1
Prosta w
2
R
Równanie kierunkowe prostej .
b
mx
y
l :
tg
m
kąt pomiędzy prostą a osią Ox.
l
m
]
,
1
[
l
m ]
1
,
[
, bo
0
]
1
,
[
]
,
1
[
m
m
(również
l
m
]
1
,
[
)
Równanie kierunkowe prostej przez punkt
)
,
(
0
0
0
y
x
P
(prosta nie jest prostopadła do osi Ox).
)
(
:
0
0
x
x
m
y
y
l
0
0
)
(
:
y
x
x
m
y
l
0
0
y
mx
mx
y
b
mx
y
, gdzie
0
0
y
mx
b
*********************************
Równanie ogólne prostej przez punkt
0
P
.
Dane:
l
y
x
P
)
,
(
0
0
0
,
l
B
A
n
]
,
[
.
Niech
l
y
x
P
)
,
(
.
n
0
P
P
Mamy
n
y
y
x
x
P
P
]
,
[
0
0
0
0
0
n
P
P
0
]
,
[
]
,
[
0
0
B
A
y
y
x
x
0
)
(
)
(
0
0
y
y
B
x
x
A
0
C
By
Ax
, gdzie
0
0
By
Ax
C
równanie ogólne prostej przez punkt
0
P
]
,
[
B
A
wektor prostopadły do prostej.
Jeśli
0
A
i
0
B
to
0
y
y
(prosta prostopadła do osi Oy.
Jeśli
0
B
i
0
A
to
0
x
x
(prosta prostopadła do osi Ox.
*********************************
równanie kierunkowe
równanie ogólne
b
mx
y
0
b
y
mx
0
C
By
Ax
, gdzie
m
A
,
1
B
,
b
C
równanie ogólne
równanie kierunkowe
0
C
By
Ax
B
C
B
A
x
y
,
0
B
b
mx
y
, gdzie
B
A
m
,
B
C
b
*********************************
Równanie odcinkowe prostej.
1
b
y
a
x
b
równanie odcinkowe prostej
// liczby
b
a,
wyznaczają na osiach Ox, Oy układu odcinki o początku
a
w punkcie O i końcach, odpowiednio, w punktach
)
0
,
(a
oraz
)
,
0
( b
.
b
mx
y
l :
b
b
y
mx
:
, gdzie
0
b
1
1
y
x
b
b
m
1
/
b
y
m
b
x
x
1
b
y
a
x
2
*********************************
Przedstawienie wektorowe i przedstawienie parametryczne prostej.
Dane:
l
y
x
P
)
,
(
0
0
0
,
l
u
u
u
]
,
[
2
1
.
Niech
l
y
x
P
)
,
(
.
P
0
P
u
O
u
t
OP
OP
0
,
R
t
Mamy
u
y
y
x
x
P
P
]
,
[
0
0
0
u
t
P
P
0
,
R
t
(
u
t
P
P
0
)
u
t
P
P
0
,
R
t
przedstawienie wektorowe prostej przez punkt
)
,
(
0
0
0
y
x
P
równoległej do wektora u
.
]
,
[
]
,
[
]
,
[
2
1
0
0
u
u
t
y
x
y
x
]
,
[
]
,
[
2
1
0
0
tu
tu
y
y
x
x
]
,
[
]
,
[
2
1
0
0
tu
y
tu
x
y
x
1
0
tu
x
x
,
2
0
tu
y
y
2
0
1
0
tu
y
y
tu
x
x
,
R
t
przedstawienie parametryczne prostej
2
0
1
0
u
y
y
u
x
x
równanie kierunkowe prostej (
1
0
u
x
x
t
,
2
0
u
y
y
t
)
*********************************
Równanie wyznacznikowe prostej.
Dane:
)
,
(
),
,
(
1
1
1
0
0
0
y
x
P
y
x
P
Szukamy
l
y
x
P
)
,
(
0
1
1
1
1
1
0
0
y
x
y
x
y
x
równanie wyznacznikowe prostej przez punkty
)
,
(
0
0
0
y
x
P
,
)
,
(
1
1
1
y
x
P
Rozwijamy wyznacznik względem pierwszego wiersza:
0
1
1
1
1
1
0
0
y
x
y
x
y
x
0
)
(
)
(
)
(
0
1
1
0
1
0
1
0
y
x
y
x
x
x
y
y
y
x
0
C
By
Ax
, gdzie
)
(
0
1
y
y
A
,
0
1
x
x
B
,
0
1
1
0
y
x
y
x
C
0
)
(
)
(
0
0
y
y
B
x
x
A
Lub inaczej, z własności wyznacznika: (
2
1
1
w
w
w
,
2
3
3
w
w
w
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
y
y
x
x
y
x
y
y
x
x
0
0
1
0
1
0
0
y
y
x
x
y
y
x
x
0
)
)(
(
)
)(
(
0
1
0
0
1
0
x
x
y
y
y
y
x
x
0
)
(
)
(
0
0
y
y
B
x
x
A
gdzie
0
1
y
y
A
,
)
(
0
1
x
x
B
oraz
0
]
,
][
,
[
0
0
y
y
x
x
B
A
czyli
l
P
P
y
y
x
x
B
A
]
,
[
]
,
[
1
0
0
1
0
1
*********************************
3
Odległość punktu
)
,
(
0
0
0
y
x
P
od prostej
0
:
C
By
Ax
l
2
2
0
0
0
)
,
(
B
A
C
By
Ax
l
P
d
Uzasadnienie:
Prosta prostopadła do prostej l:
Bt
y
y
At
x
x
l
0
0
1
:
,
1
)
,
(
l
y
x
P
Wartość parametru t dla punktu przecięcia prostych l i
1
l
:
0
)
(
)
(
0
0
C
Bt
y
B
At
x
A
, czyli
2
2
0
0
B
A
C
By
Ax
t
Długość odcinka pomiędzy
)
,
(
0
0
0
y
x
P
oraz
1
)
,
(
l
y
x
P
dla
2
2
0
0
B
A
C
By
Ax
t
:
2
2
2
2
2
2
0
2
0
0
2
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
1
t
B
A
Bt
At
y
y
x
x
P
P
d
l
2
2
2
0
0
2
2
2
0
0
2
2
)
(
)
)(
(
B
A
C
By
Ax
B
A
C
By
Ax
B
A
2
2
0
0
0
2
0
)
,
(
)
,
(
B
A
C
By
Ax
P
P
d
P
P
d