Dr inż. Mariusz Trojnar  

Obwody i Sygnały 2  

Wykład nr 6,7  

 

1

 

CZWÓRNIKI PASYWNE 

 

3.1.  Okre

ś

lenie i wła

ś

ciwo

ś

ci n-wrotnika  

 

 
Metody  badania  obwodu  elektrycznego  można  podzielić  na  metody  sieciowe  i  metody  zaciskowe. 
Metody sieciowe charakteryzują się tym, że dana jest pełna struktura obwodu i parametry elementów, 
a  poszukujemy  rozpływu  prądów  w  obwodzie  oraz  rozkładu  napięć  na  poszczególnych  elementach. 
W metodach  zaciskowych  obwód  traktowany  jest  jako  dwójnik,  czwórnik  lub  ogólniej  obwód  
o n-parach zacisków (n-wrotnik). Przy badaniu obwodu metodami zaciskowymi określa się zależności 
pomiędzy  wielkościami  związanymi  z  zaciskami  obwodu  bez  wnikania  w  strukturę  wewnętrzną. 
Wielkości zaciskowe pozwalają na badanie własności rozpatrywanego obwodu. 
 
Część  obwodu  elektrycznego  scharakteryzowana  przez  parametry  konieczne  i  dostateczne  do 
sformułowania  związków  między  napięciem  i  prądami  na  zaciskach  tego  obwodu  nazywamy 
wielobiegunnikiem. 

 

 

Rys. 3.1. Wielobiegunnik o n zaciskach [1] 

 
W  ogólnym  przypadku  wielobiegunnik  jest  scharakteryzowany  przez  n  zacisków  (przy 

2

≥

n

) 

(rys. 3.1) 
 
Jako  przykład  wielobiegunników  można  wymienić  transformator  (zwłaszcza  wielouzwojeniowy), 
wzmacniacz, tranzystor, linię przesyłową wielotorową itp. 
Jeśli  zaciski  wielobiegunnika  tworzą  pary  uporządkowane,  przy  czym  można  wyróżnić  n-par  takich 
zacisków, to wielobiegunnik nazywamy n-wrotnikiem. 
W  szczególnym  przypadku,  gdy  wszystkie  pary  mają  jeden  wspólny  zacisk,  n-wrotnik  nazywamy 
niezrównoważonym lub uziemionym. 

 

 

Rys. 3.2. Schemat ogólny n-wrotnika [1] 

Rys. 3.3. Schemat n-wrotnika niezrównoważonego [1] 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

Obwody i Sygnały 2  

Wykład nr 6,7  

 

2

Model  matematyczny  n-wrotnika  wyraża  związki  między  n  wymiarowym  wektorem  napięć  u  na 
zaciskach n-wrotnika i n wymiarowym wektorem prądów i związanych z poszczególnymi zaciskami. 
Często  wektor  napięć  traktujemy  jako  wektor  wymuszeń,  a  wektor  prądów  jako  wektor  odpowiedzi. 
W ogólnym przypadku związek pomiędzy wymuszeniem x a odpowiedzią y wyrażamy zależnością 

 

 

x

y

⋅

=

N

 

 

(3.1) 

 

przy  czym:  N  -  pewien  operator;  y  -  wektor  odpowiedzi;  x  -  wektor  wymuszeń  (zarówno 
napięciowych jak i prądowych). 
Przy badaniu n-wrotnika, sygnały związane z jego wrotami mogą być wyrażone w postaci czasowej, 
w postaci zespolonej lub w postaci operatorowej. Opis operatorowy jest najbardziej ogólny i pozwala 
na badanie n-wrotnika w warunkach dynamicznych (w stanach nieustalonych). 
 

Podstawowe własno

ś

ci wielobiegunnika 

 

•

 

Liniowość 

 

Wielobiegunnik N nazywamy liniowym jeśli spełnia własności: 

 

a) addytywności: 

 

N

∈

+

)

,

(

)

,

(

2

2

1

1

y

x

y

x

  

dla wszystkich 

N

∈

)

,

(

),

,

(

2

2

1

1

y

x

y

x

 

 

Jeśli 

1

y

 jest odpowiedzią układu na wymuszenie 

1

x

, a 

2

y

 

jest odpowiedzią układu na wymuszenie 

2

x

, to 

2

1

y

y

+

 jest odpowiedzią na wymuszenie 

2

1

x

x

+

. 

 

b) jednorodności 

 

N

a

∈

)

,

(

y

x

    

 

dla wszystkich 

N

∈

)

,

(

y

x

 

 

Jeśli 

y

 jest odpowiedzią układu na wymuszenie 

x

, to 

y

a

 jest odpowiedzią na wymuszenie 

x

a

  

(

a

 - stała rzeczywista). 

 

•

 

Stacjonarność 

 

Wielobiegunnik  N  nazywamy  stacjonarnym  jeśli  przy  dowolnej,  rzeczywistej  wartości 

τ

  spełniona 

jest zależność 

 

[

] [

]

)

(

),

(

)

(

),

(

τ

τ

τ

τ

+

+

=

t

t

t

t

y

x

y

x

  

dla wszystkich 

N

∈

)

,

( y

x

 oraz 

N

τ

τ

∈

)

,

(

y

x

 

 

Wielobiegunnik N jest stacjonarny, jeśli jego parametry są niezależne od czasu. 

 

•

 

Pasywność 

 

Wielobiegunnik  N  nazywamy  pasywnym  jeśli  dla  dowolnej  chwili 

t

  energia  doprowadzona  do 

wielobiegunnika jest nieujemna. (wewnątrz nie zawiera źródeł napięcia ani prądu) 

 

0

)

(

)

(

≥

=

∫

∞

−

τ

τ

d

p

t

W

t

  

  

 

•

 

Wzajemność (odwracalność) 

 

Wielobiegunnik N nazywamy wzajemnym (odwracalnym) jeśli.  

 

)

(

*

)

(

)

(

*

)

(

1

2

2

1

t

t

t

t

t

t

y

x

y

x

=

   dla wszystkich 

N

∈

)

,

(

),

,

(

2

2

1

1

y

x

y

x

  

 

Wielobiegunnik, który spełnia zasadę wzajemności nazywamy wzajemnym lub odwracalnym. 
 

Twierdzenie o wzajemności (oczkowe): jeżeli w obwodzie liniowym rozgałęzionym, jedyne 
ź

ródło napięcia znajdujące się w gałęzi k-tej wywołuje w gałęzi l-tej tego obwodu prąd I, 

to po przeniesieniu tego źródła do gałęzi l-tej w gałęzi k-tej popłynie również prąd I. 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

Obwody i Sygnały 2  

Wykład nr 6,7  

 

3

 

 

3.2.  Podstawowe poj

ę

cia dotycz

ą

ce czwórników  

 
Czwórnik jest szczególnym przypadkiem n-wrotnika, o n=2. Jest zatem elementem czterozaciskowym 
mającym  dwie  pary  uporządkowanych  zacisków  zwanych  wrotami;  jedną  parę  zacisków  nazywamy 
wejściem,  a  drugą  parę  wyjściem  czwórnika.  Czwórniki  pobierają  energię  przez  zaciski  wejściowe 
(pierwotne),  a  oddają  ją  przez  zaciski  wyjściowe  (wtórne).  Wobec  tego  czwórniki  służą  do 
przekazywania energii, przy czym przepływ energii odbywa się w kierunku od zacisków wejściowych 
do  zacisków  wyjściowych.  Przykładem  czwórników  są  np.  dwuprzewodowe  linie  przesyłowe  (dwa 
zaciski  na  początku  linii  i  dwa  zaciski  na  jej  końcu)  albo  transformatory  (dwa  zaciski  uzwojenia 
pierwotnego i dwa zaciski uzwojenia wtórnego).  
Schemat ogólny czwórnika ma postać prostokąta z wyprowadzonymi dwiema parami zacisków. Prąd 
i napięcie wrót wejściowych oznaczamy indeksem „1”, a wrót wyjściowych indeksem „2”. 

I

1

 

I

2

 

U

1

 

U

2

 

Wejście 

Wyjście 

1 

1’ 

2 

2’ 

I

1

’ 

I

2

’ 

 

Rys. 3.4. Schemat ogólny czwórnika (prądy zwrócone do prostokąta) 

 
Ze  względu  na  to,  że  czwórniki  pobierają  energię  przez  zaciski  wejściowe,  prądy  w  przewodach 
połączonych  z  tymi  zaciskami  są  jednakowe.  Biorąc  pod  uwagę,  że  czwórnik  oddaje  energię  przez 
zaciski wyjściowe, otrzymujemy równość prądów w przewodach połączonych z tymi zaciskami.  
W  odniesieniu  do  wejścia  i  wyjścia  czwórnika  musi  być  spełniony  następujący  warunek  równości 
prądów: 

 

 

'

1

1

I

I

=

     oraz     

'

2

2

I

I

=

 

 

(3.2) 

 

 

Czwórniki  dzielimy  na 

liniowe  (składające  się  z  elementów  liniowych)  i  nieliniowe,  stacjonarne 

(o parametrach niezależnych od czasu) i 

niestacjonarne, symetryczne (jeśli przy zamianie miejscami 

wejścia i wyjścia, nie zmieni się rozpływ prądów i rozkład napięć w obwodzie poza czwórnikiem) i 
niesymetryczne, odwracalne (spełniające zasadę wzajemności)

 

i 

nieodwracalne, pasywne (wszystkie 

gałęzie  połączeń  w  czwórniku  są  pasywne  albo  gałęzie  aktywne  występujące  w  połączeniach 
wewnętrznych wzajemnie się kompensują) i 

aktywne. 

 

Teoria  czwórników  umożliwia  badanie  ich  własności  zaciskowych  na  podstawie  ogólnych  równań 
algebraicznych  wiążących  prądy  i  napięcia  na  wejściu  i  wyjściu  czwórnika.  Badanie tych własności 
dokonuje się bez konieczności wnikania do wnętrza czwórnika. 
 

 

3.3.  Równania czwórników  

 
Równania  czwórnika  określają  związki  pomiędzy  prądami  i  napięciami  na  wejściu  i  wyjściu 
czwórnika.  W  przypadku  rozważania  czwórników  liniowych  do  rozwiązywania  zagadnień  można 
stosować  metody  rozwiązywania  obwodów,  a  więc  metodę  klasyczną,  metodę  oczkową,  węzłową, 
zasadę  superpozycji,  twierdzenie  o  zastępczym  źródle  napięcia  i  zastępczym  źródle  prądu,  metodę 
transfiguracji  obwodu  itp.  Napięcia  i  prądy  na  zaciskach  czwórnika  mogą  być  wielkościami 
skalarnymi  (przy  prądzie  stałym),  mogą  być  wyrażone  jako  wartości  skuteczne  zespolone  (w  stanie 
ustalonym  przy  wymuszeniu  sinusoidalnym)  i  mogą  być  wielkościami  operatorowymi.  Opis 
operatorowy jest najbardziej ogólny i pozwala badać czwórniki w stanie nieustalonym. 
 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

Obwody i Sygnały 2  

Wykład nr 6,7  

 

4

Związek między czterema wielkościami U

1

, U

2

, I

1

, I

2

, ujmujemy za pomocą dwóch równań liniowych. 

W zależności od zastosowań wyróżniamy sześć typów równań wiążących prądy i napięcia czwórnika 
(nie  tylko  pasywnego):  postać  impedancyjna,  admitancyjna,  łańcuchowa, łańcuchowa odwrócona, 
hybrydowa, hybrydowa odwrócona. 
 

Typy równa

ń

 opisuj

ą

cych czwórniki 

 

•

 

Równanie impedancyjne 

 

 







⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

2

22

1

21

2

2

12

1

11

1

I

z

I

z

U

I

z

I

z

U

 

 

(3.3) 

lub w postaci macierzowej 

 













⋅













=













2

1

22

21

12

11

2

1

I

I

z

z

z

z

U

U

 

 

(3.4) 

w której  

 













=

22

21

12

11

z

z

z

z

Z

 

 

(3.5) 

 

jest macierzą impedancyjną, a 

11

z

, 

12

z

, 

21

z

, 

22

z

 nazywane są parametrami impedancyjnymi.  

Wielkości występujące w równaniu (3.4) wyrażane są w następujących jednostkach 

 

 













⋅













=













A

A

Ω

Ω

Ω

Ω

V

V

 

 

(3.6) 

 

•

 

Równanie admitancyjne 

 

 









⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

2

22

1

21

2

2

12

1

11

1

U

y

U

y

I

U

y

U

y

I

 

 

(3.7) 

lub w postaci macierzowej 

 













⋅

















=













2

1

22

21

12

11

2

1

U

U

y

y

y

y

I

I

 

 

(3.8) 

w której  

 

















=

22

21

12

11

y

y

y

y

y

 

 

(3.9) 

 

jest macierzą admitancyjną, a 

11

y , 

12

y

, 

21

y

, 

22

y

 nazywane są parametrami admitancyjnymi.  

Wielkości występujące w równaniu (3.8) wyrażane są w następujących jednostkach 

 

 













⋅













=













V

V

S

S

S

S

A

A

 

 

(3.10) 

 

•

 

Równanie łańcuchowe 

 

 







⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

2

2

1

2

2

1

I

D

U

C

I

I

B

U

A

U

 

 

(3.11) 

 
 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

Obwody i Sygnały 2  

Wykład nr 6,7  

 

5

lub w postaci macierzowej 

 













⋅













=













2

2

1

1

I

U

D

C

B

A

I

U

 

 

(3.12) 

w której  

 













=

D

C

B

A

A

 

 

(3.13) 

 

jest macierzą łańcuchową, a  A,  B ,  C ,  D nazywane są parametrami łańcuchowymi.  

Wielkości występujące w równaniu (3.12) wyrażane są w następujących jednostkach 

 

 













⋅













=













A

V

1

S

Ω

1

A

V

 

 

(3.14) 

 

•

 

Równanie łańcuchowe odwrócone 

 

 







⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

1

1

2

1

1

2

'

'

'

'

I

D

U

C

I

I

B

U

A

U

 

 

(3.15) 

lub w postaci macierzowej 

 













⋅













=













1

1

2

2

'

'

'

'

I

U

D

C

B

A

I

U

 

 

(3.16) 

w której  

 













=













=

A

C

B

D

D

C

B

A

A

B

det

1

'

'

'

'

 

 

(3.17) 

 

jest  macierzą  łańcuchową  odwróconą,  a 

'

A , 

'

B , 

'

C , 

'

D   nazywane  są  parametrami  łańcuchowymi 

odwróconymi. Wielkości występujące w równaniu (3.16) wyrażane są w następujących jednostkach 

 

 













⋅













=













A

V

1

S

Ω

1

A

V

 

 

(3.18) 

 

•

 

Równanie hybrydowe 

 

 







⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

2

22

1

21

2

2

12

1

11

1

U

h

I

h

I

U

h

I

h

U

 

 

(3.19) 

lub w postaci macierzowej 

 













⋅













=













2

1

22

21

12

11

2

1

U

I

h

h

h

h

I

U

 

 

(3.20) 

w której  

 













=

22

21

12

11

h

h

h

h

h

 

 

(3.21) 

 

jest 

macierzą hybrydową, a 

11

h , 

12

h

, 

21

h

, 

22

h

 nazywane są 

parametrami hybrydowymi.  

Wielkości występujące w równaniu (3.20) wyrażane są w następujących jednostkach 

 

 













⋅













=













V

A

S

1

1

Ω

A

V

 

 

(3.22) 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

Obwody i Sygnały 2  

Wykład nr 6,7  

 

6

 

•

 

Równanie hybrydowe odwrócone 

 

 









⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

2

22

1

21

2

2

12

1

11

1

I

g

U

g

U

I

g

U

g

I

 

 

(3.23) 

lub w postaci macierzowej 

 













⋅

















=













2

1

22

21

12

11

2

1

I

U

g

g

g

g

U

I

 

 

(3.24) 

w której  

 

















=

22

21

12

11

g

g

g

g

g

 

 

(3.25) 

 

jest macierzą hybrydową odwróconą, a 

11

g , 

12

g

, 

21

g

, 

22

g

 nazywane są parametrami hybrydowymi 

odwróconymi

. Wielkości występujące w równaniu (3.24) wyrażane są w następujących jednostkach  

 

 













⋅













=













A

V

Ω

1

1

S

V

A

 

 

(3.26) 

 
W zależności od wyboru postaci równań opisujących dany czwórnik stosuje się różne zwroty prądów 
na wyjściu czwórnika (zasady strzałkowania przedstawiono na rys. 3.5). 

B

A

I

1

 

I

2

 

U

1

 

U

2

 

G

H

Y

Z

I

1

 

I

2

 

U

1

 

U

2

 

a) 

b) 

 

Rys. 3.5. Zasady strzałkowania czwórników w zależności od macierzy opisującej

 

 

Ustalenie  związku  pomiędzy  napięciami  i  prądami  wejścia  i  wyjścia  jest  możliwe  wówczas,  gdy 
znane  są  parametry  jednej  z  postaci.  W  celu  wyznaczenia  parametrów  równania  określonej  postaci 
należy zastosować jedną z metod rozwiązywania obwodów rozgałęzionych liniowych. 
 
Do  opisów  czwórników  pasywnych  najczęściej  stosuje  się  równania  łańcuchowe,  natomiast  przy 
połączeniach  czwórników  stosuje  się  równania  o  niemal  wszystkich  postaciach  wybieranych  w 
zależności od sposobów połączenia czwórników.  
 

 

3.4.  Warunki symetrii i odwracalno

ś

ci czwórnika  

 
Rozważmy  czwórnik  pasywny,  którego  schemat  przedstawiony  jest  na  rys. 3.5a.  Równania 
łańcuchowe (3.11) 

 

 







⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

2

2

1

2

2

1

I

D

U

C

I

I

B

U

A

U

 

 

 

 

Załóżmy,  że  czwórnik  jest  zasilany  od  strony  zacisków  wejściowych  napięciem  U

1

=E,  natomiast 

zaciski wyjściowe są zwarte (U

2

=0) (rys. 3.6a) 

 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

Obwody i Sygnały 2  

Wykład nr 6,7  

 

7

I

1

 

I

2

 

U

1

 

U

2

=0 

E 

a)

 

  

I

1

 

I

2

 

U

1

=0 

U

2

 

E 

b)

 

 

Rys. 3.6. Czwórnik zasilany od strony zacisków wejściowych, o zwartych zaciskach wyjściowych 

 

Równania łańcuchowe (3.11) przyjmą postać: 

 

 







⋅

=

⋅

=

2

1

2

1

I

D

I

I

B

U

 

 

(3.27) 

 

Wobec czego prąd I

2 

(płynący w zwartym obwodzie wyjścia) wyznaczony zostanie z zależności 

 

 

E

B

U

B

I

⋅

=

⋅

=

1

1

1

2

 

 

(3.28) 

 
 

Załóżmy także sytuację odwrotną - czwórnik jest zasilany od strony zacisków wyjściowych napięciem 
U

2

=E,  natomiast  zaciski  wejściowe  są  zwarte  (U

1

=0)  (rys. 3.6b).  W  zwartym  obwodzie  wejścia 

popłynie wówczas prąd I

1

 (prąd I

1

 zmieni zwrot) 

 

 

E

B

U

B

I

⋅

=

⋅

=

A

A

det

det

2

1

 

 

(3.29) 

 
 

Jeśli  prąd  I

2

  określony  równaniem  (3.28)  jest  równy  prądowi  I

1

  określonemu  równaniem  (3.29),  to 

wówczas  spełniona  zostaje  zasada  wzajemności.  Równość  tych  prądów  zachodzi  wtedy,  gdy 
spełniony zostaje warunek 

 

 

1

det

=

A

 

 

(3.30) 

 

Warunek  (3.30)  jest  jednocześnie  warunkiem  odwracalności  czwórnika.  Równanie  (3.30)  można 
zapisać też w równoważnej postaci 

 

 

1

det

=

⋅

−

⋅

=

C

B

D

A

A

 

 

(3.31) 

 

gdzie A, B, C, D- parametry macierzy łańcuchowej. 
 
Wspomniano powyżej, że czwórnik nazywamy symetrycznym jeżeli przy zamianie miejscami wejścia i 
wyjścia,  nie  zmieni  się  rozpływ  prądów  i  rozkład  napięć  w  obwodzie  poza  czwórnikiem,  tzn.  w 
obwodzie dołączonym do wejścia i w obwodzie dołączonym do wyjścia czwórnika. Wynika z tego, że 
dla czwórnika symetrycznego macierze A (macierz łańcuchowa) i B (macierz łańcuchowa odwrócona) 
muszą być sobie równe. Porównując zależności (3.13) oraz (3.17) otrzymamy 

 

 













=













⇒

=

A

C

B

D

D

C

B

A

A

B

A

det

1

 

 

(3.32) 

 
 

Zatem A=B jeżeli przy  

1

det

=

⋅

−

⋅

=

C

B

D

A

A

, parametr  

 
 

 

D

A

=

 

 

(3.33) 

Równania (3.31) oraz (3.33) są warunkami symetryczności czwórnika. 
 
 
 
 
 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

Obwody i Sygnały 2  

Wykład nr 6,7  

 

8

Podsumowując,  i  uwzględniając  relacje 

pomiędzy  elementami  różnych  macierzy  czwórnika  (relacje  te 

opublikowano np. w [2], str. 393 lub w [5] str. 90), można stwierdzić co następuje 
 

•

 

Czwórnik jest odwracalny jeżeli spełnione są zależności 

 

12

21

12

21

12

21

12

21

1

'

'

'

'

1

)

(

det

1

1

)

(

det

g

g

h

h

y

y

z

z

C

B

D

A

C

B

D

A

−

=

−

=

=

=

=

−

⇔

=

=

−

⇔

=

B

A

 

 

(3.34) 

 

•

 

Czwórnik jest symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy jest odwracalny i gdy po zamianie strony 

zasilania  prądy  i  napięcia  nie  zmieniają  się  zarówno  po  stronie  wejściowej  jak  i  wyjściowej.  Dla 
czwórników symetrycznych prawdziwe są związki 

 

11

22

11

22

21

12

22

11

21

12

22

11

'

'

1

1

)

(

det

1

1

)

(

det

y

y

z

z

D

A

D

A

g

g

g

g

h

h

h

h

=

=

=

=

=

−

⇔

=

=

−

⇔

=

G

H

 

 

(3.35) 

Do  opisu  czwórnika  pasywnego  symetrycznego  wystarczą  tylko  dwa  niezależne  parametry,  gdyż 
czwórniki pasywne są jednocześnie odwracalne.  
 

 

3.5.  Stany pracy czwórnika  

 
Po  dołączeniu  do  zacisków  wejściowych  czwórnika  źródła  napięcia  lub  źródła  prądu  możliwe  są 
następujące stany pracy czwórnika: 

•

 

stan jałowy - zaciski wyjściowe czwórnika są rozwarte (rys. 3.7a) 

•

 

stan zwarcia - zaciski wyjściowe czwórnika są zwarte (rys. 3.7b) 

•

 

stan obciążenia – do zacisków wyjściowych dołączony jest odbiornik (rys. 3.7c) 

 

I

1

 

I

2

=0 

U

1

 

U

2

 

E 

J 

Stan jałowy 

a)

 

 

 

I

1

 

I

2

 

U

1

 

U

2

=0 

E 

J 

Stan zwarcia 

b)

 

 

 

c)

 

I

1

 

I

2

 

U

1

 

U

2

 

E 

J 

Stan obciążenia 

Z

2

 

U

2

=

Z

2

·

I

2

 

 

Rys. 3.7. Stany pracy czwórnika: stan jałowy (rys. a), stan zwarcia (rys. b), stan obciążenia (rys. c) 

 
 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

Obwody i Sygnały 2  

Wykład nr 6,7  

 

9

 
W stanie jałowym (

0

2

=

I

, 

0

2

≠

U

) równania łańcuchowe (3.13) przyjmą postać 

 

 







⋅

=

⋅

=

20

10

20

10

U

C

I

U

A

U

 

 

(3.36) 

 

W stanie zwarcia (

0

2

=

U

, 

0

2

≠

I

) równania łańcuchowe przyjmą postać 

 

 







⋅

=

⋅

=

k

k

k

k

I

D

I

I

B

U

2

1

2

1

 

 

(3.37) 

 

Zauważmy,  że  w  stanie  jałowym  można  wyznaczyć  parametry 

20

10

U

U

A

=

  i 

20

10

U

I

C

=

 

(równania  3.36),  natomiast  w  stanie  zwarcia  można  wyznaczyć  parametry 

k

k

I

U

B

2

1

=

  i 

k

k

I

I

D

2

1

=

 czwórnika (równ. 3.37), i w ten sposób uzyskać pełną postać macierzy łańcuchowej 

A 

 

W stanie obciążenia (

0

2

≠

U

, 

0

2

≠

I

) równania łańcuchowe mają pełną postać (3.13) 

 

 







⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

2

2

1

2

2

1

I

D

U

C

I

I

B

U

A

U

 

 

W stanie zwarcia i w stanie jałowym uproszczeniu ulegają także i pozostałe typy równań czwórnika, 
a więc równania impedancyjne, admitancyjne i hybrydowe. 
 

 

3.6.  Impedancja wej

ś

ciowa czwórnika  

 

Impedancja wejściowa czwórnika jest to stosunek napięcia U

1

 na wejściu do prądu I

1

 na wejściu 

czwórnika. Oczywiście impedancja wejściowa czwórnika zależy od obciążenia Z

2

. Uwzględniając, że 

po  stronie  wtórnej  spełniona  jest  równość  U

2

=Z

2

·I

2

  możemy  napisać  wzór  ogólny  na  impedancję 

wejściową czwórnika obciążonego impedancją Z

2

 w zależności od elementów macierzy łańcuchowej 

 

 

D

Z

C

B

Z

A

Z

we

+

+

=

2

2

 

 

  (3.38) 

 

Jeżeli znana jest macierz inna niż łańcuchowa, wówczas stosowane są zależności 

 

 

22

2

2

11

2

11

22

2

22

2

2

11

)

(

det

,

)

(

det

,

)

(

det

h

Y

Y

h

Z

Y

y

y

Y

Z

z

Z

Z

z

Z

we

we

we

+

+

=

+

+

=

+

+

=

H

Y

Z

    (3.39) 

 

Wzory  (3.39)  można  uzyskać  w  oparciu  o  ogólne  równania  czwórnika  w  różnych  postaciach,  przy 
uwzględnieniu,  że 

2

2

2

/ I

U

Z

=

  dla  macierzy 

B

A i

,  oraz 

2

2

2

/

I

U

Z

−

=

  dla  pozostałych 

macierzy. Znak minus wynika z nieodbiornikowego (zgodnego) strzałkowania prądu 

2

I  oraz napięcia 

2

U  dla macierzy 

G

H

Y

Z

,

,

,

. Symbol 

2

Y  oznacza admitancję obciążenia, tzn. 

2

2

/

1

Z

Y

=

. 

 
Impedancja wejściowa czwórnika w stanie jałowym wyznaczana jest z zależności (3.36) 

 

 

C

A

U

C

U

A

I

U

Z

=

⋅

⋅

=

=

20

20

10

10

10

 

 

(3.40) 

 

 
 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

Obwody i Sygnały 2  

Wykład nr 6,7  

 

10

Dla  innych  równań  macierzowych  czwórnika  impedancja  wejściowa  w  stanie  jałowym  wyznaczana 
jest z zależności 

 

 

22

10

22

10

11

10

)

(

det

)

(

det

h

Z

y

Z

z

Z

H

Y

=

=

=

 

 

(3.41) 

 

Impedancja wejściowa czwórnika w stanie zwarcia wyznaczana jest z zależności (3.37) 

 

 

D

B

I

D

I

B

I

U

Z

k

k

k

k

k

=

⋅

⋅

=

=

2

2

1

1

1

 

 

(3.42) 

 

Dla  innych  równań  macierzowych  czwórnika  impedancja  wejściowa  w  stanie  zwarcia  wyznaczana 
jest z zależności 

 

 

11

1

11

1

22

1

1

)

(

det

h

Z

y

Z

z

Z

k

k

k

=

=

=

Z

 

 

(3.43) 

 

 

 

3.7.  Schematy zast

ę

pcze czwórników pasywnych 

 
Czwórniki,  jako  schematy  zastępcze  wielu  urządzeń,  można  prawie  zawsze  przedstawić  za  pomocą 
trzech  impedancji  tworzących  strukturę  jak  pokazano  na  rys. 3.8.  Czwórnik  przedstawiony  na 
rys. 3.8a  nazywamy  czwórnikiem  typu  (kształtu)  T,  a  czwórnik  przedstawiony  na  rys. 3.8b 
nazywamy  czwórnikiem  typu  (kształtu)  Π.  Pierwszy  z  tych  czwórników  nazywany  jest  także 
czwórnikiem  gwiazdowym,  gdyż  jego  gałęzie  tworzą  gwiazdę,  a  drugi  nazywany  jest  czwórnikiem 
trójkątowym,  gdyż  połączenie  elementów  odpowiada  połączeniu  w  trójkąt.  W  praktyce  czwórniki  o 
bardziej złożonej strukturze, można dzięki stosowaniu reguł przekształcania doprowadzić do jednej z 
podanych struktur.  

I

1

 

I

2

 

U

1

 

U

2

 

a)

 

Z

1 

Z

2 

Y 

         

I

1

 

I

2

 

U

1

 

U

2

 

b)

 

Z 

Y

1 

Y

2 

 

Rys. 3.8. Schematy zastępcze czwórników typu T (rys. a) i typu Π (rys. b) 

 

Czwórnik typu T 

 

Przedstawiony  na  rys. 3.8a  czwórnik  typu  T  składa  się  z  dwóch  impedancji  podłużnych  (Z

1

,  Z

2

)  i 

jednej admitancji poprzecznej (Y). Zależność pomiędzy napięciami i prądami na wejściu i na wyjściu 
czwórnika znajdujemy na podstawie praw Kirchhoffa 

 
 

 











+

=

+

=

=

−

−

)

3

(

)

2

(

)

1

(

0

2

2

1

1

3

2

1

T

U

U

U

T

U

U

U

T

I

I

I

Z

Y

Y

Z

 

(3.44) 

 

Prawo Ohma wyrażają równania 

 

 

)

6

(

)

5

(

)

4

(

3

2

2

2

1

1

1

T

U

Y

I

T

I

Z

U

T

I

Z

U

Y

Z

Z

⋅

=

⋅

=

⋅

=

 

(3.45) 

I

1

 

I

2

 

U

1

 

U

2

 

 

Z

1 

Z

2 

Y 

U

Z1

 

U

Z2

 

U

Y

 

I

3

 

 

Rys. 3.9. Zwroty napięć i prądów  

w czwórniku typu T 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

Obwody i Sygnały 2  

Wykład nr 6,7  

 

11

Podstawmy równanie (T3) do równania (T2) 

 

 

2

2

1

1

U

U

U

U

Z

Z

+

+

=

 

(3.46) 

 

Otrzymamy układ równań postaci 

 

 







+

+

=

+

=

)

8

(

)

7

(

2

2

1

1

3

2

1

T

U

U

U

U

T

I

I

I

Z

Z

 

(3.47) 

 

Do układu równań (3.47) podstawny równania (T4), (T5) oraz (T6) 

 

 







+

⋅

+

⋅

=

+

+

=

⋅

+

=

+

=

)

10

(

)

9

(

2

2

2

1

1

2

2

1

1

2

3

2

1

T

U

I

Z

I

Z

U

U

U

U

T

U

Y

I

I

I

I

Z

Z

Y

 

(3.48) 

 
 

Do równania (T9) w układzie równań (3.48) podstawny równania (T3) oraz (T5) 

 







+

⋅

+

⋅

=

+

⋅

⋅

+

=

+

⋅

+

=

⋅

+

=

)

12

(

)

11

(

)

(

)

(

2

2

2

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

1

T

U

I

Z

I

Z

U

T

U

I

Z

Y

I

U

U

Y

I

U

Y

I

I

Z

Y

  (3.49) 

 

Po przekształceniach 

 







+

⋅

+

⋅

=

⋅

⋅

+

+

⋅

=

+

⋅

⋅

+

=

)

12

(

)

13

(

)

1

(

)

(

2

2

2

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

1

T

U

I

Z

I

Z

U

T

I

Y

Z

U

Y

U

I

Z

Y

I

I

  (3.50) 

 

Do równania (T12) w układzie równań (3.50) podstawny równanie (T13) 

 

[

]







+

⋅

+

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

=

+

⋅

+

⋅

=

⋅

⋅

+

+

⋅

=

+

⋅

⋅

+

=

)

14

(

)

1

(

)

13

(

)

1

(

)

(

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

1

1

1

2

2

2

2

2

2

2

1

T

U

I

Z

I

Y

Z

U

Y

Z

U

I

Z

I

Z

U

T

I

Y

Z

U

Y

U

I

Z

Y

I

I

 

(3.51) 

 

Równanie (T14), po przekształceniach, przyjmie postać 

 

[

]

)

15

(

)

(

)

1

(

)

1

(

2

2

1

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

1

1

T

I

Y

Z

Z

Z

Z

U

Y

Z

U

I

Z

I

Y

Z

U

Y

Z

U

⋅

⋅

⋅

+

+

+

⋅

⋅

+

=

=

+

⋅

+

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

=

 

(3.52) 

 

Ostatecznie otrzymamy układ równań  

 







⋅

⋅

+

+

⋅

=

⋅

⋅

⋅

+

+

+

⋅

⋅

+

=

)

17

(

)

1

(

)

16

(

)

(

)

1

(

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

1

1

T

I

Y

Z

U

Y

I

T

I

Y

Z

Z

Z

Z

U

Y

Z

U

 

(3.53) 

 

Porównując układ równań (3.53) z układem (3.11) 

 

 







⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

2

2

1

2

2

1

I

D

U

C

I

I

B

U

A

U

 

 

 

zauważamy, że parametry łańcuchowe  

 

Y

Z

D

Y

C

Y

Z

Z

Z

Z

B

Y

Z

A

⋅

+

=

=

⋅

⋅

+

+

=

⋅

+

=

2

2

1

2

1

1

1

1

 

(3.54) 

 

zatem macierz łańcuchowa ma postać 

 

 













⋅

+

⋅

⋅

+

+

⋅

+

=













=

Y

Z

Y

Y

Z

Z

Z

Z

Y

Z

D

C

B

A

2

2

1

2

1

1

T

1

1

A

 

(3.55) 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

Obwody i Sygnały 2  

Wykład nr 6,7  

 

12

Nietrudno wykazać, że spełniony jest warunek odwracalności czwórnika 

1

A

det

T

=

⋅

−

⋅

=

C

B

D

A

. 

Czwórnik typu T jest symetryczny, gdy spełniony jest warunek 

D

A

=

, czyli gdy 

2

1

Z

Z

=

 

 

Jeżeli dane są parametry łańcuchowe, to na podstawie równań (3.54) można wyprowadzić zależności 
na  elementy  czwórnika,  czyli  impedancje  podłużne  (Z

1

,  Z

2

)  i  admitancję  poprzeczną  (Y),  a  więc 

rozwiązać zagadnienie odwrotne w stosunku do zagadnienia rozważanego powyżej. 

 

 

C

Y

C

D

Z

C

A

Z

=

−

=

−

=

1

1

2

1

 

(3.56) 

 

Czwórnik typu 

Π

 

 

Przedstawiony  na  rys. 3.8b  czwórnik  typu  Π  składa  się  z  jednej  impedancji  podłużnej  (Z)  i  dwóch 
admitancji poprzecznych (Y

1, 

Y

2

). Zależność pomiędzy napięciami i prądami na wejściu i na wyjściu 

czwórnika znajdujemy na podstawie praw Kirchhoffa 

 
 

 











Π

+

=

Π

+

=

Π

+

=

)

3

(

)

2

(

)

1

(

2

1

2

2

1

1

U

U

U

I

I

I

I

I

I

Z

Y

Z

Y

Z

  (3.57) 

 

Prawo Ohma wyrażają równania 

 

 

)

6

(

)

5

(

)

4

(

2

2

2

1

1

1

Π

⋅

=

Π

⋅

=

Π

⋅

=

U

Y

I

U

Y

I

I

Z

U

Y

Y

Z

Z

  (3.58) 

 
Podstawmy równanie (Π2) do równania (Π1) 

 

1

2

2

1

1

Y

Y

Y

Z

I

I

I

I

I

I

+

+

=

+

=

 

(3.59) 

 

Otrzymamy układ równań postaci 

 

 







Π

+

=

Π

+

+

=

)

8

(

)

7

(

2

1

1

2

2

1

U

U

U

I

I

I

I

Z

Y

Y

 

(3.60) 

 

Do układu równań (3.60) podstawny równania (Π4), (Π5) oraz (Π6) 

 

 







Π

+

⋅

=

Π

⋅

+

+

⋅

=

)

10

(

)

9

(

2

1

1

1

2

2

2

1

U

I

Z

U

U

Y

I

U

Y

I

Z

 

(3.61) 

 
 

Do równania (Π10) w układzie równań (3.61) podstawny równania (Π2) oraz (Π6) 

 







Π

+

+

⋅

⋅

=

+

+

⋅

=

+

⋅

=

Π

+

⋅

+

⋅

=

)

12

(

)

(

)

(

)

11

(

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

1

1

1

U

I

U

Y

Z

U

I

I

Z

U

I

Z

U

I

U

Y

U

Y

I

Y

Z

 

(3.62) 

 

Po przekształceniach 

 

   







Π

⋅

+

⋅

⋅

+

=

Π

+

⋅

+

⋅

=

)

13

(

)

1

(

)

11

(

2

2

2

1

2

2

2

1

1

1

I

Z

U

Y

Z

U

I

U

Y

U

Y

I

 

(3.63) 

 

Do równania (Π11) w układzie równań (3.63) podstawny równanie (Π13) 

 

{

}







Π

⋅

+

⋅

⋅

+

=

Π

+

⋅

+

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

=

+

⋅

+

⋅

=

)

13

(

)

1

(

)

14

(

)

1

(

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

1

1

1

I

Z

U

Y

Z

U

I

U

Y

I

Z

U

Y

Z

Y

I

U

Y

U

Y

I

 

(3.64) 

I

1

 

I

2

 

U

1

 

U

2

 

Z 

Y

1 

Y

2 

U

Z

 

I

Y1

 

I

Z

 

I

Y2

 

 Rys. 3.10. Zwroty napięć i prądów  

w czwórniku typu Π 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

Obwody i Sygnały 2  

Wykład nr 6,7  

 

13

 

Równanie (Π14), po przekształceniach, przyjmie postać 

 

{

}

)

15

(

)

1

(

)

(

)

1

(

)

1

(

2

1

2

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

1

1

1

Π

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

⋅

+

+

=

=

+

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

=

=

+

⋅

+

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

=

+

⋅

+

⋅

=

I

Y

Z

U

Y

Y

Z

Y

Y

I

U

Y

I

Y

Z

U

Y

Z

Y

I

U

Y

I

Z

U

Y

Z

Y

I

U

Y

U

Y

I

   

(3.65) 

 

Ostatecznie otrzymamy układ równań  

 







Π

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

⋅

+

+

=

Π

⋅

+

⋅

⋅

+

=

)

17

(

)

1

(

)

(

)

16

(

)

1

(

2

1

2

2

1

2

1

1

2

2

2

1

I

Y

Z

U

Y

Y

Z

Y

Y

I

I

Z

U

Y

Z

U

 

(3.66) 

 

Porównując układ równań (3.66) z układem (3.11) 

 

 







⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

2

2

1

2

2

1

I

D

U

C

I

I

B

U

A

U

 

 

 

zauważamy, że parametry łańcuchowe  

 

1

2

1

2

1

2

1

1

Y

Z

D

Y

Y

Z

Y

Y

C

Z

B

Y

Z

A

⋅

+

=

⋅

⋅

+

+

=

=

⋅

+

=

 

(3.67) 

 

zatem macierz łańcuchowa ma postać 

 

 













⋅

+

⋅

⋅

+

+

⋅

+

=













=

Π

1

2

1

2

1

2

1

1

A

Y

Z

Y

Y

Z

Y

Y

Z

Y

Z

D

C

B

A

 

(3.68) 

 

Nietrudno wykazać, że spełniony jest warunek odwracalności czwórnika 

1

A

det

=

⋅

−

⋅

=

Π

C

B

D

A

. 

 

Czwórnik typu Π jest symetryczny, gdy spełniony jest warunek 

D

A

=

, czyli gdy 

2

1

Y

Y

=

 

 

Jeżeli dane są parametry łańcuchowe, to na podstawie równań (3.67) można wyprowadzić zależności 
na  elementy  czwórnika,  czyli  impedancję  podłużną  (

Z)  i  admitancje  poprzeczne  (Y

1

,

Y

2

),  a  więc 

rozwiązać zagadnienie odwrotne w stosunku do zagadnienia rozważanego powyżej. 

 

 

B

A

Y

B

D

Y

B

Z

1

1

2

1

−

=

−

=

=

 

(3.69) 

 

Czwórniki typu 

Γ

, 

T

, Χ

 

 
Na  rys. 3.11.  przedstawiono  inne  schematy  spotykanych  czwórników.  Czwórniki  przedstawione  na 
rys. 3.11a  oraz  rys. 3.11b  stanowią  szczególne  przypadki,  gdy  jedna  z  impedancji  czwórnika  typu 

T 

lub jedna z admitancji czwórnika typu Π jest równa zeru. 

 

I

1

 

I

2

 

U

1

 

U

2

 

a)

 

Z 

Y

 

  

I

1

 

I

2

 

U

1

 

U

2

 

b)

 

Z 

Y

 

  

I

1

 

I

2

 

U

1

 

U

2

 

c)

 

Z

1

 

Z

1

 

Z

2

 

Z

2

 

 

Rys. 3.11. Schematy zastępcze czwórników typu Γ (rys. a), typu T (rys. b) i typu X (rys. c) 

 

 

 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

Obwody i Sygnały 2  

Wykład nr 6,7  

 

14

Macierze łańcuchowe czwórników przedstawionych na rys. 3.11 są następujące 

 

•

 

dla czwórnika typu Γ (rys. 3.11a)

 













⋅

+

=

Γ

Y

Z

Y

Z

1

1

A

 

(3.70) 

 

•

 

dla czwórnika typu T (rys. 3.11b)

 













⋅

+

=

1

1

A

Y

Z

Y

Z

 

(3.71) 

 

•

 

dla czwórnika 

typu X (rys. 3.11c)

 

























−

+

−

−

⋅

⋅

−

+

=

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

X

2

2

A

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

 

(3.72) 

 

 

3.8.  Zwi

ą

zki pomi

ę

dzy parametrami ła

ń

cuchowymi a impedancjami  

w stanie jałowym i w stanie zwarcia czwórnika  

 

 
Jak  wspomniano  wyżej  impedancja  wejściowa  czwórnika  w  stanie  jałowym  wyznaczana  jest  z 
zależności (3.40) 

 

C

A

U

C

U

A

I

U

Z

=

⋅

⋅

=

=

20

20

10

10

10

 

 

 

a impedancja wejściowa czwórnika w stanie zwarcia wyznaczana jest z zależności (3.42) 

 

 

D

B

I

D

I

B

I

U

Z

k

k

k

k

k

=

⋅

⋅

=

=

2

2

1

1

1

 

 

 

Zależności te otrzymujemy w wyniku dołączenia do zacisków wejściowych czwórnika źródła napięcia 
lub źródła prądu i rozważania wspomnianych stanów pracy czwórnika (stan jałowy, stan zwarcia) w 
oparciu o równania łańcuchowe.  
Jeżeli  źródło  napięcia  lub  źródło  prądu  dołączymy  do  zacisków  wyjściowych  czwórnika,  a  zaciski 
wejściowe będą odpowiednio rozwarte (stan jałowy) lub zwarte (stan zwarcia), to w podobny sposób 
jak  to  przedstawiono  w  punkcie  3.5  otrzymamy  wzory  na  impedancję  w  stanie  jałowym  (3.73)  i  w 
stanie zwarcia (3.74), przy zasilaniu czwórnika od strony wyjścia (indeksy „2” w zależnościach) 

 

 

C

D

U

C

U

D

I

U

Z

=

⋅

⋅

=

=

10

10

20

20

20

 

 

(3.73) 

 

 

A

B

I

A

I

B

I

U

Z

k

k

k

k

k

=

⋅

⋅

=

=

1

1

2

2

2

 

 

(3.74) 

 

Jeżeli  znane  są  impedancje  Z

10

,  Z

1k

,  Z

20

,  Z

2k

  to  korzystając  z  równań  (3.40),  (3.42),  (3.73)  i  (3.74) 

można obliczyć parametry łańcuchowe A, B, C i D. 

 

W  przypadku  czwórników  symetrycznych  (A=D)  impedancje  stanu  jałowego  i  stanu  zwarcia  nie 
zależą od tego, z której strony zasilono czwórnik. Jeżeli w równaniach (3.40), (3.42), (3.73) i (3.74) 
uwzględnimy A=D to otrzymamy 

 

C

A

Z

=

0

 

 

(3.75) 

 

 

A

B

Z

k

=

 

 

(3.76) 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

Obwody i Sygnały 2  

Wykład nr 6,7  

 

15

Czwórnik jest odwracalny jeżeli spełniony jest warunek (3.31)  

 

 

1

det

=

⋅

−

⋅

=

C

B

D

A

A

 

 

Wstawiając warunek symetryczności czwórnika (3.33)  

 

D

A

=

 

 

do równania (3.31) otrzymamy 

 

 

1

A

det

2

=

⋅

−

=

⋅

−

⋅

=

⋅

−

⋅

=

C

B

A

C

B

A

A

C

B

D

A

 

 

(3.77) 

 

Wyznaczmy z równań (3.75) i (3.76) parametry B i C 

 

 

0

0

Z

A

C

C

A

Z

=

⇒

=

 

 

(3.78) 

 

 

k

k

Z

A

B

A

B

Z

⋅

=

⇒

=

 

 

(3.79) 

 

i podstawny równania (3.78) i (3.79) do równania (3.77) 

 

 

1

2

=

⋅

−

C

B

A

 

 

(3.80) 

 

 

{

1

1

1

1

0

2

2

0

2

0

2

=















−

⋅

⇒

=

⋅

−

⇒

=

⋅

⋅

−

Z

Z

A

A

Z

Z

A

Z

A

Z

A

A

k

k

C

B

k

3

2

1

 

 

Parametr A ma zatem postać 

 

 

k

k

Z

Z

Z

Z

Z

A

−

=

−

=

0

0

0

1

1

 

  (3.81) 

 

Parametry B i C wyznaczymy wstawiając równania (3.81) do równań (3.78) i (3.79) 

 

 

k

Z

Z

Z

Z

Z

A

C

−

⋅

=

=

0

0

0

0

1

 

 

(3.82) 

 

 

k

k

k

Z

Z

Z

Z

Z

A

B

−

⋅

=

⋅

=

0

0

 

 

(3.83) 

 

Macierz łańcuchowa A ma zatem postać 

 

 





























−

−

⋅

−

⋅

−

=

k

k

k

k

k

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

A

 

 

(3.84) 

 

Tak  więc,  w  przypadku  czwórnika  symetrycznego,  na  podstawie  znajomości  impedancji  stanu 
jałowego  i  impedancji  stanu  zwarcia  na  podstawie  równań  (3.84)  możemy  wyznaczyć  parametry 
macierzy łańcuchowej.  
 
W  celu  wyznaczenia  parametrów  macierzy  łańcuchowej  dowolnego  czwórnika  należy  skorzystać  z 
zależności  wynikających  z  równań  (3.1),  (3.40),  (3.42),  (3.73)  oraz  (3.74).  Po  przekształceniu 
wymienionych  zależności  otrzymamy  równania,  z  których  wyznaczyć  można  parametry  łańcuchowe 
dowolnego czwórnika 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

Obwody i Sygnały 2  

Wykład nr 6,7  

 

16

 

 

k

Z

Z

Z

A

2

20

10

−

=

 

  (3.85) 

 

 

k

k

Z

Z

Z

Z

B

2

20

10

2

−

⋅

=

 

 

(3.86) 

 

 

k

Z

Z

Z

Z

C

2

20

10

10

1

−

⋅

=

 

 

(3.87) 

 

 

k

Z

Z

Z

Z

Z

D

2

20

10

10

20

−

⋅

=

 

  (3.88) 

 

 

3.9.  Impedancja falowa czwórnika symetrycznego  

 
Stosunek 

2

2

2

Z

I

U

=

  oznacza  impedancję  na  wyjściu  czwórnika,  tj.  impedancję  odbiornika, 

natomiast stosunek 

1

1

1

Z

I

U

=

 przedstawia impedancję na wejściu , tj. impedancję czwórnika wraz 

z odbiornikiem.  
Powstaje  pytanie,  czy  możliwy  jest  taki  dobór  odbiornika,  aby  impedancja  wyjściowa  była  równa 
impedancji  wejściowej?  Impedancję  spełniającą  ten  warunek  nazywamy  impedancją  iterowaną 
(z łac.  powtórną)  i  oznaczamy  przez 

i

Z

.  Impedancję  iterowaną  wyznaczamy  dzieląc,  w  układzie 

równań (3.11), równanie pierwsze przez drugie  

 

 

D

I

U

C

B

I

U

A

I

D

U

C

I

B

U

A

I

U

+

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

=

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

 

 

(3.89) 

 

Podstawny 

i

Z

I

U

I

U

=

=

2

2

1

1

 do równania (3.89) 

 

 

D

Z

C

B

Z

A

Z

i

i

i

+

⋅

+

⋅

=

 

 

(3.90) 

 

Przekształcając równanie (3.90) otrzymamy 

 

 

(

)

B

Z

A

D

Z

C

Z

i

i

i

+

⋅

=

+

⋅

⋅

 

 

 

 

 

B

Z

A

Z

D

Z

C

i

i

i

+

⋅

=

⋅

+

⋅

2

 

 

 

 

 

0

)

(

2

=

−

⋅

−

+

⋅

B

Z

A

D

Z

C

i

i

 

 

(3.91) 

 

Rozwiązanie równania (3.91) 

 

 

(

) (

)

C

C

B

A

D

A

D

Z

i

⋅

⋅

⋅

+

−

±

−

−

=

2

4

2

2

,

1

 

 

(3.92) 

 

Obliczając impedancję iterowaną przy zasilaniu czwórnika od strony przeciwnej otrzymujemy 

 

 

(

) (

)

C

C

B

A

D

A

D

Z

i

⋅

⋅

⋅

+

−

±

−

=

2

4

2

4

,

3

 

 

(3.93) 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

Obwody i Sygnały 2  

Wykład nr 6,7  

 

17

Dwie  z  tych  wartości 

i

Z

  (wzory  3.92  i  3.93)  mają  część  rzeczywistą  dodatnią  i  te  uważamy  za 

fizycznie realne.  
 
W  przypadku  czwórnika  symetrycznego 

0

=

−

D

A

,  otrzymujemy  więc  tylko  jedno  rozwiązanie  na 

impedancję  iterowaną.  Nazywamy  ją 

impedancją  falową  lub  impedancją  charakterystyczną 

czwórnika symetrycznego i oznaczamy przez 

C

Z . Gdy 

0

≠

B

 i 

0

≠

C

 

 

 

 

C

B

Z

C

=

 

 

(3.94) 

 

Impedancją  charakterystyczną  (falową)  czwórnika  symetrycznego  nazywamy  taką  impedancję 

2

Z

Z

odb

=

 odbiornika dołączonego do zacisków wyjściowych czwórnika, że impedancja mierzona na 

wejściu czwórnika jest równa impedancji odbiornika 

C

Z

Z

Z

=

=

2

1

. 

 

Odbiornik,  którego  impedancja  jest  równa  impedancji  falowej  czwórnika,  nazywamy 

odbiornikiem 

dopasowanym falowo do czwórnika. 
 
Pomiędzy  impedancją  falową 

C

Z

  czwórnika  a  jego  impedancjami  stanu  jałowego  i  stanu  zwarcia 

zachodzi zależność 

 

 

 

k

C

Z

Z

A

B

C

A

C

B

Z

⋅

=

⋅

=

=

0

 

 

(3.95) 

 

przy czym 

C

A

Z

=

0

  (równanie 3.78), 

A

B

Z

k

=

 (3.79) 

 

Zależność  (3.95)  pozwala  na  wyznaczenie  impedancji  falowej  na podstawie znajomości (pomiarów) 
impedancji stanu jałowego i stanu zwarcia.  
Impedancję falową można również wyznaczyć z zależności 

 

 

22

11

)

(

det

1

)

(

det

h

h

Z

Z

Z

f

f

f

=

=

=

Y

Z

 

 

(3.96) 

 

 

3.10.  Przekładnia i współczynnik przenoszenia  

 
Równania czwórnika symetrycznego obciążonego impedancją falową przybierają przy uwzględnieniu 

2

2

I

Z

U

C

⋅

=

 następującą postać 

 

 

(

)

(

)

(

)











⋅

⋅

+

=

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

⋅

⋅

+

=

⋅















+

=

⋅

+

⋅

=

2

2

2

2

1

2

2

2

2

1

I

C

B

A

I

A

Z

C

I

A

U

C

I

U

C

B

A

U

Z

B

A

I

B

U

A

U

C

C

 

 

(3.97) 

 

Z  równań  (3.97)  wynika,  że  przy  obciążeniu  impedancją  falową  stosunek  napięć  na  wejściu  i  na 
wyjściu jest równy stosunkowi prądów na wejściu i na wyjściu. Oznaczamy go literą 

ϑ

 i nazywamy 

przekładnią czwórnika symetrycznego  

 

 

C

B

A

I

I

U

U

⋅

+

=

=

=

ϑ

2

1

2

1

 

 

(3.98) 

 

Można oddzielnie mówić o przekładni napięciowej 

u

ϑ

 jak i o przekładni prądowej 

i

ϑ

. Przekładnie 

te  ulegają  zmianom  wraz  ze  zmianą  obciążenia  czwórnika,  dlatego  nie  są  w  praktyce  stosowane. 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

Obwody i Sygnały 2  

Wykład nr 6,7  

 

18

Jedynie  w  przypadku  obciążenia  impedancją  falową 

i

u

ϑ

ϑ

=

,  tak  że  mówimy  o  przekładni 

ϑ

 

czwórnika nie dodając określenia: napięciowa lub prądowa. 
Przekładnia 

ϑ

  czwórnika  jest  wielkością  zespoloną.  Jeżeli  znana  jest  inna  macierz  niż  macierz 

łańcuchowa, to do obliczenia przekładni możemy skorzystać ze wzorów 

 

 

21

22

11

21

11

21

22

1

)

(

det

)

(

det

h

h

h

z

z

y

y

−

=

+

=

−

=

ϑ

ϑ

ϑ

Z

Y

 

 

(3.99) 

 

Przekładnię 

ϑ

 można zapisać w postaci wykładniczej  

 

 

g

e

=

ϑ

 

 

(3.100) 

 

przy czym  g  jest wykładnikiem zespolonym 

 

 

jb

a

g

+

=

 

 

(3.101) 

 

Z zależności (3.98) wynika, że 

 

 

C

B

A

e

g

⋅

+

=

 

 

(3.102) 

czyli 

 

(

)

C

B

A

g

⋅

+

=

ln

 

 

(3.103) 

 

Wygodniej jest wyrazić wartość 

g

e

 ze stosunku napięć lub prądów (3.97) 

 

 

2

1

2

1

2

1

ln

ln

ln

U

U

g

U

U

g

U

U

e

g

−

=

⇒

=

⇒

=

 

 

(3.104) 

 

lub 

 

 

2

1

2

1

2

1

ln

ln

ln

I

I

g

I

I

g

I

I

e

g

−

=

⇒

=

⇒

=

 

 

(3.105) 

 

Wykładnik potęgowy  g  w wyrażeniu 

g

e

 nazywamy współczynnikiem przenoszenia czwórnika 

 

Współczynnik przenoszenia  g  czwórnika symetrycznego jest równy różnicy logarytmów naturalnych 

wektora napięcia skutecznego na wejściu i wektora napięcia skutecznego na wyjściu czwórnika przy 
jego  obciążeniu  odbiornikiem  dopasowanym  falowo,  czyli  impedancją  falową

.  Analogicznie  można 

określić współczynnik przenoszenia jako różnicę logarytmów wektorów prądu.  
 
Występujące w zależności (3.101) wyrażenia 

a

 i 

b

 noszą nazwę 

a

 - współczynnik tłumienia czwórnika 

b

 - współczynnik fazowy (współczynnik przesunięcia fazowego) czwórnika 

 

Znaczenie fizyczne współczynników  

a

  i  

b

  wynika z zależności (3.104) i (3.105) 

 

2

1

2

1

2

1

2

1

U

U

e

e

U

U

e

U

U

e

U

U

e

jb

a

jb

a

g

g

=

⋅

⇒

=

⇒

=

⇒

=

+

 

(3.106) 

 

lub 

 

2

1

2

1

2

1

2

1

I

I

e

e

I

I

e

I

I

e

I

I

e

jb

a

jb

a

g

g

=

⋅

⇒

=

⇒

=

⇒

=

+

 

(3.107) 

 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

Obwody i Sygnały 2  

Wykład nr 6,7  

 

19

Ze wzorów  

 

2

1

U

U

e

e

jb

a

=

⋅

 

oraz  

2

1

I

I

e

e

jb

a

=

⋅

 

wynika 

 

2

1

2

1

2

1

2

1

faza

faza

faza

faza

ln

ln

ln

I

I

U

U

b

I

I

U

U

a

−

=

−

=

=

=

=

ϑ

 

 

(3.108) 

 

gdzie 

2

1

2

1

,

,

,

I

I

U

U

 - napięcia i prądy wrót czwórnika obciążonego impedancją falową.  

 

Współczynnik  tłumienia 

a

  czwórnika  symetrycznego  jest  równy  różnicy  logarytmów  naturalnych 

napięć  skutecznych  (lub  prądów  skutecznych)  na  wejściu  i  na  wyjściu  przy  jego  obciążeniu 
odbiornikiem dopasowanym do niego falowo. 

  

Współczynnik a jest miarą tłumienia napięcia lub prądu przy przejściu od zacisków wejściowych do 
zacisków  wyjściowych  czwórnika,  zaś  b  jest  miarą  zmiany  fazy  napięcia  lub  prądu.  Jednostką 
współczynnika a jest neper (1 Np).  

 

Tłumienie o wartości jednego nepera oznacza zmniejszenie amplitudy napięcia lub prądu 

e razy, czyli 

około  2.72  raza.  Często  wygodniej  jest  podawać  tłumienie  w  decybelach. Wówczas należy obliczyć 
jedną z poniższych wartości 

 

 

2

1

2

1

2

1

10

2

1

10

ln

686

.

8

ln

686

.

8

log

20

log

20

I

I

U

U

I

I

U

U

=

=

=

   

(3.109) 

 

Jednemu neperowi odpowiada tłumienie równe 8.686 dB.  
 
Współczynnik  fazowy 

b

  czwórnika  symetrycznego  jest  równy  kątowi  przesunięcia  fazowego  w 

radianach  pomiędzy  napięciem  na  wejściu  a  napięciem  na  wyjściu  czwórnika  przy  jego  obciążeniu 
odbiornikiem dopasowanym falowo. Jest zatem miarą zmiany fazy napięcia lub prądu przy przejściu 
od zacisków wejściowych do zacisków wyjściowych czwórnika. 
 
Oba  współczynniki  (współczynnik  tłumienia 

a

 i współczynnik fazowy 

b

) łącznie wskazują sposób 

przenoszenia sygnału w czwórniku, czyli zmianę jego wartości (modułu) i fazy. Dlatego współczynnik 

g

 nazywany jest współczynnikiem przenoszenia czwórnika. 

 
W teletransmisji przewodowej wymienione wyżej współczynniki znane są pod nazwami: 

g

 - 

tamowność 

a

 - 

tłumienność 

b

 - 

przesuwność 

 

 

3.11.  Równania hiperboliczne czwórnika  

 

Wprowadzenie  parametru  g   ma  ważną  zaletę,  pozwala  uzależnić  równania  łańcuchowe  czwórnika 

symetrycznego od funkcji hiperbolicznych zmiennej zespolonej  g .  

Równanie (3.102) uzależnia współczynnik przenoszenia czwórnika od parametrów łańcuchowych A, 

B

, C. Na podstawie równania (3.102) wyznaczmy 

g

e

−

 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

Obwody i Sygnały 2  

Wykład nr 6,7  

 

20

C

B

A

C

B

A

C

B

A

C

B

A

C

B

A

C

B

A

e

C

B

A

e

g

g

⋅

−

⋅

−

=

⋅

−

⋅

−

⋅

⋅

+

=

⋅

+

=

⇒

⋅

+

=

−

2

1

1

 

(3.110) 

 

Ponieważ dla czwórnika symetrycznego 

1

2

=

⋅

−

C

B

A

 to zależność (3.110) przyjmie postać 

 

 

C

B

A

C

B

A

C

B

A

e

g

⋅

−

=

⋅

−

⋅

−

=

=

−

4

3

42

1

1

2

 

 

(3.111) 

 

Dodając do siebie stronami równania 

C

B

A

e

g

⋅

+

=

 oraz  

C

B

A

e

g

⋅

−

=

−

 otrzymamy 

 

 

A

C

B

A

C

B

A

e

e

g

g

⋅

=

⋅

−

+

⋅

+

=

+

−

2

)

(

)

(

 

 

(3.112) 

 

Parametr 

A

 wyraża się zależnością 

 

 

g

ch

e

e

A

g

g

=













+

=

−

2

1

 

 

(3.113) 

 

Odejmując od siebie stronami równania 

C

B

A

e

g

⋅

+

=

 oraz  

C

B

A

e

g

⋅

−

=

−

 otrzymamy 

 

 

C

B

C

B

A

C

B

A

e

e

g

g

⋅

⋅

=

⋅

−

−

⋅

+

=

−

−

2

)

(

)

(

 

 

(3.114) 

 

a po przekształceniu  

 

(

)

g

sh

e

e

C

B

g

g

=

−

=

⋅

−

2

1

 

 

(3.115) 

 

Podstawiając do równania (3.115) zależność na impedancję falową czwórnika symetrycznego (3.94) 
wyznaczymy parametry 

B

 oraz 

C

 

•

 

w wyniku pomnożenia obu stron równania (3.115) przez 

C

B

Z

C

=

 wyznaczymy parametr 

B

 

 

 

g

sh

Z

B

C

B

g

sh

C

B

C

B

g

sh

C

B

C

⋅

=

⋅

=

⋅

⋅

⇒

=

⋅

 

 

(3.116) 

 

•

 

w wyniku podzielenia obu stron równania (3.115) przez 

C

B

Z

C

=

 wyznaczymy parametr 

C

 

 

 

g

sh

Z

C

C

B

g

sh

C

B

C

B

g

sh

C

B

C

⋅

=

=

⋅

⇒

=

⋅

1

 

 

(3.117) 

 

Po podstawieniu wyrażeń (3.113), (3.116) oraz (3.117) do układ równań (3.11) otrzymamy 

 

 











⋅

+

⋅

⋅

=

⋅

⋅

+

⋅

=

g

ch

I

g

sh

U

Z

I

g

sh

I

Z

g

ch

U

U

C

C

2

2

1

2

2

1

1

 

 

(3.118)