o szerokości 1.16 mm. Obraz dyfrakcyjny obserwowa-
ny na ekranie odległym o 2.94 m. Wyznaczyć odległość między pierwszym i drugim minimum dyfrakcyj-
nym (po tej samej stronie maksimum centralnego).
Odp.: 1.49 µm
8.
Promieniowanie lampy rtęciowej pada prostopadle na siatę dyfrakcyjną o szerokości
b = 5 cm. Siatka ma 10
4
rys. Określić kąt między fioletowym (λ
f
= 405 nm) i żółtym
(λ
ż
= 579 nm) promieniem w widmie I rzędu.
Odp.: 2.0
o
9.
W punktach A i B znajdują się spójne źródła fal świetlnych (λ = 600 nm). Obliczyć,
o ile zmieni się różnica dróg optycznych i różnica faz drgań docierających do punktu
O, jeżeli na drodze AO umieścimy cienką płytkę o grubości 1 µm z materiału o współ-
czynniku załamania n = 1.330?
Odp.: 3.3⋅10
–5
cm, 1.1π
Obliczenia z fizyki II
Lista #05. Polaryzacja światła
1.
Wąska wiązka światła monochromatycznego przechodzą c przez płytkę szklaną
o grubości d = 2 cm, ulega przesunięciu o x. Obliczyć wartość przesunięcia, jeśli
kąt padania α = 30
o
, a współczynnik załamania światła w wypadku szkła n
s
= 1.50.
Odp.: 3.9 mm
2.
Wiązka światła monochromatycznego pada prostopadle na ściankę ab szklanego
pryzmatu (n
s
= 1.520). Obliczyć: a) dla jakiej wartości kąta φ wiązka ulegnie cał-
kowitemu wewnętrznemu odbiciu, b) jaka będzie wartość kąta φ, przy którym na-
stąpi całkowite wewnętrzne odbicie po zanurzeniu pryzmatu w wodzie (n
w
=
1.333).
Odp.: 48.9
o
, 28.7
o
3.
Ciecz o współczynniku załamania n
c
= 1.33, znajduje się w szklanym naczyniu,
którego n
s
= 1.46. Pod jakim kątem powinna padać monochromatyczna wiązka
światła naturalnego, by wiązka odbita od szklanego dna była całkowicie liniowo
spolaryzowana? Kierunek padania jest podany na rysunku.
Odp.: 79.9
o
4.
Na powierzchnię oddzielającą szkło od powietrza, od strony szkła, pada wiązka światła białego, pod kątem
granicznym odpowiadającym barwie zielonej. Szkło wykazuje dyspersją normalną (λ, n). Narysować
bieg trzech promieni: fioletowego, zielonego i czerwonego.
5.
Wiązka światła naturalnego o intensywności I
0
, pada na układ trzech polaryzatorów. Pierwszy i trzeci są
skrzyżowane względem siebie, natomiast kierunek polaryzacji środkowego (drugiego) tworzy kąt 45
o
wzglę-
dem kierunków polaryzacji pierwszego i trzeciego polaryzatora. Obliczyć stosunek intensywności wiązki
opuszczającej układ do intensywności I
0
. (Rozważyć również inny kąt niż 45
o
, np. 30
o
/60
o
).
Odp.: 0.125
6.
Dwa polaryzatory zorientowane są tak, że kąt między kierunkami ich polaryzacji wynosi 34
o
. Wiązka światła
spolaryzowanego liniowo pod kątem 17
o
względem każdego polaryzatora przechodzi przez oba polaryzatory.
Obliczyć o ile procent ulegnie wiązka osłabieniu.
Odp.: 37.1 %
7.
Światło częściowo spolaryzowane składa się ze światła naturalnego (niespolaryzowanego) oraz światła o
polaryzacji liniowej. W celu określenia stosunku intensywności tych składowych, I
np
/I
p
, wiązkę skierowano
na polaryzator. Polaryzator obrócono tak, by uzyskać największą intensywność światła opuszczającego pola-
ryzator (I
1
= I
max
). Następnie polaryzator obrócono o kąt α = 60
o
względem położenia odpowiadającego I
max
,
przy czym uzyskana intensywność (I
2
) była dwukrotnie mniejsza niż I
max
. Obliczyć stosunek I
np
/I
p
. O jaki kąt
należy obrócić polaryzator od położenia odpowiadającego I
max
,
aby uzyskać minimalną intensywność
I
3
= I
min
? Obliczyć I
1
/ I
3
.
Odp.: 1; 90
o
, 3
Obliczenia z fizyki II
Lista #06. Efekty kwantowe
1.
Maksymalna zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego (CDC) przypada na długość fali 4840 Å. Obliczyć,
jaką ilość energii promieniuje to ciało z powierzchni 1 cm
2
, w ciągu 1 minuty.
Odp.: 438.5 J
2.
Włókno żarówki promieniuje jako ciało doskonale czarne (CDC) o temperaturze równej 2400 K. Obliczyć,
ile fotonów będzie emitowanych z 1 cm
2
powierzchni włókna w ciągu 1 s, jeżeli przyjąć, że średnia energia
kwantu promieniowania wynosi 2.75 kT (k - stała Boltzmanna, k = 1.38⋅10
–23
J/K).
Odp.: 2.1⋅10
21
3.
Temperatura początkowa T
1
ciała doskonale czarnego wzrosła o 80%, przy czym długość fali, na którą przy-
pada maksimum spektralnej zdolności emisyjnej uległa przesunięciu o ∆λ = 600 nm. Obliczyć temperaturę
końcową T
2
.
Odp.: 3867 K
4.
‘Czerwona granica’ zjawiska fotoelektrycznego dla pewnego metalu wynosi λ
gr
= 275 nm. Obliczyć pracę
wyjścia elektronu z metalu ( zarówno w J, jak i w eV) oraz maksymalną prędkość elektronów wybijanych z
tego metalu przez promieniowanie o długości fali λ = 180 nm.
Odp.: 7.23⋅10
–19
J, 4.52 eV, 9.2⋅10
5
m/s
5.
Określić najmniejszą różnicę potencjałów potrzebną do zahamowania emisji z katody (Sb-K-Na), jeżeli jej
powierzchnia jest oświetlona promieniowaniem o długości fali λ = 402 nm, a czerwona granica zjawiska fo-
toelektrycznego dla tego typu katody wynosi 670 nm. Obliczyć, jaka część energii padającego fotonu jest
zużyta na pracę wyjścia.
Odp.: 1.24 V, 60%
6.
Powierzchnię pewnego metalu oświetlono promieniowaniem o długości fali 350 nm; przy określonym po-
tencjale hamującym fotoprąd jest równy zero. Przy zmianie długości fali o 50 nm potencjał hamujący należa-
ło zwiększyć o 0.59 V. Obliczyć wartość ładunku elektronu przyjmując znaną wartość stałej Plancka i war-
tość prędkości światła.
Odp.: 1.6⋅10
–19
C
7.
Przy 1.5-krotnym zwiększeniu napięcia podawanego na lampę rentgenowską długość fali ‘niebieskiej grani-
cy’ ciągłego widma rentgenowskiego przesunęła się o ∆λ = 0.26 Ǻ. Obliczyć wartość początkową napięcia
przyłożonego do lampy.
Odp.: 15.9 kV
8.
Monochromatyczna wiązka promieniowania rentgenowskiego o λ = 0.125 nm, pada
na kryształ NaCl, pod kątem 45
o
. Odległość między płaszczyznami krystalograficz-
nymi wynosi d = 0.252 nm. Obliczyć, o jaki kąt należy obrócić kryształ (obrót wokół
osi prostopadłej do rysunku), aby otrzymać wiązkę ugiętą odpowiadającą rodzinie
płaszczyzn (prawo Bragga). Zaniedbać możliwość niezerowego natężenia niektórych
wiązek.
Odp.: 30.6
o
i 15.3
o
(zgodnie z ruchem wskazówek zegara) oraz 3.1
o
i 37.8
o
(przeciwnie do
ruchu wskazówek zegara)
Obliczenia z fizyki II
Lista #07. Fale materii,
Zasada nieoznaczoności
1.
Foton promieniowania X ulega rozproszeniu Comptona zderzając się ze słabo związanym elektronem i prze-
kazuje mu 10% swojej energii. Rozproszenie następuje pod katem θ = 60
o
. Obliczyć długość fali fotonu roz-
proszonego, pęd fotonu padającego, energię elektronu odrzutu (w J i w eV), oraz kąt miedzy padającym fo-
tonem i elektronem odrzutu. Przedstawić graficznie zasadę zachowania pędu dla rozpatrywanego tu rozpro-
szenia fotonu.
Odp.: 0.121 Å, 6.13⋅10
–23
kgm/s, 1.82⋅10
–15
J (11.4 keV), 55
o
2.
Foton promieniowania rentgenowskiego o długości fali 0.708 Å jest rozproszony przez grafit pod kątem θ =
90
o
(zjawisko Comptona). Wyznaczyć kąt między padającym fotonem i elektronem odrzutu. Obliczyć, jaką
część swojej energii foton przekazał elektronowi.
Odp.: 44.0, 3,3%
3.
Obliczyć energię kinetyczną następujących cząstek, jeśli odpowiada im fala de Broglie’a równa 1 Å: elek-
tron, cząsteczkai tlenu O
2
oraz cząstka, której promień wynosi 0.1 µm, a gęstość wynosi 2 g/cm
3
.
Odp.: 151 eV, 2.6 MeV, 1.6⋅10
–11
eV
4.
Równoległa wiązka elektronów pada prostopadle na diafragmę o wąskiej, prostokątnej szczelinie, której
szerokość wynosi a = 0.1 mm. Zjawisko dyfrakcji jest obserwowane na ekranie umieszczonym w odległości
L = 0.5 m od diafragmy. Szerokość centralnego maksimum dyfrakcyjnego wynosi 8 µm. Obliczyć prędkość
padających elektronów.
Odp.: 9.1⋅10
5
m/s
5.
Z jaką dokładnością można określić położenie elektronu o energii 1.50 keV, jeżeli energia znana jest z do-
kładnością 1%?
Odp.: 1.0 nm
6.
Wzbudzony atom emituje foton w czasie 0.01 µs. Długość fali emitowanego promieniowania jest równa 600
nm. Określić dokładność, z jaką może być wyznaczona energia oraz długość fali fotonu.
Odp.: 6.6⋅10
–8
eV, 1.9⋅10
–5
nm
7.
Oko ludzkie dostrzega światło o długości fali 500 nm, jeżeli promienie niosą energię nie mniejszą niż
20.8⋅10
–18
J na sekundę. Jaka ilość kwantów światła pada wtedy, w ciągu sekundy, na siatkówkę oka?
Odp.: 53
8.
Ile fotonów znajduje się w mm
3
wiązki światła monochromatycznego o długości fali 488 nm? Moc promie-
niowania jest równa 20 W, a przekrój poprzeczny wiązki jest równy 1 cm
2
.
Odp.: 1.63⋅10
6