Rodzaje drgań na przykładzie układu 

o jednym stopniu swobody

Układ o jednym stopniu swobody

k

C

m

S

pt

 sin

o

m

k

S

pt

 sin

C

o

Schemat układu
o jednym stopniu swobody

Przykład układu
o jednym stopniu swobody

Zestawienie sił w układzie
o jednym stopniu swobody z harmoniczn

ą

 

sił

ą

 wymuszaj

ą

c

ą

m

S

pt

 sin

o

S

pt

 sin

B

y

o

K

C

Siły działaj

ą

ce na układ:

harmoniczna siła wymuszaj

ą

ca -

siła spr

ęż

ysto

ś

ci (sztywno

ść

belki przeciwstawiaj

ą

ca si

ę

ruchowi) -

siła tłumienia (tłumienie wiskotyczne materiałowo-konstrukcyjne) –

siła bezwładno

ś

ci -

pt

S

o

sin

ky

K

=

y

c

C

&

=

y

m

B

&

&

=

Równanie ruchu układu
o jednym stopniu swobody

S

pt

 sin

y

o

tłumienie

Siła wymuszająca 

B

K

C

pt

S

ky

y

c

y

m

o

sin

=

+

+

&

&

&

siła bezwładności

tłumienie

sztywność

Siła wymuszająca 
(zmienna w czasie)

Zestawienie rodzajów drga

ń

0

=

+

ky

y

m

&

&

Drgania własne

Drgania swobodne (drgania tłumione)

0

=

+

+

ky

y

c

y

m

&

&

&

pt

S

ky

y

m

o

sin

=

+

&

&

pt

S

ky

y

c

y

m

o

sin

=

+

+

&

&

&

Drgania wymuszone nie tłumione

Drgania wymuszone tłumione

Rozwi

ą

zywanie równa

ń

 ró

ż

niczkowych 

liniowych drugiego rz

ę

du

pt

S

ky

y

c

y

m

o

sin

=

+

+

&

&

&

Równanie

( )

=

gdzie: 

( )

t

y

y

=

gdzie: 

Rozwi

ą

zanie jest sum

ą

 dwóch równa

ń

 

p

o

y

y

y

+

=

gdzie: 

y

ο

– całka ogólna, 

y

p

– całka szczególna 

Wyznaczanie całki ogólnej

pt

S

ky

y

c

y

m

o

sin

=

+

+

&

&

&

Całka ogólna dla równania

to rozwi

ą

zanie równania  

W celu rozwi

ą

zania tego równania wykonuje si

ę

 

podstawienie

dla którego

0

=

+

+

ky

y

c

y

m

&

&

&

rt

e

y

=

rt

re

y

=

&

rt

e

r

y

2

=

&

&

Wyznaczanie całki ogólnej

Podstawienie

do równania  

0

=

+

+

ky

y

c

y

m

&

&

&

rt

e

y

=

rt

re

y

=

&

rt

e

r

y

2

=

&

&

daje nam zale

ż

no

ść

0

=

+

+

ky

y

c

y

m

&

&

&

0

2

=

+

+

rt

rt

rt

ke

cre

e

mr

Po podzieleniu równania przez 

e

rt

otrzymujemy równanie 

kwadratowe ze zmienn

ą

 

r

0

2

=

+

+

k

cr

mr

Wyznaczanie całki ogólnej

Rozwi

ą

zanie zale

ż

y od parametru 

∆

, który jest równy

0

2

=

+

+

k

cr

mr

Rozwi

ą

zywane równanie kwadratowe:

lub po podstawieniu

mk

c

4

2

−

=

∆

m

k

=

2

ω

2

2

2

4

ω

m

c

−

=

∆

Liczba rozwi

ą

za

ń

 zale

ż

y czy 

∆ 

jest mniejsza, wi

ę

ksza 

lub równa 0. 

Wyznaczanie całki ogólnej

Przypadek 1
dwa rzeczywiste rozwi

ą

zania

r

1

i 

r

2

równania kwadratowego 

0

2

=

+

+

k

cr

mr

Rozwi

ą

zywane równanie kwadratowe i parametr 

∆ 

:

2

2

2

4

ω

m

c

−

=

∆

0

>

∆

dwa rzeczywiste rozwi

ą

zania

r

1

i 

r

2

równania kwadratowego 

a całka ogólna jest zapisana wzorem 

Przypadek 2
pierwiastek podwójny

r=r

1

=r

2  

a całka ogólna jest zapisana wzorem 

Przypadek 3
dwa zespolone rozwi

ą

zania                          i

a całka ogólna jest zapisana wzorem 

t

r

t

r

e

C

e

C

y

2

1

2

1

+

=

0

=

∆

(

)

rt

e

C

x

C

y

2

1

+

=

0

<

∆

i

r

β

α

+

=

1

i

r

β

α

−

=

2

( )

( )

(

)

t

C

t

C

e

y

t

β

β

α

sin

cos

2

1

+

=

Drgania własne

0

=

+

ky

y

m

&

&

Rozwi

ą

zanie równania drga

ń

 własnych 

jest całk

ą

 ogóln

ą

 równania, opisuj

ą

cego drgania wymuszone

nie tłumione czyli

pt

S

ky

y

m

o

sin

=

+

&

&

nie tłumione czyli

Równanie drga

ń

 własnych po wykonaniu podstawienia 

y(t)=e

rt 

ma form

ę

lub                           po podstawieniu

czyli 

0

2

=

+

k

mr

0

2

2

=

+

ω

r

m

k

=

2

ω

2

4

ω

−

=

∆

Drgania własne

0

=

+

ky

y

m

&

&

Rozwi

ą

zanie równania drga

ń

 własnych 

lub po podstawieniu

ma rozwi

ą

zanie z

czyli z dwoma pierwiastkami zespolonymi

0

4

2

<

−

=

ω

∆

0

2

2

=

+

ω

r

czyli z dwoma pierwiastkami zespolonymi

a

b

r

2

1

∆

+

−

=

ω

ω

ω

i

i

r

=

=

−

=

2

4

2

4

2

2

2

1

a

b

r

2

2

∆

−

−

=

ω

ω

ω

i

i

r

−

=

−

=

−

−

=

2

4

2

4

2

2

2

2

i

r

β

α

+

=

1

i

r

β

α

−

=

2

ω

β

α

=

=

0

( )

( )

(

)

t

C

t

C

e

y

t

β

β

α

sin

cos

2

1

+

=

( )

( )

t

C

t

C

y

ω

ω

sin

cos

2

1

+

=

Rozwi

ą

zanie ma posta

ć

a po podstawieniu 

α

i 

β

otrzymujemy

Drgania własne – wyznaczenie stałych

0

=

+

ky

y

m

&

&

Rozwi

ą

zanie równania drga

ń

 własnych 

( )

( )

t

C

t

C

y

ω

ω

sin

cos

2

1

+

=

ma form

ę

z niewiadomymi, które wyznaczamy na podstawie 
warunków pocz

ą

tkowych czyli dla czasu 

t

=0. 

Zakładamy, 

ż

e dla 

t

=0 

przesuni

ę

cie masy 

y=

0, gdzie 

a pr

ę

dko

ść

 masy (wymuszon

ą

),           gdzie

V

y

=

&

( )

( )

t

C

t

C

y

ω

ω

sin

cos

2

1

+

=

( )

( )

t

C

t

C

y

ω

ω

ω

ω

cos

sin

2

1

+

−

=

&

Drgania własne – wyznaczenie stałych

Zakładamy, 

ż

e dla 

t

=0 

przesuni

ę

cie masy 

y=

0, gdzie

czyli

( )

( )

t

C

t

C

y

ω

ω

sin

cos

2

1

+

=

( )

( )

0

sin

0

cos

0

2

1

⋅

+

⋅

=

ω

ω

C

C

0

1

0

2

1

⋅

+

⋅

=

C

C

0

=

C

a pr

ę

dko

ść

 masy (wymuszon

ą

),           gdzie

Czyli

Rozwi

ą

zanie 

V

y

=

&

( )

( )

t

C

t

C

y

ω

ω

ω

ω

cos

sin

2

1

+

−

=

&

0

1

=

C

( )

( )

0

cos

0

sin

2

1

⋅

+

⋅

−

=

ω

ω

ω

ω

C

C

V

1

0

2

1

⋅

+

⋅

−

=

ω

ω

C

C

V

ω

V

C

=

2

( )

( )

( )

( )

t

A

t

V

t

V

t

y

o

ω

ω

ω

ω

ω

ω

sin

sin

sin

cos

0

=

=

+

=

Drgania własne

Rozwi

ą

zanie równania drga

ń

 własnych 

( )

( )

t

C

t

C

y

ω

ω

sin

cos

2

1

+

=

0

=

+

ky

y

m

&

&

ma form

ę

( )

( )

t

C

t

C

y

ω

ω

sin

cos

2

1

+

=

A po uwzgl

ę

dnieniu warunków pocz

ą

tkowych:

( )

t

A

y

o

o

ω

sin

=

gdzie:

ω

– cz

ę

sto

ść

drga

ń

własnych,

A

o

– amplituda drga

ń

własnych zale

ż

na

od warunków pocz

ą

tkowych

Drgania swobodne układu 

Drgania swobodne s

ą

 to drgania układu rzeczywistego 

z tłumieniem jakie mo

ż

na obserwowa

ć

 po wst

ę

pnym 

wymuszeniu ruchu, a nast

ę

pnie pozostawieniu konstrukcji 

bez dodatkowych obci

ąż

e

ń

 zmiennych. 

0

=

+

+

ky

y

c

y

m

&

&

&

pt

S

ky

y

c

y

m

o

sin

=

+

+

&

&

&

Rozwi

ą

zanie równania

drga

ń

 swobodnych 

jest całk

ą

 ogóln

ą

 równania,

opisuj

ą

cego drgania

wymuszone
tłumione czyli

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

-20.00

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

35.00

40.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

Drgania swobodne układu 

Rozwi

ą

zanie równania drga

ń

 swobodnych, otrzymujemy 

na podstawie równania  

0

2

=

+

+

k

cr

mr

rt

e

y

=

które uzyskujemy po podstawieniu wzoru:

rt

e

y

=

Rozwi

ą

zanie równania zale

ż

y od parametru równania 

kwadratowego:

2

2

2

4

ω

m

c

−

=

∆

Drgania swobodne układu 

Analiz

ę

 problemu wykonuje si

ę

 dla równania w prostszej

formie, któr

ą

 uzyskuje si

ę

 po podzieleniu obu stron 

równania przez m

m

k

cr

mr

/

0

2

=

+

+

m

k

cr

mr

/

0

2

=

+

+

czyli

Delta równania kwadratowego wynosi:

0

2

2

2

=

+

+

ω

γ

r

r

2

2

4

4

ω

γ

−

=

∆

i przybiera prostsz

ą

 form

ę

gdzie:

ω

– cz

ę

sto

ść

 drga

ń

 własnych,

γ

– współczynnik tłumienia. 

Drgania swobodne układu 

Rozwi

ą

zanie równania drga

ń

 swobodnych zale

ż

y od 

wzajemnej relacji 

ω

i 

γ

czyli mamy trzy przypadki:

Przypadek 1 - Du

ż

e tłumienie 

γ

>

ω

czyli 

0

>

∆

Przypadek 2 -Tłumienie krytyczne  

czyli

0

=

∆

ω

γ

=

Przypadek 3 - Małe tłumienie 

γ

<

ω

czyli 

0

<

∆

Sytuacja najcz

ęś

ciej spotykana w konstrukcjach

Drgania swobodne układu
Przypadek 1 

- Du

ż

e tłumienie 

γ

>

ω

0

>

∆

Pierwiastki równania kwadratowego

2

2

ω

γ

γ

−

−

−

=

r

0

2

2

2

=

+

+

ω

γ

r

r

2

2

2

ω

γ

−

=

∆

2

2

1

ω

γ

γ

−

−

−

=

r

2

2

2

ω

γ

γ

−

+

−

=

r

Rozwi

ą

zanie równania ró

ż

niczkowego:

0

2

2

=

+

+

y

y

y

ω

γ

&

&

&

t

r

t

r

e

C

e

C

y

2

1

2

1

+

=

Drgania swobodne układu
Przypadek 1 

- Wyznaczenie stałych

Warunki pocz

ą

tkowe: 

t=0

, 

y=y

o

, 

Równanie ruchu (rozwi

ą

zanie równania) 

o

v

v

y

=

=

&

Równanie pr

ę

dko

ś

ci po zró

ż

niczkowaniu równania ruchu 

wzgl

ę

dem czasu

t

r

t

r

e

C

e

C

y

2

1

2

1

+

=

2

1

C

C

y

o

+

=

i po uwzgl

ę

dnieniu warunków pocz

ą

tkowych

t

r

t

r

e

r

C

e

r

C

y

2

1

2

2

1

1

+

=

&

2

2

1

1

r

C

r

C

v

o

+

=

i po uwzgl

ę

dnieniu warunków pocz

ą

tkowych

Drgania swobodne układu
Przypadek 1 

- Wyznaczenie stałych

2

1

C

C

y

o

+

=

2

2

1

1

r

C

r

C

v

o

+

=

Stałe wyznaczamy z układu równa

ń

:

2

2

1

ω

γ

γ

−

−

−

=

r

2

2

2

ω

γ

γ

−

+

−

=

r

gdzie:

2

2

1

1

r

C

r

C

v

o

+

=

2

2

2

2

0

1

2

ω

γ

ω

γ

γ

−

−

−

−

+

=

y

y

v

C

o

o

2

2

2

2

2

2

ω

γ

ω

γ

γ

−

−

+

+

=

o

o

o

y

y

v

C

2

ω

γ

γ

−

+

−

=

r

i s

ą

 one opisane wzorami:

Drgania swobodne układu
Przypadek 1 

- Przykład

m

S

pt

 sin

o

Dane: 

Pocz

ą

tkowe wychylenie 

y

o

=0.05m,

Pocz

ą

tkowa pr

ę

dko

ść

v

o

=10m/s,

Tłumienie układu 

γ

=2 rad/s,

Cz

ę

sto

ść

 drga

ń

 własnych układu

ω

= 1 rad/s.

Drgania swobodne układu
Przypadek 1 

- Przykład

Dane: 
Pocz

ą

tkowe wychylenie 

y

o

=0.05m,

Pocz

ą

tkowa pr

ę

dko

ść

v

o

=10m/s,

Tłumienie układu 

γ

=2 rad/s,

Cz

ę

sto

ść

 drga

ń

 własnych układu

ω

= 1 rad/s

.

Szukamy wielko

ś

ci z równania:

[

]

rad/s

73205

.

3

3

2

1

−

=

−

−

=

r

[

]

rad/s

26795

.

0

3

2

2

−

=

+

−

=

r

t

r

t

r

e

C

e

C

y

2

1

2

1

+

=

2

2

1

ω

γ

γ

−

−

−

=

r

2

2

2

ω

γ

γ

−

+

−

=

r

Drgania swobodne układu
Przypadek 1 

- Przykład

Dane: 
Pocz

ą

tkowe wychylenie 

y

o

=0.05m,

Pocz

ą

tkowa pr

ę

dko

ść

v

o

=10m/s,

Tłumienie układu 

γ

=2 rad/s,

Cz

ę

sto

ść

 drga

ń

 własnych układu

ω

= 1 rad/s

.

Szukamy wielko

ś

ci z równania:

t

r

t

r

e

C

e

C

y

2

1

2

1

+

=

2

2

ω

γ

γ

−

−

+

y

y

v

m

264

.

0

rad/s

1

2

2

rad/s

1

2

m

05

.

0

rad/s

2

m

05

.

0

m/s

10

2

2

2

2

1

−

=

−

−

−

−

⋅

+

=

C

m

941

.

2

rad/s

1

2

2

rad/s

1

2

m

05

.

0

rad/s

2

m

05

.

0

m/s

10

2

2

2

2

2

=

−

−

+

⋅

+

=

C

2

2

2

2

0

1

2

ω

γ

ω

γ

γ

−

−

−

−

+

=

y

y

v

C

o

o

2

2

2

2

2

2

ω

γ

ω

γ

γ

−

−

+

+

=

o

o

o

y

y

v

C

Drgania swobodne układu
Przypadek 1 

- Przykład

Dane: 
Pocz

ą

tkowe wychylenie 

y

o

=0.05m,

Pocz

ą

tkowa pr

ę

dko

ść

v

o

=10m/s,

Tłumienie układu 

γ

=2 rad/s,

Cz

ę

sto

ść

 drga

ń

 

własnych układu

ω

= 1 rad/s

.

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

Wykres zmian przemieszczenia

w czasie. Ruch jest nie drgaj

ą

cy

i zanikaj

ą

cy w czasie.

Rozwi

ą

zanie:

t

t

e

e

y

rad/s

26795

.

0

rad/s

73205

.

3

2.941m

m

264

.

0

−

−

⋅

+

⋅

−

=

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t [s]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

y 

[m

]

Drgania swobodne układu
Przypadek 2 

- Tłumienie krytyczne 

γ

=

ω

0

=

∆

Pierwiastki równania kwadratowego

γ

−

=

=

=

r

r

r

0

2

2

2

=

+

+

ω

γ

r

r

0

=

∆

γ

−

=

=

=

2

1

r

r

r

Rozwi

ą

zanie równania ró

ż

niczkowego:

0

2

2

=

+

+

y

y

y

ω

γ

&

&

&

(

)

(

)

t

rt

e

C

t

C

e

C

t

C

y

γ

2

1

2

1

+

=

+

=

Drgania swobodne układu
Przypadek 2 

- Tłumienie krytyczne 

γ

=

ω

Warunki pocz

ą

tkowe: 

t=0

, 

y=y

o

, 

Równanie ruchu (rozwi

ą

zanie równania) 

o

v

v

y

=

=

&

, 

(

)

t

e

C

t

C

y

γ

2

1

+

=

Równanie pr

ę

dko

ś

ci po zró

ż

niczkowaniu równania ruchu 

wzgl

ę

dem czasu

i po uwzgl

ę

dnieniu warunków pocz

ą

tkowych

i po uwzgl

ę

dnieniu warunków pocz

ą

tkowych

, 

2

C

y

o

=

γ

2

1

C

C

v

o

+

=

(

)

t

t

re

C

e

t

C

y

γ

γ

γ

2

1

1

+

+

=

&

Drgania swobodne układu
Przypadek 2 

- Wyznaczenie stałych

Stałe wyznaczamy z układu równa

ń

:

2

C

y

o

=

γ

C

C

v

+

=

(

)

t

e

C

t

C

y

γ

2

1

+

=

gdzie:

γ

2

1

C

C

v

o

+

=

γ

−

=

r

o

y

C

=

2

γ

o

o

y

v

C

−

=

1

i s

ą

 one opisane wzorami:

Drgania swobodne układu
Przypadek 2 

- Przykład

m

S

pt

 sin

o

Dane: 

Pocz

ą

tkowe wychylenie 

y

o

=0.05m,

Pocz

ą

tkowa pr

ę

dko

ść

v

o

=10m/s,

Tłumienie układu 

γ

=1 rad/s,

Cz

ę

sto

ść

 drga

ń

 własnych układu

ω

= 1 rad/s.

Drgania swobodne układu
Przypadek 2 

- Przykład

Dane: 
Pocz

ą

tkowe wychylenie 

y

o

=0.05m,

Pocz

ą

tkowa pr

ę

dko

ść

v

o

=10m/s,

Tłumienie układu 

γ

=1 rad/s,

Cz

ę

sto

ść

 drga

ń

 własnych układu

ω

= 1 rad/s

.

(

)

rt

+

=

Szukamy wielko

ś

ci z równania:

(

)

rt

e

C

t

C

y

2

1

+

=

γ

−

=

r

o

y

C

=

2

γ

o

o

y

v

C

−

=

1

rad/s

1

−

=

r

C

1

=9.95m/s

C

2

=0.05m

Drgania swobodne układu
Przypadek 2 

- Przykład

Dane: 
Pocz

ą

tkowe wychylenie 

y

o

=0.05m,

Pocz

ą

tkowa pr

ę

dko

ść

v

o

=10m/s,

Tłumienie układu 

γ

=1 rad/s,

Cz

ę

sto

ść

 drga

ń

 

własnych układu

ω

= 1 rad/s

.

Wykres zmian przemieszczenia

w czasie. Ruch jest nie drgaj

ą

cy

i zanikaj

ą

cy w czasie.

3

3.5

4

Rozwi

ą

zanie:

(

)

t

e

t

y

rad/s

1

m

05

.

0

m/s

95

.

9

−

+

⋅

=

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t [s]

0

0.5

1

1.5

2

2.5

y 

[m

]

Drgania swobodne układu
Przypadek 3 

- Małe tłumienie 

γ

<

ω

0

<

∆

Urojone pierwiastki równania kwadratowego

2

2

ω

γ

γ

−

−

−

=

i

r

0

2

2

2

=

+

+

ω

γ

r

r

2

2

2

ω

γ

−

=

∆

i

i

r

β

α

−

=

, 

2

2

1

ω

γ

γ

−

−

−

=

i

r

2

2

2

ω

γ

γ

−

+

−

=

i

r

Rozwi

ą

zanie równania ró

ż

niczkowego:

0

2

2

=

+

+

y

y

y

ω

γ

&

&

&

( )

( )

(

)

t

C

t

C

e

y

t

β

β

α

sin

cos

2

1

+

=

gdzie:

i

r

β

α

+

=

1

i

r

β

α

−

=

2

, 

γ

α

−

=

1

2

2

ω

γ

ω

β

=

−

=

ω

1

– cz

ę

sto

ść

 drga

ń

 swobodnych

Drgania swobodne układu
Przypadek 3 

- Wyznaczenie stałych

Warunki pocz

ą

tkowe: 

t=0

, 

y=y

o

, 

Równanie ruchu (rozwi

ą

zanie równania) 

o

v

v

y

=

=

&

i po uwzgl

ę

dnieniu warunków pocz

ą

tkowych

( )

( )

(

)

t

C

t

C

e

y

t

β

β

α

sin

cos

2

1

+

=

C

y

=

Równanie pr

ę

dko

ś

ci po zró

ż

niczkowaniu równania ruchu 

wzgl

ę

dem czasu

i po uwzgl

ę

dnieniu warunków pocz

ą

tkowych

i po uwzgl

ę

dnieniu warunków pocz

ą

tkowych

1

C

y

o

=

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

t

C

t

C

e

t

C

t

C

e

y

t

t

β

β

β

β

β

β

α

α

α

cos

sin

sin

cos

2

1

2

1

+

−

+

+

=

&

2

2

2

1

γ

ω

γ

−

+

−

=

C

C

v

o

Drgania swobodne układu
Przypadek 3 

- Wyznaczenie stałych

Stałe wyznaczamy z układu równa

ń

:

1

C

y

o

=

2

2

γ

ω

γ

−

+

−

=

C

C

v

, , 

( )

( )

(

)

t

C

t

C

e

y

t

β

β

α

sin

cos

2

1

+

=

i s

ą

 one opisane wzorami:

2

2

2

1

γ

ω

γ

−

+

−

=

C

C

v

o

o

y

C

=

1

2

2

2

γ

ω

γ

−

+

=

o

o

y

v

C

Drgania swobodne układu
Przypadek 3 

-

Zmiana formy zapisu równania ruchu

Parametry drga

ń

 swobodnych z małym tłumieniem:

( )

t

C

e

y

t

x

β

α

cos

1

1

=

( )

t

C

e

y

t

β

α

sin

=

Składowa rzeczywista:

( )

t

C

e

y

t

x

β

α

sin

2

2

=

Składowa urojona:

Pocz

ą

tkowa amplituda drga

ń

:

2

2

2

1

C

C

A

o

+

=

Faza drga

ń

:

2

1

arctan

C

C

o

=

ϕ

Równanie ruchu

(

)

o

t

o

t

e

A

y

ϕ

ω

α

+

=

1

sin

Drgania swobodne układu
Przypadek 3 

- Przykład

m

S

pt

 sin

o

Dane: 

Pocz

ą

tkowe wychylenie 

y

o

=0.05m,

Pocz

ą

tkowa pr

ę

dko

ść

v

o

=10m/s,

Tłumienie układu 

γ

=0.5 rad/s,

Cz

ę

sto

ść

 drga

ń

 własnych układu

ω

= 1 rad/s.

Drgania swobodne układu
Przypadek 3 

- Przykład

Dane: 
Pocz

ą

tkowe wychylenie 

y

o

=0.05m,

Pocz

ą

tkowa pr

ę

dko

ść

v

o

=10m/s,

Tłumienie układu 

γ

=0.5 rad/s,

Cz

ę

sto

ść

 drga

ń

 własnych układu

ω

= 1 rad/s

.

Szukamy wielko

ś

ci z równania:

( )

( )

(

)

t

C

t

C

e

y

t

β

β

α

sin

cos

+

=

( )

( )

(

)

t

C

t

C

e

y

t

β

β

α

sin

cos

2

1

+

=

γ

α

−

=

1

2

2

ω

γ

ω

β

=

−

=

o

y

C

=

1

2

2

2

γ

ω

γ

−

+

=

o

o

y

v

C

rad/s

5

.

0

−

=

α

[

]

rad/s

866

.

0

5

.

0

2

1

2

2

=

=

−

=

ω

β

C

1

=0.05m

C

2

=11.5758 m

Drgania swobodne układu
Przypadek 3 

- Przykład

Dane: 
Pocz

ą

tkowe wychylenie 

y

o

=0.05m,

Pocz

ą

tkowa pr

ę

dko

ść

v

o

=10m/s,

Tłumienie układu 

γ

=0.5 rad/s,

Cz

ę

sto

ść

 drga

ń

 własnych układu

ω

= 1 rad/s

.

2

2

2

1

C

C

A

o

+

=

00432

.

0

arctan

2

1

=

=

C

C

ϕ

Parametry drga

ń

 swobodnych z małym tłumieniem:

A

o

=11.5759m

4

5

6

m

]

Drgania swobodne układu
Przypadek 3 

- Przykład

Dane: 
Pocz

ą

tkowe wychylenie 

y

o

=0.05m,

Pocz

ą

tkowa pr

ę

dko

ść

v

o

=10m/s,

Tłumienie układu 

γ

=0.5 rad/s,

Cz

ę

sto

ść

 drga

ń

 

własnych układu

ω

= 1 rad/s

.

Wykres zmian przemieszczenia

w czasie. Ruch drgaj

ą

cy

i zanikaj

ą

cy w czasie.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t [s]

0

1

2

3

y 

[m

Rozwi

ą

zanie:

(

)

(

)

(

)

t

t

e

y

t

rad/s

866

.

0

sin

m

5758

.

11

rad/s

866

.

0

cos

m

05

.

0

rad/s

5

.

0

+

=

−

(

)

00432

.

0

rad/s

866

.

0

sin

m

5759

.

11

rad/s

5

.

0

+

⋅

⋅

=

⋅

−

t

e

y

t

10

11

12

13

14

15

Drgania swobodne układu
Przypadek 3 

- Parametry tłumienia

γ

– współczynnik tłumienia

Na podstawie stosunku amplitud wyznacza si

ę

0

=

+

+

ky

y

c

y

m

&

&

&

c

– współczynnik proporcjonalno

ś

ci tłumienia do pr

ę

dko

ś

ci

0

2

=

+

+

ky

y

y

m

&

&

&

γ

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t [s]

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y 

[m

]

A

o

A

1

A

2

Równanie krzywej przerywanej

t

o

e

A

y

γ

−

=

Na podstawie stosunku amplitud wyznacza si

ę

logarytmiczny dekrement tłumienia 

(

)

1

1

)

(

ln

T

T

t

y

t

y

γ

=

+

=

∆

1

1

ln

T

A

A

n

n

γ

=

=

∆

−

lub

T

1

– okres swobodnych drga

ń

 tłumionych 

Drgania wymuszone

pt

S

ky

y

m

o

sin

=

+

&

&

Drgania wymuszone nie tłumione

Drgania wymuszone tłumione

pt

S

ky

y

c

y

m

o

sin

=

+

+

&

&

&

Drgania wymuszone tłumione

Rozwi

ą

zanie (suma całki ogólnej i szczególnej)

p

o

y

y

y

+

=

Wyznaczenie całki szczególnej

Rozwi

ą

zanie równania ró

ż

niczkowego

Całka szczególna, przyj

ę

ta jest na podstawie zało

ż

enia, 

ż

e 

pt

S

ky

y

m

o

sin

=

+

&

&

Całka szczególna, przyj

ę

ta jest na podstawie zało

ż

enia, 

ż

e 

zmiana przesuni

ę

cia w czasie musi mie

ć

 podobn

ą

 form

ę

 do

zmian w czasie funkcji wymuszaj

ą

cej czyli prognozowane 

rozwi

ą

zanie ma form

ę

a jej pochodne

( )

( )

pt

A

pt

A

y

p

cos

sin

2

1

+

=

( )

( )

pt

p

A

pt

p

A

y

p

sin

cos

2

1

−

=

&

( )

( )

pt

p

A

pt

p

A

y

p

cos

sin

2

2

2

1

−

−

=

&

&

Wyznaczenie całki szczególnej

Rozwi

ą

zanie równania ró

ż

niczkowego

Po podstawieniu równa

ń

 z prognozowanym rozwi

ą

zaniem 

mamy

pt

S

ky

y

m

o

sin

=

+

&

&

mamy

( )

( )

( )

( )

pt

S

pt

kA

pt

kA

pt

p

mA

pt

p

mA

o

sin

cos

sin

cos

sin

2

1

2

2

2

1

=

=

+

+

−

−

Wyrazy po lewej i prawej stronie równania musz

ą

 mie

ć

 te same 

współczynniki czyli

a po podstawieniu

o

S

kA

p

mA

=

+

−

1

2

1

0

2

2

2

=

+

−

kA

p

mA

m

k

=

2

ω

(

)

m

S

p

A

o

=

−

2

2

1

ω

(

)

0

2

2

2

=

−

p

A

ω

Drgania wymuszone nie tłumione

Rozwi

ą

zanie równania ró

ż

niczkowego

jest równanie

gdzie

pt

S

ky

y

m

o

sin

=

+

&

&

( )

( )

pt

A

pt

A

y

p

cos

sin

2

1

+

=

(

)

m

S

p

A

o

=

−

2

2

1

ω

(

)

0

2

2

2

=

−

p

A

ω

1

S

A

o

=

Całka szczególna, przyj

ę

ta na podstawie zało

ż

enia, 

ż

e 

zmiana przesuni

ę

cia w czasie musi mie

ć

 podobn

ą

 form

ę

 do

zmian w czasie funkcji wymuszaj

ą

cej i ostatecznie ma form

ę

gdzie:

(

)

2

2

1

p

m

S

A

o

p

−

=

ω

( )

pt

A

y

p

p

sin

=

0

2

=

A

(

)

2

2

1

1

p

m

S

A

o

−

=

ω

Drgania wymuszone nie tłumione

Równanie ró

ż

niczkowe

pt

S

ky

y

m

o

sin

=

+

&

&

Całka ogólna, która jest rozwi

ą

zaniem równania

0

=

+

ky

y

m

&

&

Rozwi

ą

zanie, które jest sum

ą

 całki ogólnej i szczególnej

( )

( )

t

A

pt

A

y

o

p

ω

sin

sin

+

=

( )

t

A

y

o

o

ω

sin

=

ma form

ę

Całka szczególna

0

=

+

ky

y

m

&

&

( )

pt

A

y

p

p

sin

=

Drgania wymuszone tłumione

Rozwi

ą

zanie równania ró

ż

niczkowego

Całka szczególna

pt

S

ky

y

c

y

m

o

sin

=

+

+

&

&

&

Całka szczególna

gdzie:

(

)

2

2

2

2

2

4

1

p

p

m

S

A

o

p

γ

ω

+

−

=

(

)

ϕ

−

=

pt

A

y

p

p

sin

2

2

2

arctan

p

p

−

=

ω

γ

ϕ

Drgania wymuszone tłumione

Równanie ró

ż

niczkowe

pt

S

ky

y

c

y

m

o

sin

=

+

+

&

&

&

(

)

(

)

ϕ

ϕ

ω

γ

−

+

+

=

−

pt

A

t

e

A

y

p

o

t

o

sin

sin

1

Rozwi

ą

zanie, które jest sum

ą

 całek ogólnej i szczególnej

Współczynnik dynamiczny

Współczynnik dynamiczny jest to stosunek: 

amplitudy drga

ń

 wywołanych sił

ą

 zmienn

ą

 w czasie 

z amplitud

ą

 siły S

o

z amplitud

ą

 siły S

o

do 

przemieszczenia statycznego wywołanego sił

ą

  S

o

-

y

st

Współczynnik dynamiczny drga

ń

 

wymuszonych nie tłumionych

(

)

1

S

A

o

=

Amplituda drga

ń

 wymuszonych nie tłumionych

(

)

2

2

1

p

m

S

A

o

p

−

=

ω

k

S

y

o

st

=

Przemieszczenie punktu konstrukcji o sztywno

ś

ci 

k

Współczynnik dynamiczny drga

ń

 

wymuszonych nie tłumionych

1

S

2

ω

m

S

y

o

st

=

Z definicji cz

ę

sto

ś

ci drga

ń

 własnych wynika:

2

ω

m

k

=

czyli

(

)

2

2

1

p

m

S

A

o

p

−

=

ω

ω

m

(

)

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1













−

=

−

=

−

=

ω

ω

ω

ω

ω

β

p

p

m

S

p

m

S

o

o

st

p

y

A

=

β

Współczynnik dynamiczny drga

ń

 

wymuszonych tłumionych

Amplituda drga

ń

 wymuszonych tłumionych

(

)

1

S

A

o

p

=

k

S

y

o

st

=

Przemieszczenie punktu konstrukcji o sztywno

ś

ci 

k

(

)

2

2

2

2

2

4

p

p

m

A

p

γ

ω

+

−

=

2

ω

m

S

y

o

st

=

Współczynnik dynamiczny drga

ń

 

wymuszonych tłumionych

st

p

y

A

=

β

(

)

2

2

2

2

2

2

1

4

1

ω

γ

ω

β

m

S

p

p

m

S

o

o

+

−

=

2

ω

m

2

2

2

2

4

1

1













+



























−

=

ω

γ

ω

β

p

p

Rezonans drga

ń

 

Współczynnik dynamiczny 
dla drga

ń

 wymuszonych tłumionych

2

1

=

β

Je

ż

eli                   , to 

p

→

ω

2

2

2

2

4

1













+



























−

=

ω

γ

ω

β

p

p

γ

β

2

1

=

Rezonans drga

ń

 

2

1

1













−

=

ω

β

p

Współczynnik dynamiczny 
dla drga

ń

 wymuszonych nie tłumionych

Je

ż

eli                   , to 

p

→

ω

∞

→

β





ω

Je

ż

eli                   , to 

∞

→

β

W przypadku wymuszania drga

ń

 z cz

ę

sto

ś

ci

ą

 zbli

ż

on

ą

 do 

cz

ę

sto

ś

ci drga

ń

 własnych nast

ę

puje znacz

ą

cy wzrost 

amplitudy drga

ń

. W przypadku braku tłumienia amplituda d

ąż

y 

do niesko

ń

czono

ś

ci.

Rezonans drga

ń

 

µ 

- amplituda

ω

γ

=

b

Z. Dyląg i in., Mechanika budowli.

ω

Koniec

Koniec