CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH
1. Jeśli licznik ma wyższy stopień niż mianownik dzielimy licznik przez mianownik.
2. Rozkładamy mianownik na czynniki jak najniższego stopnia (pierwszego i drugiego - gdy ∆ < 0).
3. Rozkładamy funkcję wymierną na ułamki proste.
4. Szukamy całek poszczególnych ułamków prostych.
Przykłady
1.
∫
2
3x
− 2
dx =
{
t
=
3x
− 2
dt
=
3dx/ : 3
1
3
dt
=
dx
}
=
2
3
∫
dt
t
=
2
3
ln
|t|+c =
2
3
ln
|3x−2|+c
2.
∫
2
(3x
− 2)
4
dx =
{
t
=
3x
− 2
dt
=
3dx/ : 3
1
3
dt
=
dx
}
=
2
3
∫
dt
t
4
=
2
3
∫
t
−4
dt =
2
3
·
1
−4 + 1
t
−4+1
+c =
2
3
·
1
−3
t
−3
+c =
−
2
9
(3x
−2)
−3
+c
3.
∫
dx
x
2
+ 5
=
∫
dx
5(
x
2
5
+ 1)
=
1
5
∫
dx
(
x
√
5
)
2
+ 1
=
t
=
x
√
5
dt
=
1
√
5
dx/
·
√
5
√
5dt
=
dx
=
√
5
5
∫
dt
t
2
+ 1
=
√
5
5
arctg t+c =
√
5
5
arctg
x
√
5
+c
4.
∫
4x
− 1
x
2
− 2x + 2
dx
(x
2
− 2x + 2)
′
= 2x
− 2, szukamy więc liczb α i β takich, że:
4x
−1
x
2
−2x+2
= α
2x
−2
x
2
−2x+2
+ β
1
x
2
−2x+2
{
2α = 4
−2α + β = −1
{
α = 2
β = 3
∫
4x
− 1
x
2
− 2x + 2
dx = 2
∫
2x
− 2
x
2
− 2x + 2
dx
|
{z
}
⋆
+3
∫
1
x
2
− 2x + 2
dx
|
{z
}
⋆⋆
= 2 ln
|x
2
−2x+2|+3arctg (x−1)+c
⋆
∫
2x
−2
x
2
−2x+2
dx =
{ całka logarytmiczna } = ln |x
2
− 2x + 2| + c
⋆⋆
∫
dx
x
2
− 2x + 2
=
∆ = 4
− 4 · 2 = −4
p =
−b
2a
= 1
q =
−∆
4a
= 1
x
2
− 2x + 2 = (x − 1)
2
+ 1
=
∫
dx
(x
− 1)
2
+ 1
=
{
t
=
x
− 1
dt
=
dx
}
=
∫
dt
t
2
+ 1
=
= arctg t+c = arctg (x
−1)+c
5.
∫
x
3
+ 2x
2
− x + 1
x
2
− 1
dx =
(1)
∫ (
x+2+
3
x
2
− 1
)
dx =
(2)
∫ (
x+2+
3
2
x
− 1
+
−
3
2
x + 1
)
dx =
1
2
x
2
+2x+
3
2
ln
|x − 1|−
3
2
ln
|x + 1|+c
(1) Ponieważ stopień licznika jest wyższy od stopnia mianownika, to musimy wykonać dzielenie wielomianów.
(2) Rozkładamy funkcję wymierną na ułamki proste.
3
x
2
−1
=
3
(x
−1)(x+1)
=
A
x
−1
+
B
x+1
=
Ax+A+Bx
−B
(x
−1)(x+1)
=
(A+B)x+A
−B
(x
−1)(x+1)
{
A + B = 0
A
− B = 3
{
A =
3
2
B =
−
3
2
Zadania
1.
∫
1
x
−2
dx =
2.
∫
2
3x
−1
dx =
3.
∫
2
(5x+1)
2
dx =
4.
∫
2
(2
−x)
4
dx =
5.
∫
1
4x
2
+1
dx =
6.
∫
2
x
2
+9
dx =
7.
∫
3
5x
2
+8
dx =
8.
∫
3x+1
x
2
+3
dx =
9.
∫
x
−1
2x
2
+1
dx =
10.
∫
dx
x
2
+6x+18
=
11.
∫
3dx
x
2
−x+8
=
12.
∫
dx
4x
2
+4x+9
=
13.
∫
2
5
2
x
2
−x+1dx
=
14.
∫
4x+10
x
2
+4x+5
dx =
15.
∫
x+2
x
2
−6x+13
dx =
16.
∫
3x
−2
x
2
+8x+20
dx =
17.
∫
x+4
x
2
−x−2
dx =
18.
∫
x
x
2
+x+1
dx =
19.
∫
5x+13
x
3
+3x
2
+7x+5
dx =
20.
∫
4x
2
+10x+14
x
3
+3x
2
+7x+5
dx =
21.
∫
2x
2
+6x+7
2x
3
+5x
2
−x−6
dx =
22.
∫
x
4
x
2
−1
dx =
23.
∫
2x
4
−3x
3
+3x
2
−5x+1
x
3
−2x
2
+x
−2
dx =
24.
∫
1
x
4
−16
dx =
25.
∫
x+3
(x
−1)
3
dx =
26.
∫
x+1
(x+2)
5
dx =
27.
∫
3x
3
+5x
2
−7x+3
x
4
+2x
3
+2x
2
+2x+1
dx =
28.
∫
3x
2
−9x+7
x
3
−5x
2
+8x
−4
dx =
29.
∫
dx
(x
2
+2x+1)(x
2
+1)
=
30.
∫
dx
x
2
(x
2
−x+1)
=
31.
∫
2x
3
−6x
2
+8x
−4
x
4
+x
2
dx =
32.(
∗)
∫
dx
(x
2
+1)
2
=
mgr Dorota Grott CNM PG