L.Kowalski – zadania z macierzy - Zestaw 1
1
Zadanie 1
a) Niech
−
−
=
1
2
2
0
1
0
1
2
A
−
−
=
0
1
1
0
2
2
0
3
B
−
=
0
2
2
1
3
0
1
4
C
Wyznacz macierz
A
T
+ 2B - C
T
.
b) Wyznacz macierz X wiedząc, że
`
( )
−
=
0
6
6
3
3
T
X
(odp. a)
−
−
−
−
1
2
6
0
4
6
1
4
, b)
−
=
0
2
2
1
X
)
Zadanie 2
Zapisz w prostszej postaci:
( )
T
T
AB
(
)
T
T
T
B
A
A
+
+
,
(
)
(
)
T
T
T
C
B
A
+
,
( )
(
)
T
T
C
AB
+
,
(
)(
)
(
)
T
T
T
A
A
A
A
−
+
Zadanie 3
a)
Dla macierzy A =
−
−
2
3
2
1
0
1
i B =
1
3
0
1
2
1
wyznacz iloczyny A
⋅
B i B
⋅
A,
b)
Niech A =
−
−
1
2
0
1
,
B =
−
1
3
1
0
, wyznacz A
⋅
B , B
⋅
A , (A
⋅
B)
T
i B
T
⋅
A
T
c)
Wyznacz macierz X jeśli
[
] [
]
−
=
−
−
⋅
−
3
1
0
0
2
1
3
2
2
1
1
1
0
T
T
X
(odp. a) A
⋅
B =
−
−
2
1
1
2
, B
⋅
A =
−
−
−
5
3
5
1
0
1
5
6
5
;
b) A
⋅
B =
−
3
3
1
0
, B
⋅
A =
−
−
−
−
1
5
1
2
; (A
⋅
B)
T
=
−
3
1
3
0
, B
T
⋅
A
T
=
−
3
1
3
0
;
c)
−
=
3
2
X
)
Zauważ, że mnożenie macierzy nie jest przemienne.
L.Kowalski – zadania z macierzy - Zestaw 1
2
Zauważ, że spełniona jest własność (A
⋅
B)
T
= B
T
⋅
A
T
Zadanie 4
Sprawdzić, że następujące zbiory macierzy
a)
∈
>
−
R
b
a
b
a
a
b
b
a
,
,
0
,
:
,
b)
∈
−
R
α
α
α
α
α
:
cos
sin
sin
cos
z działaniem mnożenia macierzy są grupami abelowymi.
Zadanie 5
Uzasadnić, że dla macierzy kwadratowych zachodzi własność
tr(AB) = tr(BA)
Zadanie 6
Oblicz AB i BA jeśli A =
−
−
8
7
6
2
5
4
2
3
2
,
a)
B =
1
0
0
0
0
0
0
1
a
,
b)
B =
1
0
0
1
0
0
0
1
b
,
c)
B =
0
0
0
1
0
0
0
0
0
,
(odp. a) AB =
−
−
8
7
6
2
5
4
2
3
2
a
a
a
,
BA =
−
−
8
7
6
2
5
4
2
3
2
a
a
a
,
b) AB =
+
−
+
−
8
7
7
6
2
5
5
4
2
3
3
2
b
b
b
,
BA =
−
+
+
−
−
8
7
6
8
2
7
5
6
4
2
3
2
b
b
b
,
c) AB =
7
0
0
5
0
0
3
0
0
, BA =
−
0
0
0
8
7
6
0
0
0
)
Zadanie 7
a)
Sprawdź, że wynikiem mnożenia AB, gdzie
=
44
43
42
41
34
33
32
31
24
23
22
21
14
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
,
=
0
1
0
0
B
jest macierz równa trzeciej kolumnie macierzy A.
Jaka powinna być macierz B, aby w ten sposób otrzymać drugą kolumnę macierzy A?
b)
Sprawdź, że wynikiem mnożenia BA, gdzie
L.Kowalski – zadania z macierzy - Zestaw 1
3
[
]
0
0
0
1
=
B
,
=
44
43
42
41
34
33
32
31
24
23
22
21
14
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
jest macierz równa pierwszemu wierszowi macierzy A.
Jaka powinna być macierz B, aby w ten sposób otrzymać czwarty wiersz macierzy A?
(odp. a)
=
0
0
1
0
B
, b)
[
]
1
0
0
0
=
B
)
Zadanie 8
a)
Sprawdź, że wynikiem mnożenia BA, gdzie
=
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
B
,
=
44
43
42
41
34
33
32
31
24
23
22
21
14
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
jest macierz otrzymana z macierzy A przez przestawienie drugiego i czwartego wiersza.
Zauważ, że macierz B jest macierzą permutacji.
Jaka powinna być macierz B, aby w ten sposób otrzymać przestawienie pierwszego i drugiego wiersza
macierzy A?
b)
Sprawdź, że wynikiem mnożenia BA, gdzie
=
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
c
B
,
=
44
43
42
41
34
33
32
31
24
23
22
21
14
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
jest macierz otrzymana z macierzy A przez pomnożenie jej trzeciego wiersza przez liczbę c.
Jaka powinna być macierz B, aby w ten sposób otrzymać pomnożenie czwartego wiersza macierzy A
przez 5?
c)
Sprawdź, że wynikiem mnożenia BA, gdzie
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
c
B
,
=
44
43
42
41
34
33
32
31
24
23
22
21
14
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
jest macierz otrzymana z macierzy A przez dodanie do jej trzeciego wiersza, pierwszego wiersza
pomnożonego przez liczbę c.
Jaka powinna być macierz B, aby w ten sposób otrzymać dodanie do czwartego wiersza, drugiego
wiersza pomnożonego przez 7?
Zauważ, ze iloczyny a), b), c) odpowiadają elementarnym operacjom na wierszach macierzy A.
L.Kowalski – zadania z macierzy - Zestaw 1
4
(odp. a)
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
B
,
b)
=
5
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
B
,
c)
=
1
0
7
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
B
)
Zadanie 9
Oblicz,
a)
3
0
0
0
1
0
0
0
1
0
, b)
n
a
a
a
0
0
1
0
0
1
, c)
n
−
3
0
0
0
2
0
0
1
2
(odp. a) 0, b)
−
−
−
−
n
n
n
n
n
n
a
na
a
a
n
n
na
a
0
0
0
2
)
1
(
1
2
1
,
c)
−
−
n
n
n
n
n
)
3
(
0
0
0
2
0
0
2
2
1
)
Zadanie 10
Oblicz
5
2
)
(
2
+
−
=
x
x
A
f
jeśli A =
−
1
2
3
4
,
(
−
−
2
6
9
7
)
Zadanie 11
Oblicz wyznaczniki macierzy:
A =
−
3
1
1
2
, B =
1
0
0
3
2
1
3
2
1
,
C =
−
−
−
0
2
1
0
0
3
0
1
2
0
0
0
1
0
2
1
, D =
−
−
1
0
0
0
0
3
0
0
2
0
1
0
1
0
2
2
,
(odp. detA = 7, detB = 0, detC = -2, detD = -6)
L.Kowalski – zadania z macierzy - Zestaw 1
5
Zadanie 12
Oblicz wyznaczniki macierzy:
A =
−
16
9
4
8
9
4
3
2
3
1
1
1
1
7
1
0
0
0
5
4
0
0
0
3
2
,
B =
−
−
−
−
4
3
0
0
0
0
5
4
0
0
0
0
0
0
0
0
6
3
0
0
5
2
0
0
0
0
2
3
0
0
0
0
0
0
5
1
,
(odp. detA = -4, detB = -99)
Zadanie 13
Sprawdź, że
( )
n
T
T
A
B
BA
4
)
4
det(
1
=
−
, dla dowolnych nieosobliwych macierzy stopnia n.
Zadanie 14
Rozwiąż równanie:
0
4
0
12
3
1
2
4
3
=
+
−
−
x
x
(odp. -10, 2)
Zadanie 15
Wyznacz (jeżeli istnieje) macierz odwrotną do macierzy:
a)
1
2
0
0
4
1
3
2
1
;
b)
−
−
−
3
3
3
2
2
2
1
1
1
;
c)
−
−
0
1
1
2
0
0
1
1
1
; d)
−
−
−
−
−
−
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
; e)
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
.
(odp. a)
−
−
−
25
,
0
25
,
0
25
,
0
375
,
0
125
,
0
125
,
0
5
,
1
5
,
0
5
,
0
,
b)
6
1
4
1
0
6
1
0
2
1
0
4
1
2
1
, c)
−
0
5
,
0
0
5
,
0
25
,
0
5
,
0
5
,
0
25
,
0
5
,
0
,
L.Kowalski – zadania z macierzy - Zestaw 1
6
d)
−
−
−
−
−
−
25
,
0
25
,
0
251
,
0
25
,
0
25
,
0
25
,
0
25
,
0
25
,
0
25
,
0
25
,
0
25
,
0
25
,
0
25
,
0
25
,
0
25
,
0
25
,
0
,
e)
−
−
−
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
)
Zadanie 16
Wyznacz (stosując jedną i drugą metodę) macierz odwrotną do macierzy:
A =
−
−
3
2
2
1
,
B =
1
1
0
2
3
1
0
0
2
,
I =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
.
(odp. A
-1
=
−
−
1
2
2
3
, B
-1
=
−
−
−
3
1
5
,
0
2
1
5
,
0
0
0
5
,
0
, I
-1
= I)
Zadanie 17
Wyznacz macierz X jeśli
a)
−
=
⋅
1
0
1
1
1
0
2
3
1
0
0
2
X
b)
[
]
1
0
2
1
1
0
2
3
1
0
0
2
−
=
⋅
⋅
X
c)
−
=
⋅
2
0
0
1
1
0
1
1
0
2
3
1
0
0
2
X
d)
−
=
⋅
⋅
1
2
0
1
1
1
1
1
0
2
3
1
0
0
2
X
e)
−
−
=
−
−
⋅
⋅
1
3
4
2
3
5
2
3
2
3
1
2
X
f)
=
⋅
⋅
1
0
0
0
6
0
2
5
0
1
1
0
X
g)
T
T
X
−
=
⋅
⋅
−
4
3
2
1
1
0
0
1
4
3
2
1
4
3
2
1
1
h)
=
−
5
4
3
2
2
5
1
2
1
0
2
3
X
i)
=
−
0
2
4
1
3
2
1
0
1
5
4
1
4
3
1
X
j)
=
−
0
2
4
1
3
2
1
0
1
5
4
1
4
3
1
X
k)
−
−
=
−
−
−
−
12
4
6
2
6
2
3
1
2
2
1
1
X
L.Kowalski – zadania z macierzy - Zestaw 1
7
l)
T
T
T
I
X
−
+
−
−
=
⋅
−
−
−
⋅
−
−
−
0
1
2
1
3
0
3
1
2
2
3
5
1
2
1
1
0
2
3
0
0
1
1
0
2
2
2
(odp. a)
−
=
5
,
2
5
,
1
5
,
0
X
, b)
[
]
3
1
5
,
0
−
−
=
⋅
X
,
c)
−
−
=
5
,
6
1
5
,
4
1
5
,
0
0
X
d)
−
−
−
−
=
⋅
1
1
5
,
0
5
2
5
,
0
X
,
e)
−
−
=
18
34
13
24
X
, f)
=
0
0
6
1
0
X
, g)
−
−
−
−
=
7
6
4
2
X
, l)
−
−
=
18
30
10
18
X
)
Zadanie 18
Znaleźć rząd macierzy:
a)
1
1
1
1
7
2
1
2
4
3
2
1
;
b)
0
0
1
1
1
1
0
0
0
4
3
2
; c)
2
1
5
4
3
3
2
2
;
d)
−
−
1
1
0
3
0
1
2
0
0
2
0
0
, e)
−
0
0
1
0
2
3
1
0
,
f)
−
−
1
0
1
1
2
2
0
1
0
1
1
0
2
0
0
g)
2
1
0
3
1
2
;
h)
[
]
7
2
;
i)
[
]
0
0
; j)
−
−
−
−
−
−
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(odp. a) 3, b) 3, c) 2, d) 2, e) 2, f) 3, g) 2, h) 1, i) 0, j) 4)
Zadanie 19
Znaleźć rząd macierzy:
a)
−
−
1
4
5
2
3
1
1
0
1
;
b)
−
4
0
3
5
7
0
5
1
4
0
3
2
;
c)
−
−
−
−
−
−
−
3
0
2
1
1
1
3
3
2
1
5
4
3
0
2
1
(odp. a) 2, b) 3, c) 2)
Zadanie 20
Wyznacz rząd macierzy
=
c
c
A
1
1
w zależności od parametru c.
(odp. rA = 1, gdy c = 1 lub c = -1, rA = 2, dla pozostałych c)
L.Kowalski – zadania z macierzy - Zestaw 1
8
Zadanie 21
Znaleźć macierz permutacji
a)
1
2
3
4
4
3
2
1
, b)
2
4
1
3
4
3
2
1
.
(odp. a)
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
, b)
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
)
Zadanie 22
Sprawdź przez indukcję, że
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
2
,
1
1
2
)
1
(
1
2
,
1
1
,
1
33
32
31
23
22
21
1
13
12
11
...
)
1
(
0
0
0
0
0
0
0
⋅
⋅
⋅
−
=
−
−
−
−
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
Zadanie 23
Ile powinien wynosić wyznacznik macierzy A spełniającej równanie
0
2
=
−
T
A
A
.
(odp. 0 lub 1)
Zadanie 24
Oblicz
a)
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
0
det
, b)
0
0
0
0
5
0
0
0
4
1
0
0
3
1
1
0
2
1
1
1
1
1
1
1
1
det
(odp. a)1, b) 5!)
Zadanie 25
Dla macierzy:
A =
−
−
1
2
0
1
,
B =
−
1
3
1
0
sprawdź, że det(AB) = detAdetB=det(BA), chociaż
BA
AB
≠
Zadanie 26
Oblicz A
T
A i AA
T
gdy
a) A = [1 2 3]
T
,
b) A = [1 -2 3 -4],
Zadanie 27
Oblicz X
T
AX gdy
A =
4
3
3
2
,
X = [x, y]
T
,
L.Kowalski
, 15.03.2010