Microsoft Word - Technik_elektronik_311[07]_Z7.02

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

MINISTERSTWO EDUKACJI
NARODOWEJ

Beata Organ
Jacek Krzysztoforski

Badanie układów sterowania z regulatorami ciągłymi
311[07].Z7.02

Poradnik dla ucznia

Wydawca

Instytut Technologii Eksploatacji – Państwowy Instytut Badawczy
Radom 2006

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Recenzenci:
mgr inż. Anna Górska
mgr inż. Grzegorz Śmigielski

Opracowanie redakcyjne:
mgr inż. Danuta Pawełczyk

Konsultacja:
mgr inż. Gabriela Poloczek

Korekta:
mgr inż. Urszula Ran

Poradnik stanowi obudowę dydaktyczną programu jednostki modułowej 311[07].Z7.02
„Badanie układów sterowania z regulatorami ciągłymi”, zawartego w modułowym programie
nauczania dla zawodu technik elektronik.

Wydawca

Instytut Technologii Eksploatacji – Państwowy Instytut Badawczy, Radom 2006

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

SPIS TREŚCI

1. Wprowadzenie

2. Wymagania wstępne

3. Cele kształcenia

4. Materiał nauczania

4.1. Struktury układów regulacji

4.1.1. Materiał nauczania

4.1.2. Pytania sprawdzające 25
4.1.3. Ćwiczenia 26
4.1.4. Sprawdzian postępów 27
4.2. Modele matematyczne obiektów i układów sterowania

4.2.1. Materiał nauczania

4.2.2. Pytania sprawdzające 35
4.2.3. Ćwiczenia 35
4.2.4. Sprawdzian postępów 38
4.3. Kryteria sterowania i sterowanie optymalne

4.3.1. Materiał nauczania

4.3.2. Pytania sprawdzające 52
4.3.3. Ćwiczenia 53
4.3.4. Sprawdzian postępów 54
4.4. Dobór optymalnych nastaw regulatorów PID

4.4.1. Materiał nauczania

4.4.2. Pytania sprawdzające 59
4.4.3. Ćwiczenia 59
4.4.4. Sprawdzian postępów 65
5. Sprawdzian osiągnięć

6. Literatura

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

1. WPROWADZENIE

Poradnik, będzie Ci pomocny w przyswajaniu wiedzy o budowie, zasadzie działania

i przeznaczeniu regulatorów ciągłych, doborze nastaw, a także ułatwi wykonywanie ćwiczeń,
zadań i umożliwi Ci przygotowanie się do czekających egzaminów.

Poradnik zawiera:

4. Wymagania wstępne, czyli wykaz niezbędnych wiadomości i umiejętności, które

powinieneś mieć opanowane, aby przystąpić do realizacji tej jednostki modułowej.

5. Cele kształcenia, czyli wykaz umiejętności, jakie ukształtujesz podczas pracy z tym

poradnikiem.

6. Materiał nauczania (rozdział 4), czyli wiadomości dotyczące badania układów sterowania

z regulatorami ciągłymi. Rozdział ten umożliwia samodzielne przygotowanie się
do wykonania ćwiczeń i zaliczenia sprawdzianów. Obejmuje on również ćwiczenia,
dzięki którym nabędziesz umiejętności praktycznych. Zawierają one:

− pytania sprawdzające wiedzę potrzebną do wykonania ćwiczenia,
− ćwiczenia wraz z opisem czynności, które musisz wykonać w trakcie ich realizacji,

− sprawdzian postępów, który pomoże Ci samodzielnie ocenić poziom swoich

umiejętności.

7. Sprawdzian osiągnięć zawierający zestaw zadań sprawdzających opanowanie wiedzy

i umiejętności z zakresu całej jednostki. Potraktuj go jako wskazówkę przy powtarzaniu
materiału. Pomoże Ci on ocenić, czy wystarczająco dobrze przygotowałeś się do
ćwiczenia lub testu podsumowującego tą jednostkę.

8. Literaturę, którą możesz wykorzystać do poszerzenia wiedzy na interesujące Cię

zagadnienia związane z tematem jednostki.
Jeżeli masz trudności ze zrozumieniem tematu lub ćwiczenia, to poproś nauczyciela

o wyjaśnienie i ewentualne sprawdzenie, czy dobrze wykonujesz daną czynność. Po
przerobieniu materiału spróbuj zaliczyć sprawdzian z zakresu jednostki modułowej.

Jednostka modułowa: „Badanie układów sterowania z regulatorami ciągłymi”, której

treści teraz poznasz, jest jedną z koniecznych do zapoznania się z sterowaniem procesami
technologicznymi z zastosowaniem regulatorów nieciągłych, co w przyszłości pozwoli Ci na
zrozumienie działania urządzeń z jakimi spotykasz się na co dzień, a także pozwoli na
podjęcie prac projektowych, montażowych, konserwatorskich związanych ze sterowaniem.

Bezpieczeństwo i higiena pracy

W czasie pobytu w pracowni, laboratorium musisz przestrzegać regulaminów, przepisów

bhp oraz instrukcji przeciwpożarowych, wynikających z rodzaju wykonywanych prac.
Przepisy te poznasz podczas trwania nauki.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Schemat układu jednostek modułowych dla modułu

„ Montowanie i eksploatowanie układów automatyki elektronicznej”

311[07].Z7.03

Badanie układów sterowania

z regulatorami nieciągłymi

Moduł 311[07].Z7

Montowanie i eksploatowanie układów

automatyki elektronicznej

311[07].Z7.01

Montowanie i testowanie połączeń

układów automatyki

311[07].Z7.02

Badanie układów sterowania

z regulatorami ciągłymi

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

2. WYMAGANIA WSTĘPNE

Przystępując do realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć:

− charakteryzować podstawowe zjawiska zachodzące w polu elektrycznym, magnetycznym

i elektromagnetycznym,

− mierzyć podstawowe wielkości elektryczne i parametry elementów elektrycznych,

− dobierać metody i przyrządy pomiarowe,
− przedstawiać wyniki pomiarów w różnej formie,

− interpretować wyniki pomiarów,

− wyjaśniać ogólne zasady działania i bezpiecznego użytkowania podstawowych maszyn

i urządzeń elektrycznych,

− klasyfikować elementy i układy elektroniczne,

− analizować działanie podstawowych elementów i układów elektronicznych,

− klasyfikować elementy i układy automatyki,
− rozróżniać podstawowe człony dynamiczne na podstawie charakterystyk skokowych,

− określać rolę poszczególnych elementów w układach automatycznej regulacji,

− analizować działanie podstawowych układów automatyki,
− korzystać z różnych źródeł informacji o elementach, podzespołach i układach

elektronicznych oraz elementach i układach automatyki,

− rysować schemat blokowy układu automatycznej regulacji,

− klasyfikować układ sterowania,
− klasyfikować układy automatycznej regulacji,

− klasyfikować regulatory,

− charakteryzować parametry sterowników mikroprocesorowych,
− uruchamiać i prezentować układ sterowania,

− sporządzać charakterystyki statyczne i dynamiczne przetworników pomiarowych

i elementów wykonawczych,

− stosować przepisy bezpieczeństwa i higieny pracy podczas montowania

i uruchamiania elementów i urządzeń automatyki.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

3. CELE KSZTAŁCENIA

W wyniku realizacji programu jednostki modułowej powinieneś umieć:

− zmontować układ sterowania z regulatorem ciągłym,

− zaplanować eksperyment pomiarowy w celu przeprowadzenia identyfikacji obiektu,

− wykonać zaplanowany eksperyment i zarejestrować odpowiednie zmienne procesowe,
− wyznaczyć, na podstawie zarejestrowanych przebiegów, parametry przybliżonego

modelu obiektu,

− wyznaczyć, dla przyjętego kryterium, optymalne nastawy regulatora,

− zaprogramować regulator,
− uruchomić układ sterowania i przeprowadzić rejestrację zmiennych procesowych,

− zinterpretować wyniki otrzymane dla sterowania z optymalnymi nastawami.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

4. MATERIAŁ NAUCZANIA

4.1. Struktury układów regulacji

4.1.1. Materiał nauczania

Własności układu automatyki zależą głównie od zastosowanej struktury połączeń jego

elementów. Poniżej przedstawione zostaną przykłady układów regulacji, które powinny
przedstawić strukturę i zasadę działania typowych układów regulacji.

Na rys. 1a przedstawiono schemat ideowy układu stabilizacji napięcia stałego generatora

napędzanego stałą prędkością obrotową ω = const.

Rys. 1. Układ stabilizacji napięcia generatora prądu stałego: [3, s. 92]

a) schemat ideowy, b) schemat obwodu twornika, c) schemat blokowy układu z trzema zmianami znaku

przyrostów sygnałów, d) schemat blokowy z jedną zmianą znaku przyrostów sygnałów

Zmiana wielkości prądu (i) pobieranego przez odbiornik (odbiorców), wpływa na zmianę

wartości napięcia y, co jest spowodowane spadkiem napięcia na rezystancji twornika R

Zmiana obciążenia, czyli zmiana prądu i, stanowi zakłócenie pracy generatora prądu stałego,
a więc wpływa na stabilność pracy układu. Z tego powodu koniecznym stało się
wprowadzenie układu automatycznej stabilizacji.

W tym układzie sygnał wyjściowy (napięcie) y jest porównywany z wartością zadaną

napięcia w, a różnica między nimi stanowi uchyb regulacji e, który wzmocniony
w wzmacniaczu wz, zasila silniczek wykonawczy prądu stałego obcowzbudny s. Silniczek ten
przez przekładnię p zmienia wartość oporności R w uzwojeniu wzbudzenia. W układzie jak
na rys. 1, wzrost napięcia wyjściowego y powoduje wzrost oporności R, co z kolei jest

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

powodem zmniejszenia się napięcia y. Takie połączenie nazywa się ujemnym sprzężeniem
zwrotnym.

Układ regulacji posiada jeszcze jedną istotną właściwość. Węzeł sumujący realizuje

równanie

−

Element ten (węzeł sumujący) powinien zapewniać, by zmiana sygnału wyjściowego nie

wpływała na zmianę sygnału zadanego, a więc ma wywołać jedynie zmianę uchybu
e. W układzie generatora prądu stałego taka sytuacja wystąpi, gdy wzmacniacz wz będzie
posiadał parametry wzmacniacza idealnego – nieskończoną rezystancję wejściową. Jako
element układu automatyki, wzmacniacz jest elementem bezinercyjnym o wzmocnieniu k

Wyżej podano, że w układzie występuje ujemne sprzężenie zwrotne. Cechuje się ono tą
własnością, że w pętli utworzonej z elementów występuje nieparzysta ilość zmiany znaku
przyrostów wielkości. W układzie jak na rys. 1c, występuje zmiana znaku przyrostu ∆e

w stosunku do ∆u, zmiana znaku przyrostu ∆e w stosunku do ∆y oraz zmiana przyrostu ∆u
w stosunku do ∆α.

Oczywiście wielokrotna zmiana znaku przyrostów wielkości nie jest potrzebna. Na rys 1d

przedstawiono równoważny schemat blokowy, w którym występuje tylko jedno „ujemne
wzmocnienie” w węźle sumującym. Jest to wystarczające do realizacji ujemnego sprzężenia
zwrotnego.

Rys. 2. Układ stabilizacji poziomu cieczy w zbiorniku: [3, s.94] a) schemat ideowy układu stabilizacji

poziomu, b) schemat blokowy układu, c) przekształcenie fragmentu układu z rys. 2b objętego linią przerywaną,

d) przekształcony schemat układu

W układzie stabilizacji poziomu cieczy w zbiorniku (rys. 2) poziom cieczy zależy od

różnicy pomiędzy nastawionym przez hydrauliczny element wykonawczy ew dopływem
objętościowym q

i wymuszonym przez pompę odpływem q

. Wartość zadaną poziomu

nastawia się przez wstępny naciąg sprężyny pokrętłem p. Stała f

pochodząca od wstępnie

naciągniętej sprężyny jest równoważona siłą f

oddziaływania mieszka m, w którym

proporcjonalne do poziomu ciśnienie jest zamienione na siłę. W wyniku porównaniu obu sił
ustala się położenie strumiennicy s, z której pod ciśnieniem wytryskuje strumień oleju. Jeżeli

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

strumiennica znajduje się w położeniu neutralnym względem obu otworów o

, o

, ciśnienia

nad i pod tłokiem t elementu ew są takie same i tłok stoi. Jeżeli nastąpi nieznacznie
wychylenie strumiennicy o kąt

α to na skutek różnicy ciśnień

tłok

t zaczyna się poruszać w odpowiednim kierunku, zmieniając dopływ q

. Obieg oleju jest

zamknięty.

W module 311[07].Z3 poznałeś elementy automatyki, podstawowe określenia, wzory

opisujące elementy. Jednak jak przedstawiono na dwóch przykładach opisanych powyżej,
niezbędne jest szersze (kompleksowe) spojrzenie na sterowanie i regulację procesami
technologicznymi.

System techniczny to zbiór dowolnych elementów tworzących określoną funkcjonalną

całość. Zgodnie z tym systemem można nazwać przedsiębiorstwo, wydział produkcyjny,
obrabiarkę, itp.

Istota sterowania w dowolnym systemie, polega na tym, że system wskutek sterowania

osiąga stany korzystniejsze niż stany, jakie w nim wystąpiłyby bez sterowania.

Określenie „stany korzystniejsze” w systemach technicznych oznacza, że przebieg

procesu technologicznego jest prawidłowy, zgodny z warunkami technicznymi lub optymalny
ze względu na założony cel produkcyjny.

W procesach produkcyjnych wskutek różnych nieuniknionych przyczyn zakłócających,

jak błędy obsługi, zakłócenia w dostawie energii, surowców, awarie, występują odstępstwa od
procesów prawidłowych. W trakcie przebiegu procesu należy więc podjąć pewne czynności
by osiągnąć stany korzystniejsze niż w przypadku braku tych czynności.

W takim rozumieniu, sterowanie procesami technicznymi to nie tylko czynności

wpływające na przebieg procesu, ale także związane z nadzorem, kontrolą, zabezpieczeniami,
sprawozdawczością, itp.

Systemy techniczne ze względu na stosowane metody sterowania dzieli się na układy

i systemy wielkie.
W układach występuje sterowanie pojedynczymi procesami. Na ogół są to układy stabilizacji
parametrów na zadanym poziomie np. utrzymywanie temperatury, poziomu cieczy itp.
W systemach wielkich, system sterowania obejmuje wiele układów lub podsystemów
powiązanych wspólnym celem działania.

Cechą charakterystyczną systemów wielkich jest kompleksowe ujmowanie sterowania,

a więc uwzględnienie udziału ludzi, maszyn, źródeł surowców i energii oraz powiązania
informacyjne pomiędzy poszczególnymi częściami systemu i powiązania z innymi
systemami.

Wspólną cechą układów sterowania jest uzyskiwanie, przetwarzanie, przesyłanie

i wyzyskiwanie informacji. W trakcie sterowania należy uzyskać informacje o aktualnym
stanie procesu, ocenić na podstawie tej informacji ewentualne odstępstwa od prawidłowego
przebiegu procesu i sformułować działania nastawcze – przetwarzanie informacji. Z kolei
działania nastawcze realizowane są w zespołach wykonawczych – wyzyskiwanie informacji.

Każdy układ regulacji składa się z obiektu i urządzenia sterującego. Urządzenie sterujące

obejmuje wszystkie zespoły i elementy zapewniające automatyczne sterowanie procesem.
Natomiast urządzenie technologiczne lub maszynę, w której przebiegają procesy sterowane
nazywa się obiektem.

Rozróżnia się dwa główne rodzaje systemów sterowania: systemy sterowania otwartego

(bez sprzężenia zwrotnego) i systemy sterowania zamkniętego (ze sprzężeniem zwrotnym).

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

urządzenie sterujące

2 3 Obiekt

Rys. 3. Schemat strukturalny systemu sterowania otwartego: 1 – urządzenie wejściowe,

2 – urządzenie przełączające (układ logiczny), 3 – urządzenie wyjściowe,

w- wielkość sterująca (wiodąca), y – wielkość regulowana

Systemy sterowania otwartego (rys. 3) występują we wszelkich rodzajach automatach

o działaniu cyklicznym. Do tych urządzeń należą automaty handlowe (np. sprzedaż biletów,
napojów), automaty oświetleniowe, itp. W każdym z nich sygnał wejściowy inicjujący cykl
powoduje pojawienie się określonej wielkości wyjściowej z obiektu, np. po wrzuceniu
monety, żetonu (sygnał wejściowy) uzyskuje się puszkę napoju (sygnał wyjściowy).

W układzie otwartym, obieg sygnału nie tworzy obwodu zamkniętego.
Układy sterowania otwartego są nieprzydatne do stabilizacji wielkości wyjściowej.

Konieczny jest inny sposób sterowania.

obiekt

urządzenie

pomiarowe

- y

urządzenie w

sterujące

Rys. 4. Schemat strukturalny układu sterowania ze sprzężeniem zwrotnym:

u – sygnał nastawczy, z – wymuszenie zakłócające, e – odchyłka (sygnał błędu, uchyb),

– sygnał wyjściowy z urządzenia pomiarowego, w – wielkość zadana

Istotą tej struktury (rys. 4) jest występowanie toru, po którym wielkość wyjściowa y

z obiektu jest przesyłana na wejście obiektu. W układzie tworzy się zamknięty obwód
przekazywania sygnałów. Układ o tej strukturze sterowania jest układem sterowania ze
sprzężeniem zwrotnym.

W systemach sterowania ze sprzężeniem zwrotnym do elementarnych zadań sterowania

należy realizacja warunku

w - y

= e

→

gdzie:

→

oznacza „dąży do 0”, tzn. utrzymanie uchybu e na poziomie bliskim zeru, co jest

równoznaczne ze stabilizacją sygnału y

na poziomie w.

Układy sterowania, których celem jest spełnienie tego elementarnego warunku, należą do

układów regulacji.

Układy regulacji zależnie od wartości zadanej dzieli się na układy regulacji

stałowartościowej (stabilizacji), programowej, nadążnej i ekstremalnej. W regulacji
stałowartościowej wartość zadana ma w określonym czasie wartość stałą. Zadaniem układu
regulacji stałowartościowej jest utrzymywanie stałej wartości regulowanej niezależnie od
działających zakłóceń. Regulacja stałowartościowa jest najczęściej stosowana w praktyce

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

przemysłowej. W regulacji nadążnej wartość zadana podlega zmianom nieprzewidywalnym.
Układ regulacji nadążnej powinien zapewnić zmianę wielkości regulowanej w zależności od
zmian innej wielkości fizycznej, zwanej wielkością wiodącą. W tym przypadku wartość
zadana jest funkcją innej wielkości, do której wielkość regulowana powinna się
dostosowywać. Regulacja nadążna nazywa się też często regulacją  śledzącą. Przykładem są
radarowe układy nadążne artylerii przeciwlotniczej. Układy nadążne, w których wielkością
regulowaną jest wielkość mechaniczna, taka jak przesunięcie, prędkość  kątowa, itd., są
nazywane serwomechanizmami. W regulacji programowej wartość zadana zmienia się
zgodnie z ustalonym uprzednio programem czasowym. Układ regulacji programowej jest
szczególnym przypadkiem układu  śledzącego. Zadaniem układu regulacji ekstremalnej jest
utrzymanie maksymalnej lub minimalnej wartości wielkości regulowanej, jaką tylko można
osiągnąć, przy aktualnie występujących zakłóceniach.

Innym kryterium klasyfikacji układów regulacji automatycznej mogą być np. liczba

wielkości regulowanych w obiekcie oraz sposób pomiaru wielkości regulowanej.

Ze względu na liczbę wielkości regulowanych wyróżniamy jedno- i wielowymiarowe

układy regulacji.

Ze względu na sposób pomiaru wielkości regulowanej, można dokonać podziału układów

regulacji automatycznej na układy analogowe i cyfrowe. W układach tych bardzo istotną rolę
pełnią odpowiednio przetworniki A/C i C/A.

Projektując układ regulacji należy uwzględnić wiele czynników, dokonać jego analizy

tak, by uzyskać informacje o:
− nastawach regulatora,

− strukturze układu,

− zależności jaka powinien spełniać regulator,

− jakości regulacji,

− niezawodności układu w warunkach pracy normalnej i awaryjnej,

− kosztach,

− dostępności na rynku i inne.

Korzystanie z metod analizy wymaga znajomości zasad pracy układu automatycznej

regulacji i funkcji poszczególnych elementów w układzie.

Matematyczny opis układu regulacji

Właściwości ciągłego elementu lub układu liniowego o parametrach stałych można

opisać za pomocą równania różniczkowego, liniowego, o stałych współczynnikach i postaci
ogólnej:

−

przy czym dla fizycznie realizowanych przypadków obowiązuje warunek m

≤ n. Jest to

równanie rzędu n względem wielkości wyjściowej – y, zaś x oznacza wymuszenie (wielkość
wejściową), t – czas, a

i b

– współczynniki stałe (k = 0, 1, 2, ..., n; l = 0, 1, 2, ..., m).

Opis typu wejście – wyjście w przedstawionej powyższej postaci nie jest najczęściej zbyt

wygodny. Bardzo duże uproszczenie tego opisu uzyskuje się wprowadzając pojęcie
transmitancji operatorowej.

Metoda operatorowa polega na zastosowaniu przekształcenia, zwanego przekształceniem

Laplace`a, które pozwala zastąpić równanie różniczkowo-całkowe zwykłym równaniem
algebraicznym. Przekształcenie Laplace`a przyporządkowuje danej funkcji transformatę
(obraz przekształcenia) i odwrotnie

f(t)

↔

F(s).

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Załóżmy, że X(s) jest transformatą Laplace`a wymuszenia x(t) pojawiającego się dla

t > 0, a Y(s) – transformatą szukanego sygnału wyjściowego y(t). Wówczas powyższe
równanie wejście – wyjście, w dziedzinie transformat, przy zerowych warunkach
początkowych, można zapisać jako
(a

+ a

n-1

+ a

n-2

+ ... + a

s + a

) Y(s) = (b

+ b

m-1

+ b

m-2

+ ... + b

s +

+ b

) X(s).

Transmitancją operatorową nazywa się iloraz transformat wyjścia i wejścia, przy

zerowych warunkach początkowych

G(s) =

)

(

)

(

−

przy czym m

≤ n.

Transmitancja G(s) jest funkcją zmiennej zespolonej s i ma tę właściwość, że w wyniku

pomnożenia transformaty wejścia X(s) przez transmitancję G(s) otrzymuje się transformatę
wyjścia Y(s):

X(s) G(s) = Y(s).

Ponieważ transmitancja operatorowa opisuje w sposób kompletny właściwości elementu

lub układu liniowego, wpisujemy ją wewnątrz prostokąta symbolizującego dany element
na schematach blokowych układów automatyki.

Wyznaczanie transmitancji podstawowych połączeń elementów

Połączenie szeregowe (rys. 5).

x a b

(s)

≡

G(s)

Rys. 5. Połączenie szeregowe elementów

Transmitancja główna elementów połączonych szeregowo (rys.5), wynosi:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

czyli

( )

⋅

a więc jest iloczynem transmitancji elementów tworzących układ.

Połączenie równoległe (rys. 6).

(s) +a

(s)

≡

G(s)

(s)

Rys. 6. Połączenie równoległe elementów

Transmitancja główna elementów połączonych równolegle (rys. 6), wynosi:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

czyli

( )

a więc jest sumą algebraiczną transmitancji elementów tworzących układ.

Połączenie ze sprzężeniem zwrotnym (rys. 7).

(s)

± +

(s)

Rys. 7. Układ ze sprzężeniem zwrotnym

W przypadku ujemnego sprzężenia zwrotnego równanie węzła sumacyjnego jest
następujące:

E(s) = W(s) – Y(s),

a równanie opisujące sygnał wyjściowy ma postać:

Y(s) = K

(s) K

(s)E(s).

Po przekształceniach otrzymujemy:

G(s) =

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

W przypadku dodatniego sprzężenia zwrotnego równanie węzła sumacyjnego jest

następujące:

E(s) = W(s) +Y(s),

zatem zmieni się tylko znak sumy w mianowniku transmitancji.
Transmitancja układu ze sprzężeniem zwrotnym (rys. 7) określana jest zależnością

( )

⋅

Gdy w mianowniku występuje znak „+”, mamy do czynienia z układem z ujemnym

sprzężeniem zwrotnym, natomiast gdy występuje znak „-”, - to układ z dodatnim sprzężeniem
zwrotnym.

Transmitancja układu zamkniętego

Rys. 8. Schemat blokowy układu z wyróżnionymi wymuszeniami:

wartością zadaną w i zakłóceniem z [3, s. 97]

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Na rys. 8, elementy występujące pomiędzy miejscami wejścia zakłócenia z a głównym

węzłem sumującym przedstawiono w postaci jednego bloku o transmitancji K

(s). Pozostałe

elementy pętli skupiono w drugim bloku transmitancji K

*(s). Analizując schemat blokowy

układu, jak na rys. 8 uzyskujemy równania:

( )

( ) ( )

( )

[

]

( )

−

( )

−

Wprowadzając oznaczenie

( )

( ) ( )

jako transmitancję otwartego układu, otrzymujemy:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

−

We wzorze powyższym, przedstawiającym zależność pomiędzy wymuszeniami

w i z, a wielkością regulowaną y w układzie zamkniętym występują dwie transmitancje.
Pierwsza z nich

( )

przy

nazywa się transmitancją główną zamkniętego układu, natomiast druga

( )

przy

)

(

)

(

−

nazywa się transmitancją zakłóceniową zamkniętego układu.

Po przekształceniach, otrzymujemy zależność pomiędzy uchybem E(s) a wymuszeniami

W(s) i Z(s):

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

We wzorze tym, także występują dwie transmitancje. Transmitancja

( )

przy

zwana jest transmitancją uchybową zamkniętego układu.

Transmitancja

( )

)

(

przy

)

(

)

(

)

(

)

(

tak jak poprzednio, jest transmitancją zakłóceniową zamkniętego układu.

W przypadku, gdy w układzie działa kilka zakłóceń (Z

(s), i = 1, 2, ... , n) otrzymuje się

dla uchybu w zamkniętym układzie następującą zależność:

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

∑

gdzie:

)

(

- transmitancja zastępcza elementów znajdujących się pomiędzy wejściem

i-tego zakłócenia a głównym węzłem sumującym.

Kształtowanie własności dynamicznych

Na rys. 9, przedstawiono układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym, składający się

z bezinercyjnego wzmacniacza o bardzo dużym wzmocnieniu k

>> 1 oraz elementu

dynamicznego o transmitancji β(s).

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

w +

β(s)

Rys. 9. Układ regulacji ze sprzężeniem zwrotnym przez blok

– wzmocnienie wzmacniacza, β(s) – transmitancja elementu sprzężenia zwrotnego

Transmitancja układu z rys. 9, wynosi:

)

(

)

(

Przy wzmocnieniu k

>> 1 transmitancja spełnia zależność:

)

(

)

(

)

(

≈

Transmitancja G(s) zależy tylko od parametrów transmitancji sprzężenia zwrotnego β(s),

a nie zależy od parametrów wzmacniacza. Zatem wzmocnienie k

może się zmieniać, byle

tylko było duże. Tę własność wykorzystuje się do konstrukcji regulatorów analogowych jako
elementów o pożądanych własnościach dynamicznych.

Ujemne sprzężenie zwrotne jest podstawową cechą układu regulacji automatycznej.
Zasadniczą własnością układu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym jest to, że przy

dostatecznie dużym wzmocnieniu, przy którym układ jest stabilny, uchyb jest zbliżony
do zera.

Własności statyczne i dynamiczne podstawowych elementów automatyki

Jeżeli istnieje proporcjonalność między zmianami sygnału wyjściowego y i zmianami

sygnału wejściowego x elementu, to charakterystyka statyczna elementu y = f(x) jest linią
prostą (rys.10), a element taki nazywamy liniowym. W charakterystyce liniowej nachylenie
wykresu K, nazywane współczynnikiem wzmocnienia, ma wartość stałą, niezależną od
wartości sygnału wejściowego, która jest równa tangensowi kąta nachylenia charakterystyki
statycznej.

K =

∆

= tg α = const

W układach regulacji automatycznej rzeczywiste elementy mają często charakterystyki

statyczne nieliniowe, w których współczynnik wzmocnienia zależy od wartości sygnału
wejściowego (rys.11). Człony takie nazywamy nieliniowymi. Przybliżoną wartość
współczynnika wzmocnienia elementu nieliniowego, dla określonej wartości sygnału
wejściowego, otrzymamy zastępując jego charakterystykę statyczną odcinkiem stycznej
w danym punkcie i przyjmując tanges kąta nachylenia stycznej jako wzmocnienie.

Dla wybranych na wykresie punktów nachylenie wykresu wynosi:

− dla punktu P

∆

= tg α

− dla punktu P

∆

= tg α

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Rys. 10. Charakterystyka statyczna elementu liniowego

[8, s.14]

Rys. 11. Charakterystyka statyczna elementu

nieliniowego [8, s. 14]

Zastępowanie charakterystyki nieliniowej odcinkiem linii prostej nazywamy linearyzacją.

Linearyzacja pozwala określić wartość współczynnika wzmocnienia jedynie

w niewielkim otoczeniu punktu pracy. Im większe jest otoczenie punku pracy, tym większy
jest błąd spowodowany linearyzacją.

Charakterystyki dynamiczne określają zachowanie się bloków w stanach nieustalonych,

po zadaniu określonego przebiegu sygnału wejściowego. Do określania charakterystyk
dynamicznych układu sterowania lub jego części stosuje się, wytworzone specjalnie w tym
celu, standardowe sygnały wejściowe (tab. 1), których przebieg czasowy odwzorowuje z góry
określoną funkcję.

Tabela 1. Standardowe sygnały wejściowe (wymuszenia) stosowane do badania elementów automatyki
[8, s. 15]

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Najczęściej do określania właściwości dynamicznych członów stosuje się standardowe

wymuszenie skokowe jednostkowe przybierające w dowolnej chwili czasu wartość skoku
równą jeden a odpowiedź elementu lub układu na to wymuszenie nazywamy odpowiedzią
skokową jednostkową. Odpowiedź skokowa członu to odpowiedź na standardowe
wymuszenie skokowe przybierające w dowolnej chwili czasu stałą wartość x

Rodzaje podstawowych członów dynamicznych automatyki. Człon proporcjonalny

Człon proporcjonalny (bezinercyjny) jest to najprostszy element automatyki, którego

właściwości dynamiczne mogą być pominięte i który w związku z tym jest wystarczająco
dokładnie opisywany charakterystyką statyczną

y = k·x,

gdzie:
− y – wielkość wyjściowa,

− x – wielkość wejściowa,

− k – współczynnik wzmocnienia (proporcjonalności).

Charakterystykę statyczną elementu proporcjonalnego przedstawia rys. 12, natomiast

charakterystykę odpowiedzi skokowej przedstawia rys.13.

Rys. 12. Charakterystyka statyczna elementu

proporcjonalnego [8, s. 17]

Rys. 13. Odpowiedź skokowa elementu

proporcjonalnego [8, s. 17]

Współczynnik wzmocnienia elementu obliczamy z charakterystyki skokowej:

)

(

)

(

⋅

= k.

W zapisie rachunku operatorowego człon proporcjonalny (bezinercyjny) opisany jest

transmitancją, która jest równa współczynnikowi proporcjonalności:

G(s) =

)

(

)

(

= k.

Przykładem elementu proporcjonalnego jest dźwignia dwustronna (rys. 14). Siła F

przyłożona do jednego końca dźwigni powoduje, że natychmiast pojawia się na drugim końcu
siła F

, której wartość zależy od stosunku odległości punktów przyłożenia sił od punktu

podparcia dźwigni:

·a = F

·b,

⋅

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Rys. 14. Dźwignia dwustronna [16, s. 34]

Rys. 15. Rezystancyjny dzielnik napięcia [8, s. 18]

Przykładem elektrycznego elementu proporcjonalnego jest rezystancyjny dzielnik

napięcia (rys. 15). Sygnałem wejściowym x jest napięcie U

, przyłożone w chwili t

, które

powoduje, że na zaciskach wyjściowych w tej samej chwili pojawi się napięcie U

jako

sygnał wyjściowy y, którego wartość wynosi:

gdzie: k =

- jest wzmocnieniem elementu proporcjonalnego.

Do elementów proporcjonalnych (bezinercyjnych) zaliczamy również wszystkie

połączenia sztywne, zawory, przekładnie.

Człon inercyjny I rzędu

Właściwości dynamiczne członu inercyjnego I rzędu dobrze oddaje jego odpowiedź

skokowa (rys. 16). Wielkość wyjściowa tego członu wykazuje, w stosunku do wymuszenia
przyłożonego na wejściu, pewną „bezwładność” (inercję). Stąd nazwa tego członu. Człon
inercyjny ma także charakterystykę statyczną, która określa zależność między stałą w czasie
wartością wielkości wejściowej a wartością ustaloną wielkości wyjściowej.

Rys. 16. Odpowiedź skokowa elementu inercyjnego I rzędu: x(t) – sygnał wejściowy, y(t) – sygnał

wyjściowy, k, T – parametry członu [8, s. 19]

Odpowiedź na wymuszenie skokowe ma postać:

y(t) = K(1 – e

−

gdzie:
− K - wzmocnienie członu,

− e – stała (podstawa logarytmów naturalnych),

− T – stała czasowa.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Szybkość zmian wielkości wyjściowej jest charakteryzowana za pomocą parametru T,

zwanego stałą czasową i mającego wymiar czasu. Im większa jest wartość tego parametru,
tym wolniej nadąża wielkość wyjściowa za wejściową.

Stałą czasową T członu inercyjnego otrzymujemy jako czas określony rzutem odcinka

stycznej 0A na asymptotę wyznaczająca wartość ustaloną wielkości wejściowej. Możemy
wyznaczyć ją również podstawiając do wyżej podanego równania opisującego odpowiedź na
wymuszenie skokowe t = T:

y(T)

≈ 0,632·K.

W przypadku skokowej zmiany wielkości wejściowej, wielkość wyjściowa człony

inercyjnego I rzędu zmienia się w ciągu każdego przedziału czasu o długości T o ok. 63%
różnicy między jej wartością początkową a wartością ustaloną, do której dąży.

Człon inercyjny I rzędu opisany jest równaniem różniczkowym

)

(

+ y(t) = K x(t)

lub transmitancją w zapisie rachunku operatorowego

G(s) =

Charakterystykę członu inercyjnego ma wiele urządzeń (samą lub w połączeniu z innymi

członami). Inercję spotykamy przede wszystkim tam, gdzie występuje pokonywanie
bezwładności i oporów ruchu. Przykładowo charakterystykę inercyjną będzie miał wykres
prędkości wirowania silnika elektrycznego po włączeniu go do sieci, wykres prędkości
liniowej samochodu po zmianie położenia dźwigni gazu. Za pomocą inercji możemy
przedstawić właściwości dynamiczne np.: żelazka, garnka, w którym podgrzewana jest woda,
zbiornika ze swobodnym odpływem

Przykładem w elektronice członu inercyjnego I rzędu jest czwórnik typu RC lub LR

(rys.17). W przypadku czwórnika RC odpowiedzią na wymuszenie skokowe napięcia U

, jest

napięcie na ładującym się kondensatorze, a w przypadku czwórnika LR – napięcie na
odbiorniku, wprost proporcjonalne do narastającego prądu w obwodzie. Stałe czasowe

podanych elementów inercyjnych są odpowiednio równe: RC i

Rys. 17. Realizacja elektryczna elementu inercyjnego I rzędu za pomocą: a) czwórnika RC,

b) czwórnika LR [8, s. 21]

Człon inercyjny II rzędu

Łańcuchowe połączenie dwóch elementów inercyjnych I rzędu prowadzi do układu

zwanego elementem inercyjnym II rzędu. Przykładem w dziedzinie elektroniki takiego
elementu może być połączenie dwóch członów inercyjnych typu RC (rys. 18) lub LR.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Rys. 18. Realizacja elektryczna elementu inercyjnego II rzędu [8, s. 20]

Człon R

wprowadza opóźnienie początkowe, ponieważ napięcie na kondensatorze jest

traktowane jako sygnał wejściowy dla członu R

Równanie różniczkowe elementu inercyjnego II rzędu ma postać:

+ (T

+ T

)

+ y = Kx,

gdzie: T

, T

– stałe czasowe,

K – współczynnik proporcjonalności.

Transmitancja operatorowa ma postać:

G(s) =

)

)(

(

Rys. 19. Odpowiedź skokowa elementu inercyjnego II rzędu: x(t) – sygnał wejściowy,

y(t) – sygnał wyjściowy [8, s. 19]

Na rys. 19 przedstawiona jest odpowiedź skokowa członu inercyjnego II rzędu oraz

sposób wyznaczania stałych czasowych T

, T

. Element inercyjny II rzędu często po

uproszczeniu traktowany jest jako element inercyjny I rzędu o stałej czasowej T

z początkowym opóźnieniem T

. Jest to typowy model dynamiczny wielu procesów

przemysłowych.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Człon całkujący

Charakterystyka odpowiedzi skokowej członu całkującego przedstawiona jest na rys. 20.

Rys. 20. Odpowiedź skokowa członu całkującego: x(t) – sygnał wejściowy,

y(t) – sygnał wyjściowy [8, s. 21]

Odpowiedź skokowa y(t) jest określona zależnością:

y(t) =

·t,

gdzie:
− T – stała czasowa całkowania ( czas po, którym odpowiedź skokowa osiągnie wartość

wymuszenia).

Element całkujący opisany jest równaniem różniczkowym:

= k·x

lub transmitancją operatorową

G(s) =

Jak widać z przebiegu odpowiedzi skokowej, która narasta liniowo do nieskończoności,

człon całkujący nie osiąga stanu ustalonego. Człon całkujący nazywany jest członem
astatycznym, bo nie ma on charakterystyki statycznej. Ponieważ osiąga on stan ustalony tylko
przy zerowej wartości sygnału wejściowego (rys. 21).

Rys. 21. Zmiana sygnału wyjściowego członu całkującego przy skokowych zmianach sygnału

wejściowego [9, s. 22]

Przykładem fizycznym elementu całkującego jest zbiornik, w którym zarówno dopływ,

jak i odpływ są wymuszane i niezależne od poziomu cieczy. Również silnik elektryczny,

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

idealizując sposób jego rozruchu ( silnik rusza z prędkością znamionową, nie wykazując
inercji), jest przykładem modelu członu całkującego. W chwili załączenia napięcia, które dla
małych silników ma charakter skokowy, obserwujemy liniowo narastającą liczbę obrotów
wału silnika.

Człon inercyjny I rzędu można, przez pewien czas stanowić dobre przybliżenie członu

całkującego. Im większa jest stała czasowa członu inercyjnego, tym dłuższy jest ten czas.
W związku z tym, przy bardzo dużych wartościach stałych czasowych członu inercyjnego
można go traktować jak człon całkujący.

Człon różniczkujący

Idealny element różniczkujący opisany jest równaniem różniczkowym:

y(t) = k

lub transmitancją operatorową

G(s) = k s.

Odpowiedzią skokową idealnego członu różniczkującego (rys. 22) jest funkcja Diraca

pomnożona przez współczynnik proporcjonalności oraz amplitudę wymuszenia wejściowego.
Możemy powiedzieć, że odpowiedzią członu różniczkującego idealnego jest sygnał
o znikomo krótkim czasie trwania (o zerowym czasie trwania) i nieskończenie wielkiej
amplitudzie.

Rys. 22. Odpowiedź skokowa idealnego członu różniczkującego: x(t) – sygnał wejściowy, y(t) – sygnał

wyjściowy [8, s. 21]

W rzeczywistych układach fizycznych nie możliwe jest uzyskanie impulsu

o nieograniczonej amplitudzie, w związku z tym właściwości członu różniczkującego
idealnego bada się wymuszeniem liniowo narastającym (rys. 23).

Rys. 23. Odpowiedź idealnego członu różniczkującego przy liniowo narastającym sygnale wejściowym

[9, s. 23]

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Jak widać na rys. 23, przy liniowo narastającym wymuszeniu na wyjściu idealnego

członu różniczkującego otrzymujemy funkcję skokową. Przykładem takiego członu może być
prądnica prądu stałego, której sygnałem wejściowym jest kąt obrotu wału, a sygnałem
wyjściowym napięcie o stałej wartości, proporcjonalnej do prędkości wirowania wału.

Człon różniczkujący rzeczywisty jest opisany równaniem różniczkowym:

+ y = k

dla którego transmitancja operatorowa wynosi

G(s) = k

gdzie:
− T – stała czasowa członu różniczkującego,

− k – współczynnik wzmocnienia.
Na rys. 24 przedstawiona jest odpowiedź skokowa tego członu.

Rys. 24. Odpowiedź skokowa rzeczywistego członu różniczkującego: x(t) – sygnał wejściowy, y(t) –

sygnał wyjściowy, T – stała różniczkowania [8, s. 23]

Przebieg zmian sygnału wyjściowego y(t) rzeczywistego członu różniczkującego

przedstawia zależność:

y(t) =

·e

gdzie: x

– wartość skoku wymuszenia.

Taka samą odpowiedź skokową jak na rys. 24 otrzymalibyśmy przy szeregowym

połączeniu członów: inercyjnego ze stałą czasową T i różniczkującego idealnego.

Przykładem w elektronice elementu różniczkującego jest dzielnik napięcia RL i czwórnik

CR (rys. 25).

Rys. 25. Przykład rzeczywistego członu różniczkującego: a) dzielnik napięcia RL, b) czwórnik CR [8, s. 25]

Człon oscylacyjny

Człon oscylacyjny jest opisany równaniem różniczkowym:

+ T

+ y = kx(t)

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

lub transmitancją operatorową

G(s) =

gdzie:

−

, T

– stałe czasowe,

T <

T ,

−

k – współczynnik proporcjonalności.

Rys. 26. Odpowiedź skokowa członu oscylacyjnego dla różnych współczynników tłumienia: x(t) – sygnał

wejściowy, y(t) – sygnał wyjściowy [8, s. 25]

Przebiegi odpowiedzi na wymuszenie skokowe członu oscylacyjnego przedstawia

rys. 26. Zależą one od wartości współczynnika tłumienia ζ =

. Dla współczynnika ζ

≥ 1

charakterystyka przypomina odpowiedź członu inercyjnego, dla ζ < 1 występują oscylacje.

Przykładem realizacji elektrycznej elementu oscylacyjnego jest szeregowy obwód

rezonansowy złożony z elementów RLC jak na rys. 27. Sygnałem wejściowym układu jest
napięcie U

, sygnałem wyjściowym – napięcie U

. Parametry elementu oscylacyjnego

określają następujące zależności:

⋅ , T

= R·C, ζ =

Rys. 27. Realizacja elektryczna elementu oscylacyjnego [8, s. 26]

Człon opóźniający (continuum RL)

Sygnał wyjściowy elementu opóźniającego ma taki sam kształt jak sygnał wejściowy,

lecz przesunięty w czasie. Równanie człon opóźniającego ma postać:

y(t) = x(t – T

gdzie: T

– opóźnienie.

Jego transmitancja operatorowa wynosi:

G(s) = k·

−

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

a odpowiedź skokową przedstawia rys. 28.

Rys. 28. Odpowiedź skokowa członu opóźniającego: x(t) – sygnał wejściowy, y(t) – sygnał wyjściowy

[8, s. 27]

Człon opóźniający nie wprowadza zniekształceń sygnału wejściowego, lecz przesuwa

go w czasie o pewną stałą wartość T

. Człon ten opisuje czas transportu materiału, czas

potrzebny do przesłania sygnału. W związku z tym, człon ten często nazywany jest
opóźnieniem transportowym. Przykładami członu opóźniającego są: np. odcinek rurociągu
wprowadzający opóźnienie w przesyle jakiegoś medium, taśmociąg. W dziedzinie elektroniki
przykładem takiego członu jest linia opóźniająca 64µs (sygnały podawane są w odstępie
czasu trwania linii, czyli przez 64µs na matrycę dekodera) stosowana w kolorowych
odbiornikach telewizyjnych.

Innym modelem członu opóźniającego jest linia elektryczna, w której uwzględniono

tylko indukcyjność L i pojemność C na jednostkę długości (rys. 29). Stąd inna nazwa członu
opóźniającego – continuum LC.

Rys. 29. Continuum LC [15, s. 60]

4.1.2. Pytania sprawdzające

Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.

1. Jakie są podstawowe układy łączenia elementów?
2. Jaki jest wzór na transmitancję zastępczą szeregowego i równoległego połączenia

elementów?

3. Jakie zależności opisują układy ze sprzężeniem zwrotnym?
4. Jaki wpływ na działanie układu ma sprzężenie zwrotne, gdy wzmocnienie wzmacniacza

jest bardzo duże?

5. Jaki zachowa się układ ze sprzężeniem zwrotnym, gdy pojawi się zakłócenie

w dowolnej części układu?

6. Jak charakteryzuje się elementy liniowe?
7. Jakie poznałeś elektryczne modele podstawowych członów automatyki?

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

4.1.3. Ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Wyznacz

transmitancję układu jak na rys. Uwzględnij wartości elementów.

Rys. do ćwiczenia 1. Schemat ideowy układu

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:

1)  zapoznać się z instrukcją wykonania ćwiczenia,
2)  zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
3)  wykonać obliczenia,
4)  zaprezentować wykonane ćwiczenie,
5)  dokonać oceny poprawności wykonanego ćwiczenia,
6)  sporządzić sprawozdanie z przebiegu ćwiczenia, załączając schematy układu, otrzymane

wyniki, obliczenia i wnioski z badań.

Wyposażenie stanowiska pracy:

− zeszyt,

− instrukcja ćwiczenia,

− literatura z rozdziału 6.

Ćwiczenie 2

Wyznacz transmitancję układu jak na rys. Uwzględnij wartości elementów.

Rys. do ćwiczenia 2. Schemat ideowy układu

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:

1) zapoznać się z instrukcją wykonania ćwiczenia,

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

2)  zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
3)  wykonać obliczenia,
4)  zaprezentować wykonane ćwiczenie,
5)  dokonać oceny poprawności wykonanego ćwiczenia,
6)  sporządzić sprawozdanie z przebiegu ćwiczenia, załączając schematy układu, otrzymane

wyniki, obliczenia i wnioski z badań.

Wyposażenie stanowiska pracy:

− zeszyt,

− instrukcja ćwiczenia,

− literatura z rozdziału 6.

4.1.4. Sprawdzian postępów

Tak Nie

Czy potrafisz:

1) obliczyć transmitancję zastępczą połączonych szeregowo elementów?

2) obliczyć transmitancję wzmacniacza objętego sprzężeniem zwrotnym?

3) przekształcić układ automatyki?

4) obliczyć odpowiedź układu na wymuszenie skokiem jednostkowym?

5) przewidzieć wpływ zakłócenia na wielkość regulowaną?

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

4.2. Modele matematyczne obiektów i układów sterowania

4.2.1. Materiał nauczania

Sterowanie polega na oddziaływaniu na określony proces fizyczny w celu uzyskania

pożądanego przebiegu tego procesu. Wśród wielu odmian wyróżnić można sterowanie:
− sekwencyjne,

− czasowe,

− sekwencyjno-czasowe,

− nadążne,

− programowe.

Cechą charakterystyczną sterowania sekwencyjnego jest zapewnienie właściwej

kolejności wykonywania operacji technologicznych.

Sterowanie czasowe, polega na tym, że odpowiednie oddziaływanie urządzenia

sterującego odbywa się według z góry ustalonego programu czasowego. Najczęściej chodzi
o utrzymanie odpowiedniego odstępu czasowego między dwoma zdarzeniami.

Sterowanie sekwencyjno-czasowe stanowi połączenie dwóch wyżej przedstawionych

odmian sterowania. W układach sterowania nadążnego wartość wielkości wiodącej (zadanej)
nie jest z góry znana, lecz zmienia się dość przypadkowo. W układach sterowania
programowego wielkość wiodąca zmienia się w sposób z góry znany, zgodnie z określonym
programem. Program ten może być zmieniany przez obsługę.

Jako regulatory wykorzystuje się układy przekaźnikowe, logiczne, sterowniki,

komputery.

Niejednokrotnie wskutek występowania wielu zakłóceń, zmieniających się w szerokim

zakresie, zastosowanie prostych układów regulacji automatycznej nie pozwala uzyskać
zadawalającego przebiegu procesu technologicznego. Konieczne jest zastosowaniem bardziej
złożonych układów regulacji. Wśród złożonych struktur układów regulacji automatycznej
można wyróżnić układy regulacji:
− z pomocniczą wielkością nastawczą,

− kaskadowej,

− z pomiarem wielkości zakłócającej.

Dobór najwłaściwszej struktury układu regulacji jest zadaniem trudnym i wymaga bardzo

dobrej znajomości właściwości statycznych i dynamicznych obiektu regulacji.

Układy regulacji z pomocniczą wielkością nastawczą (rys. 30) stosuje się w celu

poprawienia przebiegu wielkości regulowanej w stanach nieustalonych. W układzie wyróżnia
się dwie wielkości nastawiające: główną y i pomocniczą y

, a tym samym dwa elementy

wykonawcze. Aby pomocniczy element wykonawczy mógł ingerować również w stanach
nieustalonych, jest on sterowany przez element dynamiczny typu D lub PD.

Rys. 30. Schemat blokowy układu regulacji z pomocniczą wielkością nastawiającą:

y – główna wielkość nastawiająca, y

– pomocnicza wielkość nastawiająca,

- wielkość zadana,

e – uchyb, z – zakłócenie, x – wielkość regulowana, R – regulator, CD – człon dynamiczny

Obiekt

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Rys. 31. Układ regulacji temperatury komory nagrzewanej pyłem węglowym

z pomocniczą wielkością nastawiającą [14, s. 104]

MK – młyn kulowy, C – cyklon, R – regulator, PD –regulator pomocniczy typu PD, K – komora spalania

Przykładem układu regulacji z pomocniczą wielkością nastawiającą jest układ regulacji

temperatury w komorze K nagrzewanej pyłem węglowym (rys. 31). Po zmieleniu węgla
w młynie kulowym MK pył zostaje przetransportowany wraz ze strumieniem powietrza do
cyklonu C, gdzie osiada na jego dnie. Prosty sposób regulacji może polegać na pomiarze
temperatury i oddziaływaniu na prędkość kątową młyna. Cecha charakterystyczną takiego
obiektu jest duża wartość czasu opóźnienia oraz stałej czasowej. Dla polepszenia regulacji
wykorzystano jako pomocniczą wielkość nastawiającą strumień powietrza dostarczający pył
węglowy bezpośrednio do komory spalania. Zmniejszenie się wartości temperatury

w stosunku do zadanej

ϑ powoduje:

− zwiększenie stopnia otwarcia zaworu, wskutek czego nastąpi chwilowe zwiększenie

przepływu powietrza porywającego za sobą cząstki pyłu,

− zwiększenie prędkości kątowej młyna, co z kolei spowoduje zwiększenie ilości

wytwarzanego paliwa.
Powietrze dodatkowe doprowadzone bezpośrednio do komory spalania uzupełnia ilość

powietrza do całkowitego spalania.

Rys. 32. Układ regulacji ciśnienia w zbiorniku, z wykorzystaniem [14, s. 105]

pomocniczej wielkości nastawiającej

P – pompa, Z – zbiornik, R – regulator, D – regulator typu D, M – silnik

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Rys. 32 przedstawia zbiornik zasilany przez pompę P. Wielkością regulowaną jest

ciśnienie w zbiorniku. Nastawianie ciśnienia przez zmianę prędkości kątowej

pompy P jest

sposobem bardzo ekonomicznym (małe zużycie energii), ale równocześnie bardzo powolnym.
Zmniejszenie odpływu Q ze zbiornika powoduje w nim nadmierny wzrost ciśnienia, co jest
bardzo niebezpieczne. Zastosowanie zaworu pomocniczego powoduje, w przypadku wzrostu
ciśnienia, szybkie przymknięcie zaworu. Spowoduje to zwiększenie spadku ciśnienia na
zaworze nie dopuszczając do wystąpienia nadmiernego ciśnienia w zbiorniku. W normalnym
stanie pracy zawór jest całkowicie otwarty.

W niektórych przypadkach można dla określonego obiektu wybrać pewną wyjściową

wielkość pomocniczą, na którą wszelkie zakłócenia wpływają znacznie wcześniej niż na
wielkość regulowaną. Często wielkością pomocniczą może być wielkość regulowana, ale
zmierzona w jakimś miejscu pośrednim.

Wykorzystanie wielkości pomocniczej w układzie regulacji umożliwia regulatorowi

odpowiednio wcześniej wpłynąć na wielkość nastawianą, niżby to było możliwe w przypadku
odczekania aż do chwili uwidocznienia wpływu tego zakłócenia na wielkość regulowaną.
Układ umożliwiający realizowanie takiego oddziaływania nosi nazwę układu regulacji
kaskadowej.

obiekt

O1 O2

Rys. 33. Schemat blokowy układu regulacji kaskadowej: R

– regulator główny,

– regulator pomocniczy, x

- wielkość zadana, e - uchyb x

– pomocnicza wielkość regulowana,

x – wielkość regulowana, O1, O2 – części obiektu

Schemat blokowy układu regulacji kaskadowej przedstawiono na rys. 33. W obiekcie

regulacji wyodrębniono dwie części:
− blok O1 symbolizuje wpływ wielkości nastawianej na pomocniczą wielkość regulowaną

− blok O2 symbolizuje wpływ wielkości x

na wielkość regulowaną x.

W strukturze można także wyodrębnić dwa obwody regulacyjne:
− pomocniczy z regulatorem R

−

główny z regulatorem R

Obwód z regulatorem głównym R

, jest obwodem wolno działającym, wspomagającym

pracę obwodu pomocniczego. Przeciwdziała on głównie tym zakłóceniom, które wpływają
bezpośrednio na główną wielkość regulowaną.

W porównaniu z prostymi układami regulacji, układy regulacji kaskadowej posiadają

następujące zalety:
− większą dokładność regulacji,

− mniejsze wahania wartości wielkości wyjściowej w wyniku ograniczenia zakresu

zmienności pomocniczej wielkości regulowanej,

− znaczny stopień i prędkość tłumienia zakłóceń przez obwód pomocniczy.

Układy regulacji kaskadowej są powszechnie stosowane, gdyż umożliwiają uzyskanie

regulacji na odpowiednim, zadawalającym poziomie.

Modele statyczne i dynamiczne w automatyce

Skuteczność sterowania dowolnego układu wymaga poznania jego zachowania się

w czasie, czyli znajomości odpowiedzi na pytanie, jakie są skutki działania w układzie
określonej przyczyny. Każdy układ fizyczny, którego zachowanie zmienia się w czasie

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

nazywamy układem dynamicznym. Układy automatyki są w większości układami
dynamicznymi. Rozpatruje się ich właściwości, podobnie jak elementów automatyki, podając
na ich wejście standardowe sygnały wejściowe i obserwuje ich odpowiedzi na określone
wymuszenie. Wyniki badań zależą od liniowości układu lub odstępstw od liniowości. Układ
dynamiczny jest liniowy gdy spełnia on zasadę superpozycji, a równanie różniczkowe
opisujące układ jest liniowe. Właściwie układy liniowe nie istnieją, np. prawo Ohma dla
rezystora jest prawdziwe tylko dla pewnych wartości prądów i napięć, a po przekroczeniu
wartości odpowiadającej mocy znamionowej rezystor ulega zniszczeniu.

Dla pełnej oceny właściwości obiektu dynamicznego przeprowadza się badania

w stanach ustalonych i przejściowych (nieustalonych). Właściwość układu dynamicznego
określona w stanie ustalonym nazywa się charakterystyką statyczną. Ze względu na kształt
charakterystyki statycznej, obiekty regulacji (sterowania) dzielimy na:
− obiekty liniowe,

− obiekty nieliniowe.

Większość obiektów sterowania ma charakterystykę statyczną nieliniową. Analizując

nieliniową charakterystykę statyczną (rys.34) możemy jednak określić zakres zmian
sygnałów, w którym poszczególne obiekty traktuje się jako liniowe. Dzięki temu, badając
obiekty w otoczeniu punktu pracy, zastępujemy charakterystykę krzywoliniową –
charakterystyką liniową. Również analiza układów liniowych jest prostsza niż nieliniowych.

Rys. 34. Ilustracja zakresu liniowości nieliniowej charakterystyki statycznej [13, s. 67]

Charakterystyki statyczne obiektów regulacji

Model statyczny obiektu możemy przedstawić jako szeregowe lub równoległe

połączenie podstawowych elementów automatyki. Również elementy składowe mogą być
połączone w układ sprzężenia zwrotnego. Analizę takiego modelu statycznego obiektu
przeprowadzić możemy posługując modelami przedstawionymi graficznie.

Konstruowanie charakterystyki obiektu, którego dwa elementy są połączone równolegle

(rys. 35), sprowadza się do narysowania charakterystyk tych elementów na jednym wykresie
oraz ich dodaniu graficznym.

Rys. 35. Równoległe łączenie elementów: a) schemat blokowy, b) wypadkowa charakterystyka statyczna

[13, s. 58]

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

W celu otrzymania charakterystyki wynikowej obiektu, którego dwa elementy są

połączone szeregowo (rys. 36), wykonuje się złożenie (superpozycję) charakterystyk tych
elementów.

Rys. 36. Szeregowe łączenie elementów: a) schemat blokowy, b) wypadkowa charakterystyka statyczna

[13, s. 58]

Jeżeli elementy są połączone przez sprzężenie zwrotne, to charakterystykę wypadkową

wyznacza się w zależności od znaku sprzężenia według schematu z rys. 37:
− dla ujemnego sprzężenia zwrotnego krzywa y = f

(x),

− dla dodatniego sprzężenia zwrotnego krzywa y = f

(x).

W zależności od znaku sprzężenia, sygnał x opisany jest zależnościami:

− dla sprzężenia ujemnego

x = k + l,

− dla sprzężenia dodatniego

x = k – l.

Rys. 37. Układ sprzężenia zwrotnego: a) schemat, b) wypadkowe charakterystyki statyczne przy sprzężeniu

dodatnim y = f

(x) i ujemnym y = f

(x) [8, s. 33]

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Charakterystyki dynamiczne obiektów regulacji

Ze względu na przebieg odpowiedzi skokowej obiekty regulacji możemy podzielić na:

− statyczne (z samowyrównaniem), w których wielkość sterowana (regulowana) y osiąga

stan ustalony w otwartym układzie sterowania (bez pomocy regulatora),

− astatyczne (bez samowyrównania), w których wielkość sterowana y nie może osiągnąć

stanu ustalonego bez regulatora.

Zapewnienie dobrych parametrów układom regulacji stosowanym w przemyśle jest

często trudne, gdy w obiekcie występuje opóźnienie, np. związane z transportem składników
reakcji procesu chemicznego. Opóźnienie jest tak ważnym składnikiem dynamiki obiektu, że
często możemy zaniedbać wpływ innych składników i dlatego typowym modelem
dynamicznym obiektu (procesu) przemysłowego jest:
− opóźnienie z inercją opisane równaniem różniczkowym (obiekt statyczny

z samowyrównaniem - rys. 38 a):

y(t) + T

)

(

= Kx(t – T

gdzie:
− współczynnik wzmocnienia K = y

− zastępczy czas opóźnienia T

− zastępcza stała czasowa T

;

− lub opóźnienie z całkowaniem opisane równaniem różniczkowym (obiekt astatyczny bez

samowyrównania – rys. 38 b):

)

(

= Kx(t - T

gdzie:
− zastępczy czas opóźnienia T

− stała całkowania T

= x

/ tg α (lub k = 1/ tg α gdy y jest inną wielkością fizyczną niż x).

Rys. 38. Przebieg odpowiedzi na wymuszenie skokowe: a) obiektu statycznego, b), c) obiektu astatycznego

[16, s. 40]

Na rys. 38 c przedstawiono odpowiedź obiektu astatycznego – opóźnienie z inercją

i całkowaniem, którą charakteryzują następujące parametry:
− zastępczy czas opóźnienia T

− zastępcza stała czasowa części inercyjnej odpowiedźi obiektu T

− stała całkowania T

= x

/ tg α (lub k = 1/ tg α gdy y jest inną wielkością fizyczną niż x).

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Wyznaczanie charakterystyk obiektów dynamicznych

Charakterystyki statyczną i dynamiczną obiektu można wyznaczyć zarówno analitycznie

jak i doświadczalnie.

Właściwości ciągłego elementu, obiektu lub układu liniowego o parametrach stałych

można opisać za pomocą równania różniczkowego, liniowego, o stałych współczynnikach.

Teoretyczne wyznaczenie właściwości dynamicznych na podstawie odpowiedzi na

typowe wymuszenie wymaga rozwiązania równania różniczkowego. Można to zrobić
dwiema metodami:
− metodą klasyczną polegającą na rozwiązaniu równania (obliczeniu pierwiastków

równania i wyznaczeniu stałych na podstawie warunków początkowych, wymagana jest
znajomość wyższej matematyki),

− metodą operatorową polegającą na zastosowaniu przekształcenia, zwanego

przekształceniem Laplace`a, które pozwala zastąpić równanie różniczkowo-całkowe
zwykłym równaniem algebraicznym.

Przekształcenie Laplace`a, powszechnie stosowane w automatyce, przyporządkowuje

danej funkcji transformatę (obraz przekształcenia) i odwrotnie

f(t)

↔

F(s).

Załóżmy, że X(s) jest transformatą Laplace`a wymuszenia x(t) pojawiającego się dla t > 0,
a Y(s) – transformatą szukanego sygnału wyjściowego y(t).

Transmitancją operatorową nazywa się iloraz transformat wyjścia i wejścia, przy

zerowych warunkach początkowych

G(s) =

)

(

)

(

Transmitancja G(s) jest funkcją zmiennej zespolonej s i ma tę właściwość, że w wyniku

pomnożenia transformaty wejścia X(s) przez transmitancję G(s) otrzymuje się transformatę
wyjścia Y(s):

X(s) G(s) = Y(s).

Ponieważ transmitancja operatorowa opisuje w sposób kompletny właściwości elementu

lub układu liniowego, wpisujemy ją wewnątrz prostokąta (bloku) symbolizującego dany
element na schematach blokowych układów automatyki.

Na podstawie charakterystyki operatorowej można wyznaczyć charakterystyki statyczne

elementów, obiektów i układów regulacji, a także charakterystyki dynamiczne – odpowiedzi
na typowe wymuszenia, np. skok jednostkowy. Jest to znacznie prostsze niż rozwiązywanie
metodą klasyczną równania różniczkowego, ale wymaga znajomości rachunku
operatorowego.

Praktyczne wyznaczenie charakterystyk obiektu wymaga:

− przygotowanie obiektu do badań ( ustalenie wielkości wejściowych i wyjściowych oraz

zakresów ich zmian),

− doboru aparatury pomiarowej ( odpowiedni zakres pomiarowy, inercyjność wskazań

przyrządów znacznie mniejsza od inercyjności obiektu),

− montażu aparatury pomiarowej na obiekcie ( montaż przyrządów zgodnie z ich

dokumentacją techniczno-ruchową),

− przygotowania tabel pomiarowych.

W celu wyznaczenia charakterystyki statycznej (rys. 39 a) dokonuje się, w stanach

ustalonych, odczytów wartości sygnału wyjściowego y dla kolejnych wartości sygnału
wejściowego x. Pomiary należy przeprowadzić w całym zakresie zmian pracy obiektu. Jeżeli
zmiany sygnału wejściowego nie następują w sposób ciągły, to należy przyjąć kwant
(przyrost w kolejnych odczytach) sygnału. Wartość kwantu może być zmieniana w trakcie
pomiaru, np. w obszarach dużych nachyleń charakterystyk kwant powinien być mniejszy.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Charakterystykę odpowiedzi skokowej obiektu wyznacza się w otoczeniu wybranego

punktu pracy. Wartość wymuszenia skokowego powinna wynosić 5÷15 % maksymalnej
swojej wartości oraz znajdować się na takim poziomie, aby odpowiedź skokowa mieściła się
w obszarze punku pracy. Wartość skoku na wejściu zależy od stopnia nieliniowości
charakterystyki statycznej (im bardziej nieliniowa tym wartość skoku mniejsza – rys. 39 a, b).
W przypadku badań obiektów podczas ich eksploatacji, do wyznaczenia odpowiedzi
skokowej często stosuje się wymuszenie impulsem prostokątnym (rys. 39 c). Wartość
impulsu wynosi 15÷25% zakresu zmian wymuszenia. Impuls prostokątny traktowany jest jak
dwa sygnały skokowe o takiej samej wartości ale o przeciwnych znakach i opóźnione
względem siebie o czas τ.

Rys. 39. Charakterystyka obiektów: a) przebieg charakterystyki statycznej, b) odpowiedź obiektu y(t) na

wymuszenie skokowe ∆x = x

– x

, c) odpowiedź obiektu h(t) na wymuszenie impulsowe ∆x = x

– x

[16, s. 40]

4.2.2. Pytania sprawdzające

Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.

1.  Jakie są podstawowe struktury układów regulacji?
2.  Jakie właściwości posiada układ regulacji kaskadowej?
3.  Jakie czynniki decydują o wyborze struktury układu sterowania?
4.  Jaki jest cel stosowania układu sterowania z pomocnicza wielkością nastawczą?
5.  Kiedy układ dynamiczny jest liniowy?
6.  Jak wyznacza się charakterystykę statyczną układu dynamicznego?
7.  Kiedy możemy traktować obiekty o nieliniowej charakterystyce statycznej jako liniowe?
8.  W jaki sposób wyznacza się graficznie model obiektu złożonego z dwóch elementów

połączonych równolegle?

9. W jaki sposób wyznacza się charakterystykę graficzną wypadkową dwóch elementów

połączonych szeregowo?

10. Jak dzieli się obiekty regulacji ze względu na przebieg odpowiedzi skokowej?
11. W jaki sposób możemy wyznaczyć teoretycznie własności dynamiczne obiektu regulacji?
12. Jakie wymagania należy spełnić aby wyznaczyć doświadczalnie charakterystyki obiektu?
13. W jaki sposób wyznacza się charakterystykę odpowiedzi skokowej obiektu regulacji?

4.2.3. Ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Badanie układu dynamicznego, który jest przedstawiony na rysunku poniżej. Jest to

naczynie z wodą o objętości ok. 1l z wymuszonym strumieniem wody 5· 10

-6

-1

ogrzewane grzałką zasilaną z sieci przez autotransformator. Sygnałem wyjściowym układu

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

jest temperatura wody (υ

lub υ

), a sygnałem wejściowym moc grzałki P. Pomiaru

temperatury dokonaj termometrem cieczowo-szklanym. Pomiar mocy P= UI wykonaj metodą
pośrednią, przy pomocy woltomierza i amperomierza. Wyznacz charakterystyki statyczne
υ

1,2

= f(P) i charakterystyki dynamiczne. Określ użyteczny zakresu liniowości podanego

układu oraz podaj właściwości dynamiczne na podstawie charakterystyki skokowej.

Uwaga: Grzałkę przyłącz do sieci dopiero po zanurzeniu jej w wodzie.

Rysunek do ćwiczenia 1. [6, s. 35]

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:

1) zapoznać się z wiadomościami dotyczącymi wyznaczania charakterystyk statycznych

i dynamicznych obiektów regulacji,

2)  zapoznać się z instrukcją do ćwiczenia,
3)  zapoznać się z aparaturą pomiarową oraz badanym obiektem,
4)  zmontować badany układ na podstawie schematu,
5)  określić jakie współrzędne charakteryzują stan badanego układu dynamicznego,
6)  wyznaczyć charakterystykę statyczną układu dynamicznego jako zależność υ

= f(P),

7) wyjaśnić czy na podstawie otrzymanej charakterystyki można stwierdzić liniowość

badanego układu,

8) wybrać liniowy zakres charakterystyki,
9) określić wartość skoku sygnału wejściowego odpowiadającego połowie zakresu liniowego

charakterystyki statycznej,

10) wyznaczyć charakterystykę skokową,
11) wyznaczyć z wykresu stałą czasową T i wzmocnienie układu k,
12) opracować i zinterpretować otrzymane wyniki,
13) zaprezentować efekty swojej pracy,
14) dokonać oceny wykonania ćwiczenia.

Wyposażenie stanowiska pracy:

–  naczynia z wodą z wymuszonym przepływem,
–  wąż gumowy (klucz szklany),
–  grzałka o mocy P

= 500 W,

–  autotransformator,
–  termometr szklany o zakresie 0 ÷ 100˚C,
–  mierniki (woltomierz, amperomierz),
–  instrukcja ćwiczenia,
–  zeszyt,
–  przybory do pisania i rysowania,
–  literatura z rozdziału 6 poradnika.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Ćwiczenie 2

W układzie podanym na rysunku poniżej wyznacz charakterystyki: statyczną

i dynamiczną czwórnika RC.

Rysunek do ćwiczenia 2. [6, s. 36]

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:

1) zapoznać się z wiadomościami dotyczącymi wyznaczania charakterystyk statycznych

i dynamicznych obiektów regulacji,

2)  zapoznać się z instrukcją do ćwiczenia,
3)  zapoznać się z aparaturą pomiarową,
4)  zmontować układ według rysunku,
5)  określić, jakie współrzędne charakteryzują stan badanego układu dynamicznego,
6)  wyznaczyć charakterystykę statyczną układu dynamicznego,
7)  wyjaśnić, czy na podstawie otrzymanej charakterystyki można stwierdzić liniowość

badanego układu,

8) wybrać liniowy zakres charakterystyki,
9) określić wartość skoku sygnału wejściowego odpowiadającego połowie zakresu

liniowego charakterystyki statycznej,

10)  wyznaczyć charakterystykę skokową,
11)  wyznaczyć z wykresu stałą czasową T i wzmocnienie układu k,
12)  opracować i zinterpretować otrzymane wyniki,
13)  zaprezentować efekty swojej pracy,
14)  dokonać oceny wykonania ćwiczenia.

Wyposażenie stanowiska pracy:

–  generator,
–  oscyloskop,
–  wyłącznik,
–  czwórnik RC,
–  bateria 9V,
–  instrukcja do ćwiczenia,
–  przybory do pisania i rysowania,
–  literatura z rozdziału 6.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

4.2.4. Sprawdzian postępów

Tak Nie

Czy potrafisz:

1) wyznaczyć charakterystyki statyczne i dynamiczne obiektu regulacji?

2) wyznaczyć liniowy zakres charakterystyki statycznej obiektu?

3) rozróżnić układy sterowania?

4) opisać zasadę działania układów z pomiarem wielkości zakłócającej?

5) wymienić zalety układów

regulacji

kaskadowej?

6) odczytać z przebiegu odpowiedzi skokowej stałą czasową

T i wzmocnienie k?

7) podać, w jaki sposób wyznacza się wartość wymuszenia skokowego

w celu wyznaczenia charakterystyki dynamicznej układu?

8) podać, w jaki sposób uzyskuje się charakterystykę skokową w trakcie

eksploatacji obiektu?

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

4.3. Kryteria sterowania i sterowanie optymalne

4.3.1. Materiał nauczania

Stabilność jest określana jako zdolność zachowania pewnego stanu równowagi (rys. 40).

Stabilność charakteryzuje właściwości dynamiczne układu, które są warunkiem jego
prawidłowej pracy.

Układ zamknięty liniowy jest stabilny, jeżeli dla wymuszeń równych zeru i dowolnych

warunków początkowych uchyb w układzie dąży do zera w stanie ustalonym (rys. 41).
Rozróżnia się dwa rodzaje stabilności:
1. stabilność układu w stanie swobodnym – gdy na układ nie działają sygnały zewnętrzne

(zarówno sterujące jak i zakłócające),

2. stabilność układu poddanego działaniom zakłócającym.

Rys. 40. Rodzaje równowagi [wykład prof. dr hab. inż. J. Kowala – AGH]

Podstawowym warunkiem prawidłowej pracy liniowych układów sterowania jest ich

stabilność w stanie swobodnym. Dlatego duże znaczenie mają metody jej sprawdzania.

a)

Rys. 41. Przykładowe charakterystyki czasowe:

a) układów stabilnych, b) układów niestabilnych

Obecnie zastosowanie techniki komputerowej znacznie ułatwia określenie stabilności

układów. Jednak często chcemy zbadać wpływ zmian poszczególnych parametrów na

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

stabilność oraz jej zapas, tzn. ustalić jak warunki pracy układu różnią się od krytycznych, po
których przekroczeniu układ liniowy traci stabilność. W takich przypadkach stosuje się tzw.
kryteria stabilności lub metodę linii pierwiastkowych i bada się stabilność bez rozwiązywania
równania charakterystycznego. Można skorzystać z kryteriów algebraicznych Routha
i Hurwitza oraz częstotliwościowych Michajłowa i Nyquista oraz kryterium logarytmicznego.

Kryteria algebraiczne Routha i Hurwitza umożliwiają sprawdzenie, czy układ liniowy jest

stabilny na podstawie wartości współczynników tzw. równania charakterystycznego – bez
jego rozwiązywania [3]. Korzystając z częstotliwościowego kryterium stabilności można
wnioskować o stabilności układu na podstawie przebiegu odpowiednich charakterystyk
częstotliwościowych.

Kryterium Michajłowa umożliwia badanie stabilności układu liniowego na podstawie

przebiegu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej wykresu funkcji K(jω), otrzymanej

z wielomianu charakterystycznego K(s) po podstawieniu s = jω.
Zgodnie z tym kryterium przebiegi y

(t) zanikają w funkcji czasu, jeżeli pierwiastki równania

charakterystycznego są rzeczywiste ujemne lub zespolone o częściach rzeczywistych
ujemnych, a jeżeli chociażby jedna z części rzeczywistych s

jest dodatnia to y

(t) zmierza do

nieskończoności czyli układ jest niestabilny.

Kryterium Nyquista

Niech będzie dany układ otwarty o transmitancji G

(s) (rys. 42). Po wprowadzeniu

ujemnego, sztywnego sprzężenia zwrotnego otrzymujemy układ zamknięty (rys. 43).

Rys. 42. Schemat układu otwartego

W +

Rys. 43. Schemat układu zamkniętego

Dla przypadku gdy układ otwarty jest stabilny, układ zamknięty też jest stabilny, jeżeli

)]

(

[

arg

∆

∞

Można wnioskować więc o stabilności układu zamkniętego na podstawie przebiegu

charakterystyki [1 + G

(jω)] na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Tę charakterystykę

otrzymuje się po przesunięciu charakterystyki amplitudowo-fazowej G

(jω) układu otwartego

w prawo o odcinek o długości równej jednostce skali osi odciętych. W związku z tym zamiast
rozważać przyrost argumentu charakterystyki [1 + G

(jω)] przy zmianach pulsacji ω od 0 do

∞

można badać, czy i w jaki sposób charakterystyka G

(jω) obejmuje wtedy punkt (-1, j0)

znajdujący się na osi rzeczywistej. Wynikające z tych rozważań kryterium stabilności podane
przez Nyquista formułuje się następująco:
1. Jeżeli układ otwarty jest stabilny asymptotycznie, to układ zamknięty jest stabilny

asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, gdy wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej
G

(jω) układu otwartego przy zmianie pulsacji ω od 0 do

∞

nie obejmuje punktu

(- 1, j0).

(s)

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

2. Jeżeli układ otwarty jest niestabilny i jego transmitancja ma m biegunów w prawej

półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej, to układ zamknięty jest stabilny wtedy i tylko
wtedy, gdy wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej G

(jω) układu otwartego przy

zmianie pulsacji ω od 0 do

∞

obejmuje punkt (- 1, j0)

razy.

Rys. 44. Charakterystyki amplitudowo-fazowe stabilnego układu otwartego [12, s. 255]

1 – krzywa dla wzmocnienia, przy którym układ zamknięty jest stabilny, 2 – krzywa dla wzmocnienia,

przy którym układ zamknięty jest niestabilny

Na rys. 44 pokazano wykresy G

(jω) dla układu otwartego stabilnego asymptotycznie.

W przypadku, gdy wypadkowe wzmocnienie tego układu jest takie, że wykres G

(jω)

przebiega jak krzywa 1, układ zamknięty jest stabilny. Wtedy bowiem charakterystyka
amplitudowo-fazowa układu otwartego nie obejmuje punktu (- 1, j0) przy zmianie ω od 0 do

∞

. Natomiast przy odpowiednio większym wzmocnieniu wykres G

(jω) przebiegając

zgodnie z krzywą 2, obejmuje punkt (- 1, j0), a zatem układ zamknięty jest niestabilny.

Rys. 45. Charakterystyka amplitudowo-fazowa niestabilnego układu otwartego [12, s. 256]

Rys. 45 przedstawia charakterystykę amplitudowo-fazową niestabilnego układu

otwartego. W celu sprawdzenia ile razy wykres G

(jω) obejmuje punkt (- 1, j0) przy zmianach

ω od 0 do

∞

, wyznaczamy dla tego zakresu pulsacji wypadkową zmianę argumentu

φ wektora poprowadzonego z punktu (- 1, j0) do bieżącego punktu krzywej G

(jω). Dla

poszczególnych części tej krzywej (rys. 45) odpowiednie zmiany

∆

kąta φ wynoszą:

od A do B

∆

od B do C

∆

od C do D

∆

od D do E

∆

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

od E do F

∆

od F do G

∆

od G do 0

−

∆

Rys. 46. Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego [12, s. 257]

Wypadkowa zmiana argumentu

∆

∑

a więc krzywa G

(jω) z rys. 46 objęła punkt (- 1, j0) dwa razy.

Zgodnie z kryterium Nyquista układ zamknięty jest stabilny wtedy i tylko wtedy gdy

liczba biegunów transmitancji G

(s) w prawej półpłaszczyźnie jest równa m = 4. Natomiast

przy innej liczbie tych biegunów układ zamknięty jest niestabilny.

Stabilność układu zamkniętego dogodnie jest sprawdzić na podstawie liczby przecięć

charakterystyki G

(jω) z osią rzeczywistą z lewej strony punktu (- 1, j0), tzn. na jej części od

–1 do

∞

− . Jeżeli ustali się, że dodatnimi nazywa się przecięcia odpowiadające przejściu

charakterystyki G

(jω) przez tę część osi rzeczywistej z kierunku z góry w dół, a ujemnymi –

przecięcia odpowiadające przejściu charakterystyki G

(jω) przez tę część osi rzeczywistej

w kierunku z dołu do góry (oznaczenia na rys. 45 i 46), obserwując zmianę argumentu
wnioskujemy o stabilności lub niestabilności układu zamkniętego.

Zatem gdy układ otwarty jest asymptotycznie stabilny, wtedy układ zamknięty jest

stabilny, jeżeli wykres G

(jω) przebiega albo zgodnie z krzywą 1 albo z krzywą 2 na rys. 46.

Stosowanie kryterium Nyquista do analizy i syntezy układów liniowych

jednowymiarowych jest szczególnie przydatne w przypadku gdy układ otwarty jest stabilny.
Wtedy można korzystać także z charakterystyki amplitudowo-fazowej G

(jω) zdjętej

doświadczalnie, co jest nieraz dogodne przy badaniu realnych układów.

Gdy układ otwarty jest niestabilny, wtedy w celu stosowania kryterium Nyquista należy

znać liczbę biegunów transmitancji G

(s) położonych w prawej płaszczyźnie. Wyznacza się je

na podstawie znanej struktury układu i znanych transmitancji elementów składowych. Gdy
układ otwarty ma lokalne sprzężenie zwrotne, należy je odpowiednio uwzględnić.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Rys. 47. Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego [12, s. 264]

Gdy zmieniamy pulsację ω od 0 do

∞

(rys. 47), stosując kryterium Nyquista stwierdza

się, że układ zamknięty jest stabilny asymptotycznie, jeżeli krzywa G

(jω) układu otwartego

nie obejmuje punktu (- 1, j0).

Jedną z zalet kryterium Nyquista jest to, iż można je stosować dla układów zamkniętych

zawierających elementy opóźniające.

Ważną zaletą kryterium Nyquista jest łatwość określenia zapasu stabilności układu

badanego.

W pobliżu granicy stabilności stany nieustalone są oscylacyjne o tym mniejszym

tłumieniu, im bliżej granicy niestabilności znajduje się układ. Dlatego projektując układ
dążymy by układ regulacji miał żądany zapas stabilności, tzn. aby był dostatecznie odległy od
granicy niestabilności.

Korzystając z charakterystyk częstotliwościowych układów stabilnych zapas stabilności

(rys. 48) określa się za pomocą:
− zapasu modułu (wzmocnienia) λ [dB], lub ∆K,
− zapasu fazy ϕ

∆ [

Zapas modułu określa krotność o jaką musiałoby wzrosnąć wzmocnienie przy

niezmiennym argumencie układu otwartego, aby układ zamknięty znalazł się na granicy
niestabilności.

Zapas fazy określa wartość zmiany argumentu transmitancji widmowej układu otwartego

przy niezmiennym wzmocnieniu, która doprowadziłaby układ zamknięty do granicy
niestabilności.

Zapas fazy

∆ podaje się zawsze w stopniach, natomiast zapas modułu λ, w przypadku

operowania charakterystykami logarytmicznymi, podaje się w decybelach [dB],

a w przypadku operowania liniową charakterystyką amplitudowo-fazową (rys. 49) zapas
wzmocnienia ∆K podaje się w jednostkach bezwymiarowych.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Rys. 48. Zapas fazy ∆φ [

] i zapas modułu λ: [dB] [1, s. 300] a) na charakterystyce logarytmicznej

amplitudowo-fazowej, b) na logarytmicznych charakterystykach modułu M(ω) i fazy φ(ω) układu otwartego.

Rys. 49. Określenie zapasów modułu i fazy [1, s. 31]

Pomiędzy zapasem modułu λ i zapasem wzmocnienia k istnieje zależność

]

[

∆

W praktyce układy automatycznej regulacji projektuje się zwykle tak, aby zapas modułu

≥ 6 dB i zapas fazy ∆ϕ ≥ 30

Logarytmiczne kryterium stabilności

Jeżeli dana jest funkcja przejścia otwartego układu regulacji w postaci charakterystyk

logarytmicznych (amplitudy i fazy), to dogodnie jest skorzystać z kryterium stabilności dla
charakterystyk logarytmicznych. Są to warunki wynikające bezpośrednio z kryterium
Nyquista, przetransponowane na charakterystyki logarytmiczne.

Rys. 50. Charakterystyki częstotliwościowe: [18, s. 92] a) układu stabilnego, b) układu niestabilnego.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Analizując charakterystyki z rys. 50 z uwzględnieniem kryterium Nyquista można

sformułować następujący warunek stabilności:

[

]

)

(

przy czym: ω

– pulsacja, dla której

−

ω )

(

arg

Aby więc sprawdzić czy spełniony jest warunek wyżej podany, mając do dyspozycji

charakterystyki logarytmiczne, należy sprawdzić czy dla tej częstotliwości, dla której
charakterystyka fazy osiąga

− , charakterystyka amplitudy ma wartość ujemną, czy

dodatnią. Jeżeli bowiem

)

(

log

to stąd wynika, że

)

(

Rys. 51. Charakterystyki logarytmiczne: [18, s. 93] a) układu stabilnego, b) układu niestabilnego

Dla prostych układów automatyki logarytmiczne kryterium stabilności można

sformułować tak:

Układ automatyki będzie po zamknięciu układu stabilnym, jeżeli dla częstotliwości ω

dla której charakterystyka fazy ma wartość

− , logarytmiczna charakterystyka amplitudy jest

ujemna (rys. 51).

Zasady syntezy układów sterowania

W praktyce spotykamy się z następująco sformułowanym zadaniem:
Znany jest model matematyczny danego obiektu oraz ograniczenia narzucone na

poszczególne sygnały, a także określony zasób informacji o jego warunkach pracy
i występujących zakłóceniach. Należy do tego obiektu dobrać układ sterowania, który
zapewni wykonanie postawionych zadań – przy spełnieniu warunków dotyczących
stabilności, dokładności (w stanach ustalonych i przejściowych) oraz charakter przebiegów
dynamicznych.

Konieczne jest przeprowadzenie syntezy układu sterowania. Istnieje kilka metod syntezy

układów, m.in.:
− tzw. metoda klasyczna – stosowana przy syntezie układów prostych, którym nie stawia

się dużych wymagań,

− synteza związana z określeniem wrażliwości – stosowana przy syntezie układów bardziej

skomplikowanych, gdy w czasie eksploatacji zmieniają się zarówno parametry, jak
i działające na te układy zakłócenia zewnętrzne,

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

− synteza z uwzględnieniem wskaźników jakości – związana z tworzeniem układów, które

powinny pracować w sposób gwarantujący uzyskanie najlepszych możliwych przy
istniejących ograniczeniach – właściwości.
Korzystając z elementów matematyki wyższej oraz stosując m.in. specjalistyczne

programy komputerowe, w nowoczesnej teorii sterownia wykorzystuje się tzw. metodę
zmiennych stanu. Jest to metoda, która znajduje coraz więcej zwolenników.

Zastosowanie opisu układów sterowania przy użyciu zmiennych stanu umożliwiło

stworzenie ogólnych skutecznych metod syntezy układów sterowania, mających zadane
z góry właściwości dynamiczne. Dotyczy to zarówno układów jednowymiarowych jak
i wielowymiarowych. Niewątpliwą zaletą metody zmiennych stanu jest to, że umożliwia ona
sprawdzenie, czy można skutecznie sterować obiektem i to co obserwujemy na jego
wyjściach wystarcza do pełnego scharakteryzowania jego stanu ( czy pozwala stwierdzić czy
układ jest sterowalny i obserwowalny).

Przy klasycznej metodzie syntezy układów sterowania (rys. 52) najpierw zestawia się

dane wyjściowe obejmujące zadanie stawiane układowi, model matematyczny obiektu,
ograniczenia i warunki pracy. Na tej podstawie określa się wymagania i ustala założenia. Do
podstawowych wymagań należą:
− dokładność w stanach ustalonych,

− zakres, w jakim wielkość wyjściowa ma być regulowana,

− stabilność i odpowiedni zapas,

− charakter przebiegu procesów przejściowych.

Poza tym, różnym układom, zależnie od ich przeznaczenia i właściwości obiektu

sterowanego, stawia się wymagania dodatkowe (jak. np. dokładność w stanach
dynamicznych, zmniejszenie wrażliwości na zmiany niektórych parametrów i na określone
zakłócenia, rodzaje elementów, które należy zastosować ze względu bezpieczeństwa czy
niezawodności itp.).

Po przyjęciu założeń dokonuje się wyboru struktury układu, dobiera wstępnie elementy

i podzespoły, sprawdza dokładność w stanie ustalonym oraz zakres regulacji. Jeżeli nie
odpowiadają one założeniom, wprowadza się odpowiednią korekcję właściwości statycznych
przez zmiany parametrów lub nastaw niektórych elementów lub przez wymianę tych
elementów na inne. Gdy – w wyniku odpowiednich modyfikacji – udało się uzyskać
wymaganą dokładność w stanie ustalonym i zakres regulacji, należy z kolei zbadać stabilność
tego układu.

Wymaganie dotyczące stabilności powinno być zawsze spełnione przy wszelkich

przewidywalnych dla rozważanego układu warunkach.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Rys. 52. Schemat postępowania przy syntezie układu sterowania metodami klasycznymi [12, s. 391]

Poza stabilnością należy sprawdzić właściwości dynamiczne, które zależą od rodzaju

obiektu i sposobu jego pracy, od charakteru procesu technologicznego, wpływu stanów
przejściowych, itp. Często formułuje się warunki, jakie powinien spełnić przebieg odpowiedzi
jednostkowej (rys. 53). Przy tym wymagania obejmują:
− dopuszczalny czas praktycznego ustalania się przebiegów

ust

, po którym

dop

ust

dop

ust

)

(

∆

≤

∆

−

ust

≥

(przez

ust

h oznaczono wartość ustaloną, odpowiedzi jednostkowej po zakończonym

przebiegu, a przez

dop

∆

zadane z góry, dopuszczalne odchylenie od niej),

− wymagany czas

- po którym h(t) osiągnie po raz pierwszy wartość równą

ust

h ,

− maksymalne przeregulowanie

max

∆

- wyrażane zwykle w procentach

ust

h ,

− dopuszczalną liczbę przeregulowań w przedziale czasowym od t = 0 do

ust

Często przy ustalaniu wymagań określa się też warunki dla następujących czasów:

−

- po którym h(t) osiągnie wartość równą

ust

−

t - po którym odpowiedź jednostkowa wzrasta od wartości

ust

(przy

) do

wartości

ust

(przy

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Rys. 53. Przykładowy przebieg odpowiedzi jednostkowej i charakteryzujące ją wielkości [12, s. 391]

Wskaźniki jakości

Celem układu regulacji automatycznej (układ z ujemnym sprzężeniem zwrotnym – rys.

54) jest minimalizacja uchybu regulacji powstającego na skutek działania zakłóceń na obiekt
regulacji i w wyniku zmian sygnału zadanego. Chodzi tutaj o minimalizację uchybu regulacji
zarówno w stanach ustalonych, jak i przejściowych.

x +

Rys. 54. Jednoobwodowy układ regulacji automatycznej:

O – obiekt regulacji, R – regulator, Z – zakłócenie, x – wielkość zadana,

y – wielkość regulowana, e – uchyb regulacji

O ile ocena uchybów ustalonych jest stosunkowo prosta, to ocena stanów przejściowych

sprawia trudności. Trudności te rosną w miarę wzrostu rzędu układu regulacji (stopnia
charakterystycznego).

Uchyb e(t) (rys. 55), zależy od sygnału zadanego x(t), od sygnału zakłóceń z(t), od

struktury i parametrów regulatora R oraz od struktury i parametrów obiektu regulacji O.
Zależność tę można zapisać w postaci

[

]

(

)

(

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Rys. 55. Przebiegi przejściowe uchybu regulacji w układzie automatycznej regulacji: [1, s. 193]

a) i b) wywołane skokiem wartości zadanej, c) i d) – wywołane skokiem zakłócenia;

a) i c) – aperiodyczne, b) i d) – oscylacyjne.

Badanie jakości regulacji w stanach przejściowych sprowadza się do badania kształtu

uchybu regulacji e(t) wywołanego standardowym wymuszeniem, np. wymuszeniem w postaci
skoku jednostkowego.

Miarą jakości regulacji jest tzw. wskaźnik jakości, który powinien być tak zdefiniowany,

aby mierzył żądane cechy przebiegu przejściowego e(t) z dostateczną dokładnością.

Wskaźnikiem jakości może być w najprostszym przypadku sam uchyb e(t), lecz taki

wskaźnik jest nieprecyzyjny, ponieważ zmienia się w czasie. Dlatego raczej używamy innych
miar jakości, które określają cechy przebiegu e(t) przy określonych wymuszeniach (np.
skokowych).

Wskaźniki jakości można podzielić na dwie zasadnicze grupy:

− wskaźniki bezpośrednie,

− wskaźniki pośrednie.

Do wskaźników bezpośrednich zaliczamy te wskaźniki, które są bezpośrednią miarą

określonej cechy przebiegu przejściowego e(t) wywołanego standardowym wymuszeniem.

Natomiast do wskaźników pośrednich zaliczamy te wskaźniki jakości, które na podstawie

przebiegu charakterystyk częstotliwościowych pozwalają w przybliżeniu ocenić kształt e(t)
przy określonym wymuszeniu (np. zapas stabilności jest wskaźnikiem).

Do wskaźników bezpośrednich zalicza się parametry charakterystyki skokowej e(t), takie

jak:
− maksymalny uchyb dynamiczny

)

(

max

;

− uchyb ustalony (końcowy) - e

, zwany też uchybem statycznym - e

−

)

(

lim

)

(

lim

)

(

→

∞

→

∞

;

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

− oscylacyjność χ (zwana także przeregulowaniem) - stosunek maksymalnego uchybu

przejściowego (chwilowego) e

, o kierunku przeciwnym niż maksymalny uchyb

początkowy, do maksymalnego uchybu początkowego e

wyrażony w procentach:

−

100

, gdzie e

i e

są określone na rys. 44b;

− czas regulacji t

(zwany też czasem ustalania T

) definiowany jako czas od chwili podania

wymuszenia skokowego na wejście układu aż do chwili, od której począwszy różnica
między wartością odpowiedzi skokowej a jej wartością końcową nie przekracza (zwykle)
5% wartości końcowej.

Inną klasę wskaźników bezpośrednich tworzą wskaźniki całkowe, gdzie konieczne jest

posługiwanie się wzorami i obliczeniami wykorzystującymi elementy matematyki wyższej.

Optymalizacja układów regulacji automatycznej

Optymalizacja układu regulacji automatycznej polega na takim doborze parametrów

i struktury regulatora, który zminimalizuje wybrany wskaźnik jakości regulacji.

Wszystkie wskaźniki regulacji są tak sformułowane, że optymalizacja układu z rys. 54,

przy dowolnie wybranym wskaźniku jakości, sprowadza się do takiego doboru struktury
regulatora i jego nastaw, aby zminimalizować przyjęty wskaźnik regulacji.

Wybrany wskaźnik jakości regulacji Q jest funkcjonałem parametrów układu regulacji

(rys. 56)

]

(

[

Optymalizacja układu regulacji polega na minimalizacji tego funkcjonału przy założeniu,

że x(t) oraz z(t) są dane. Jest dany również obiekt regulacji O. Natomiast należy znaleźć
regulator R minimalizujący funkcjonał Q

]

(

[

min

]

[

→

Poszukiwanie regulatora optymalnego R

jest przedmiotem projektowania układów

regulacji automatycznej.

Poszukiwanie minimum funkcjonału Q jest najłatwiejsze w przypadku znajomości

zależności analitycznej lub graficznej wskaźnika jakości od parametrów regulatora Q(PR).
Jeżeli taka zależność nie jest znana, ani nie możne być obliczona analitycznie na podstawie
transmitancji układu regulacji automatycznej, to minimalizację Q(PR) prowadzimy metodą
modelowania analogowego lub cyfrowego. Tok postępowania jest przedstawiony na rys. 58,
w formie schematu działań.

Spośród przedstawionych wyżej wskaźników jakości regulacji jedynie uchyb końcowy e

i wskaźnik całkowy można wyznaczyć na podstawie danej transformaty uchybu E(s), bez
obliczania oryginału e(t).

Pozostałe wskaźniki jakości wymagają obliczenia przebiegu e(t). Niektóre z tych

wskaźników, znalezione metodą modelowania dla konkretnych układów regulacji
automatycznej są opublikowane w postaci wykresów danego wskaźnika Q w funkcji
parametrów układu regulacji.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Rys. 56. Schemat działań przy optymalizacji metodą modelowania: [1, s. 196]

, PR

– optymalne wskaźniki jakości i parametrów regulatora, i – numer iteracji,

– wartość wskaźnika jakości obliczona w i-tej iteracji

Przykład. W układzie przedstawionym na rys. 57, należy wyznaczyć taką stałą

całkowania T

regulatora, przy której czas regulacji t

będzie minimalny. Parametry obiektu

regulacji są następujące: T

= 1 min, k

= 0,7.

Rys. 57. Układ regulacji automatycznej

Rozwiązanie
Tok postępowania jest następujący:

1. Wyznaczamy transmitancję układu zamkniętego.

Transmitancja układu zamkniętego wynosi:

)

(

)

(

)

(

x e

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Na podstawie równania widzimy, że układ regulacji automatycznej jest układem drugiego

rzędu, a zatem przy dostatecznie małym

może być układem oscylacyjnym. Okres drgań

tego układu T i współczynnik tłumienia ξ wynoszą

2. Z wykresów odczytujemy optymalne nastawy (współczynnik tłumienia ζ ).

Rys. 58. Wykresy wskaźników jakości obliczonych dla obiektu oscylacyjnego o transmitancji

układu drugiego rzędu: [1, s. 198]

I – wartość wskaźników całkowych przy założeniu, że T = 1; t

– czas regulacji, przy ∆ = 5% skoku

wymuszenia

Czas regulacji jest najmniejszy przy ζ

= 0,7 (rys. 58), zatem optymalna wartość stałej

czasowej całkowania

≈

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ζ

3. Wyznaczamy szukany parametr regulatora – w tym wypadku T

Dla podanego obiektu

240

min

Czas regulacji w tak nastawionym układzie regulacji (rys. 66)

360

≅

4.3.2. Pytania sprawdzające

Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.

1. Jakie można wyróżnić kryteria stabilności układów automatyki?
2. W jaki sposób postępujemy badając stabilność układu za pomocą częstotliwościowego

kryterium stabilności?

3. Jakie warunki muszą być spełnione by układ był stabilny, gdy korzystamy

z logarytmicznego kryterium stabilności?

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

4.  Jakich informacji dostarczają nam wskaźniki jakości?
5.  Na czym polega optymalizacja układów regulacji automatycznej?
6.  Jaki obowiązuje schemat przy syntezie i optymalizacji układów regulacji?

4.3.3. Ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Dla układu wzmacniacza o bardzo dużym wzmocnieniu, połączonego szeregowo

z elementem inercyjnym III rzędu, sprawdź stabilność układu. Podaj warunki stabilności.

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:

1)  zapoznać się z instrukcją wykonania ćwiczenia,
2)  zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
3)  zaprojektować układ według wskazań nauczyciela (narysować schemat blokowy),
4)  wykonać obliczenia,
5)  zaprezentować otrzymane wyniki,
6)  dokonać oceny poprawności wykonanego ćwiczenia,
7)  sporządzić sprawozdanie z przebiegu ćwiczenia, załączając schemat układu, otrzymane

wyniki, obliczenia i wnioski z badań.

Wyposażenie stanowiska pracy:

− zeszyt,

− literatura z rozdziału 6,

− instrukcja ćwiczenia.

Ćwiczenie 2

Dla układu wzmacniacza o bardzo dużym wzmocnieniu, połączonego szeregowo

z elementem inercyjnym III rzędu, sprawdź stabilność układu. Podaj warunki stabilności.
Przedstaw charakterystyki układu, otrzymane w wyniku symulacji komputerowej,

z wykorzystaniem programu MATLAB i MATLAB-SIMULINK.

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:

1)  zapoznać się z instrukcją wykonania ćwiczenia,
2)  zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
3)  zaprojektować układ według wskazań nauczyciela (narysować schemat blokowy),
4)  zgłosić gotowość wykonania ćwiczenia,
5)  uruchomić program komputerowy,
6)  napisać program w MATLAB-ie dla danego układu,
7)  uruchomić program,
8)  zaprezentować otrzymane charakterystyki,
9)  zmienić nastawy: wzmocnienia i stałych czasowych i obserwować na wykresach zmiany,
10)  powtórzyć ćwiczenie w programie MATLAB-SIMULINK,
11)  zaprezentować otrzymane wyniki,
12)  porównać obie symulacje,
13)  dokonać oceny poprawności wykonanego ćwiczenia,

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

14) sporządzić sprawozdanie z przebiegu ćwiczenia, załączając schemat układu, napisany

program, otrzymane wyniki, obliczenia i wnioski z badań.

Wyposażenie stanowiska pracy:

− komputer z programem narzędziowym,

− drukarka,

− literatura z rozdziału 6,

− instrukcja ćwiczenia.

4.3.4. Sprawdzian postępów

Tak Nie

Czy potrafisz:

1) sprawdzić stabilność układu

automatyki?

2) odczytać z wykresu wartości nastaw układu?

3) określić zapas stabilności układu?

4) zmodyfikować układ tak by był układem

stabilnym?

5) dobrać tak wzmocnienie układu, by przeregulowanie nie przekraczało
określonych wymagań?

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

4.4. Dobór optymalnych nastaw regulatorów PID

4.4.1. Materiał nauczania

Celem kształtowania właściwości dynamicznych układów jest:
− osiągnięcie określonego tłumienia zakłóceń lub uzyskanie pożądanego przebiegu

wartości regulowanej dla układu regulacji nadążnej,

− uzyskanie określonego stopnia nieczułości wielkości regulowanej na zmiany parametrów

obiektu.
Właściwości dynamiczne układów regulacji automatycznej mogą być kształtowane

przez:
− dobór typu regulatora i jego nastaw,

− modyfikację zakłóceń i obiektu na drodze systemowej – sposób ten polega na

wprowadzeniu dodatkowych elementów pomiarowych i wykorzystaniu ich sygnałów
w dodatkowo utworzonych sprzężeniach (nie wymaga się przeprowadzania zmian
konstrukcyjnych obiektu).

− modyfikację technologii (sposób bardzo trudny do realizacji).

Wśród stosowanych struktur układów regulacji, których właściwości kształtowane są

przez modyfikację zakłóceń i obiektu na drodze systemowej można wymienić układy
regulacji:
− z pomocniczą wielkością nastawiającą,

− kaskadowej,

− z pomiarem wielkości zakłócającej.

Zadaniem układu regulacji automatycznej jest utrzymanie stałej wartości wielkości

regulowanej lub zmienianie jej w ten sposób, aby jej przebieg jak najmniej różnił się od
wartości wielkości zadanej. W zależności od charakteru przychodzących zakłóceń między
wartościami tych dwóch wielkości będzie istniała pewna różnica. Może ona być różna
w przypadku dwóch regulatorów zastosowanych do automatyzacji tego samego obiektu.
Odpowiedź na pytanie, który z nich zapewnia lepszy przebieg regulacji, sprowadza się do
problemu wyboru jakiegoś kryterium oceny tych przebiegów. Stosunkowo szerokie
zastosowanie znalazły tzw. kryteria całkowe, które wymagają znajomości elementów
matematyki wyższej. Noszą one nazwę wskaźników jakości regulacji.

Wybór rodzaju regulatora, czyli wybór jego technicznego rozwiązania, można oprzeć

między innymi na rozpatrzeniu następujących cech: możliwości dynamicznych i zakresu
nastaw, złożoności budowy, niezawodności, prędkości działania, względów eksploatacyjnych,
stałości charakterystyk, instalacji zasilającej, bezpieczeństwa, kosztów, możliwości,
tworzenia złożonych układów regulacji, możliwości współpracy z komputerami, itp.
Decydując o rodzaju regulatora rozważyć należy wybór między regulatorami:
− o działaniu bezpośrednim - pobiera energię wprost z czujnika pomiarowego,

− o działaniu pośrednim – korzysta ze źródła energii pomocniczej i w zależności od

charakteru tego źródła mogą być hydrauliczne, pneumatyczne, elektryczne, w tym
nowoczesne regulatory elektroniczne, lub mieszane np. elektropneumatyczne.

W zależności od postaci sygnałów występujących w regulatorze można wybrać regulatory:
− analogowe,

− cyfrowe,

− analogowo-cyfrowe.

Regulatory o działaniu bezpośrednim cechują się dużą prostotą budowy, dużą prędkością

działania, dużą stałością charakterystyk, dużym stopniem bezpieczeństwa i bardzo dużą
pewnością w eksploatacji. Stosowane są w mało dokładnych układach regulacji

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

stałowartościowej temperatury, strumienia, ciśnienia, poziomu cieczy, prędkości kątowej,
napięcia elektrycznego.

Regulatory elektryczne o działaniu ciągłym, w tym również nowoczesne regulatory

elektroniczne, cechują się zwykle dość dużą złożonością, dowolnie dużą prędkością działania,
dużą stałością charakterystyk. Umożliwiają one budowanie złożonych układów regulacji,
przesyłanie sygnałów na duże odległości, zapewniają stosunkowo łatwą współpracę
z komputerami. Regulatory te jednak wymagają wysoko wykwalifikowanej obsługi.

Wybór regulatora jest jednym ze sposobów kształtowania właściwości dynamicznych

układów regulacji. Zagadnienie to w wielu wypadkach jest znacznie ważniejsze niż obliczanie
optymalnych nastaw regulatorów, z tego powodu, że stałe czasowe i współczynniki
wzmocnienia zależne są od wielu parametrów, a ponadto zmieniają się w czasie.
Ze względu na właściwości dynamiczne wyróżnia się regulatory typu:

P – proporcjonalne,
I – całkujące,
PI – proporcjonalno-całkujące,
PD – proporcjonalno-różniczkujące,
PID – proporcjonalno-całkująco-różniczkujące.

Tabela2. Podstawowe typy regulatorów przemysłowych [13, s. 79]

Wybór określonego typu regulatora jest uwarunkowany przede wszystkim:
− statycznymi i dynamicznymi właściwościami obiektu,

− wymaganiami dotyczącymi dobroci regulacji (przeregulowanie, czas regulacji, itp.).

Właściwości dynamiczne można przykładowo określić granicznym współczynnikiem

wzmocnienia i częstotliwością drgań rezonansowych układu przy regulacji obiektu

z zastosowaniem regulatora typu P.

Im graniczny współczynnik wzmocnienia jest mniejszy, tym obiekt jest trudniejszy do

regulacji, tzn.:
− tym mniejszy jest współczynnik wzmocnienia regulatora typu P, przy którym uzyskuje

się pożądane tłumienie procesu przejściowego, a tym samym większy jest ustalony uchyb
regulacji,

− uzyskanie mniejszego uchybu ustalonego wymagania zastosowania regulatora

o bardziej złożonej strukturze, np. typu PI, PID.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Im częstotliwość drgań rezonansowych jest mniejsza, tym obiekt jest trudniejszy do

realizacji, tzn.:
− tym dłuższy jest czas trwania stanu nieustalonego w układzie z regulatorem typu P,

− uzyskanie krótszego czasu trwania stanu nieustalonego wymaga zastosowania regulatora

o bardziej złożonym prawie regulacji.
Zwiększenie amplitudy i częstotliwości zakłóceń periodycznych lub amplitudy

i prędkości narastania zakłóceń aperiodycznych utrudnia proces regulacji.

Regulator typu P nadaje się do stosowania przede wszystkim tam, gdzie oscylacje

wielkości nastawianych i regulowanych są niepożądane ze względów technologicznych, np.
przy regulacji poziomu i ciśnienia w zbiornikach buforowych.

Regulator typu PI stosuje się wtedy, gdy wzmocnienie w układzie z regulatorem typu P

jest niewystarczające do uzyskania żądanej dobroci regulacji w zakresie mniejszych
częstotliwości, a szczególnie w stanie nieustalonym.

Regulator typu PD stosuje się wtedy, gdy wzmocnienie w układzie z regulatorem typu P

jest wystarczające do uzyskania żądanej dobroci regulacji w zakresie małych częstotliwości
i w stanie ustalonym, lecz czas trwania procesu regulacji przy zakłóceniach aperiodycznych
jest zbyt długi lub pasmo regulacji jest zbyt małe.

Regulator typu PID stosuje się wtedy, gdy wzmocnienie w układzie z regulatorem

proporcjonalnym jest niewystarczające do uzyskania żądanego tłumienia zakłóceń w zakresie
małych częstotliwości a częstotliwość rezonansowa jest za mała, aby uzyskać żądaną
prędkość regulacji.

Obiekty technologiczne mogą reagować szybko lub powoli. Najczęściej stosowane są

regulatory PID. Od regulatora wymaga się by nastawy K

, T

mogły być ustawiane

w szerokich granicach. Przemysłowe regulatory PID są najczęściej budowane tak, aby

min

≤

Projektanci układu regulacji z regulatorami PID powinni umieć wybrać nie tylko

regulator ale także odpowiednie nastawy K

, T

. jeżeli uchyb ma być mały, to trzeba

wybrać regulator z dominującym członem całkującym, a więc PI lub PID. Jeżeli uchyb może
być stosunkowo duży można zastosować regulator P.

Wartość nastaw regulatora zależy od przeregulowania i czasu regulacji występujących

w stanie nieustalonym spowodowanym zakłóceniem skokowym oraz właściwości
dynamicznych obiektu regulacji.

Tabela. 3. Zależność nastaw regulatora P, PI, PID od wskaźników jakości i właściwości obiektów regulowanych

Dokładność dynamiczna

Typ

regulatora

...

minimum

minimum t

PID

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Tabela. 4. Czas regulacji (t

) w przypadku układów regulacji z regulatorami P, PI, PID

Dokładność dynamiczna

Wartość t

Typ

regulatora

...

minimum t

P 4,5

6,5

PI 8

PID 5,5

gdzie: χ - przeregulowanie,

czas

regulacji,

- czas opóźnienia obiektu,

- stała czasowa obiektu,

- wzmocnienie obiektu.

Dane w tabeli 3 obowiązują przy stosunku

≤

Rys. 59. Kryteria optymalnych nastaw regulatorów:[14, s. 83] a) przebieg aperiodyczny z czasem

minimalnym regulacji t

; b) przebieg oscylacyjny z przeregulowaniem 20 % i czasem

minimalnym t

;

c) przebieg oscylacyjny z wartością minimalną całki kwadratu uchybu

Nastawy regulatorów typu P, PI, PID określa się na podstawie specjalnych

normogramów. Normogramy takie są opracowywane dla dwóch typów obiektów
regulowanych:
− statycznego,

−

astatycznego.

W praktyce normogramy pozwalają na przybliżone określenie wartości nastaw.[12]
W 1942 r. Ziegler i Nichols podali po raz pierwszy pewne zasady umożliwiające

określenie wartości nastaw regulatorów bez potrzeby dokonywania pomiaru właściwości
dynamicznych obiektu.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Ustalenie pewnych właściwości obiektu polega na określeniu wartości współczynnika

krytycznego K

oraz okresu oscylacji. W celu wyznaczenia tych wartości należy

przeprowadzić następujący eksperyment:
− w zainstalowanym przy obiekcie regulatorze typu PID wyłączyć działanie części

całkującej (nastawić

∞

) oraz części różniczkującej (nastawić T

= 0);

− zwiększając stopniowo wzmocnienie regulatora K

doprowadzić układ do granicy

stabilności (pojawienie się drgań nietłumionych);

− zanotować wartość krytyczną współczynnika wzmocnienia regulatora K

oraz okres

oscylacji T

W zależności od typu stosowanego regulatora należy przyjąć następujące nastawy dla

regulatorów:
− typu P

= 0,5 K

;

− typu PI

= 0,45 K

;

= 0,85 T

;

− typu PID

= 0,6 K

;

= 0,5 T

;

= 0,12 T

Znając właściwości dynamiczne obiektu można korzystać z reguł Zieglera-Nicholsa

posługując się dodatkowymi zależnościami. Wg Kupfműllera wzmocnienie krytyczne
regulatora typu P

≈

natomiast okres oscylacji

≈

W praktyce często dobiera się nastawy regulatorów metodą eksperymentalną (metodą

kolejnych przybliżeń). Czynności nastawiania wartości parametrów regulatorów nazywa się
strojeniem. Dla każdego regulatora obowiązuje kolejność wykonywania czynności.

4.4.2. Pytania sprawdzające

Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do wykonania ćwiczeń.

1.  Jakie znasz typy regulatorów?
2.  Jakimi kryteriami posługujemy się wybierając regulator?
3.  Jakie parametry charakteryzują regulator?
4.  Jaka jest różnica między regulatorami o działaniu bezpośrednim i pośrednim?
5.  Jakie parametry utrudniają regulacje obiektów?
6.  Jakie zalety wynikają z zastosowania nastaw Zieglera i Nicholsa?

4.4.3. Ćwiczenia

Ćwiczenie 1

Oblicz wartości optymalnych nastaw regulatora PI dla układu regulacji poziomu cieczy.

Charakterystyki dynamiczne obiektu regulacji zostały przedstawione na rysunku. Należy
przyjąć przeregulowanie κ

≈ 20% oraz minimalny czas regulacji T

. Zakłócenie skokowe

oddziałuje na wejście obiektu, którego współczynnik wzmocnienia K

= 1.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Rysunek do ćwiczenia 1. Kocioł walczakowy jako obiekt regulacji poziomu

cieczy: a) schemat kotła, b)przyrost dopływu wody, c) przyrost poziomu

wody w kotle, d) przebieg uproszczony (po aproksymacji) [15, 321]

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:

1)  zapoznać się materiałem teoretycznym dotyczącym doboru nastaw regulatorów,
2)  zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
3)  określić wszystkie dane zadania,
4)  rozpoznać model obiektu regulacji,
5)  dokonać wyboru odpowiedniej tablicy z wzorami do obliczeń optymalnych nastaw

regulatora PI,

6) odczytać z wykresu wartość T

7) wyznaczyć wartość stałej całkowania T

obiektu,

8) wyznaczyć optymalne nastawy regulatora PI – K

i T

9) sporządzić wnioski z przeprowadzonych obliczeń,
10) dokonać oceny poprawności wykonanego ćwiczenia.

Wyposażenie stanowiska pracy:

− zeszyt,

− kalkulator,

− przybory do pisania,

− literatura z rozdziału 6.

Ćwiczenie 2

Odczytaj z rysunku, przedstawiającego wyniki symulacji komputerowej stanu

nieustalonego układu regulacji ciśnienia spowodowanego sygnałem zakłócającym,
maksymalny uchyb początkowy e

, przeregulowanie κ wielkości regulowanej oraz czas

regulacji T

. Przedział tolerancji jest równy

± 0,1 wartości zadanej.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Rysunek do ćwiczenia 2. [4, s. 256]

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:

1) zapoznać się materiałem teoretycznym dotyczącym wskaźnikom jakości dynamicznej

doboru regulatorów do układu regulacji,

2)  zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
3)  określić wszystkie dane zadania,
4)  narysować na rysunku przedział tolerancji,
5)  odczytać z wykresu wartość T

6) odczytać z wykresu maksymalny uchyb początkowy e

i maksymalny uchyb

przejściowy e

7)  wyznaczyć wartość przeregulowania κ,
8)  sporządzić wnioski z przeprowadzonych obliczeń,
9)  dokonać oceny poprawności wykonanego ćwiczenia.

Wyposażenie stanowiska pracy:

− zeszyt,

− kalkulator,

− przybory do pisania i rysowania,

− literatura z rozdziału 6.

Ćwiczenie 3

Dla układu o transmitancji

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

)

(

sprawdź: odpowiedź układu na wymuszenie jednostkowe, kształt charakterystyki
amplitudowo-fazowej, przebieg charakterystyk logarytmicznych, zmieniając stałe czasowe
układu i wzmocnienie.

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:

1) zapoznać się z instrukcją wykonania ćwiczenia,

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

2)  zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
3)  zaprojektować układ według wskazań nauczyciela (narysować schemat blokowy),
4)  napisać program w MATLAB-ie dla danego układu,
5)  uruchomić program,
6)  zaprezentować otrzymane charakterystyki,
7)  zmienić nastawy: wzmocnienia i stałych czasowych i obserwować na wykresach zmiany,
8)  powtórzyć ćwiczenie w programie MATLAB-SIMULINK,
9)  skorzystać z reguł Zieglera-Nicholsa do określenia nastaw i ponownie uruchomić

symulację układu, sprawdzając otrzymane wyniki i wykresy,

10)  zaprezentować otrzymane wyniki,
11)  porównać obie symulacje,
12)  dokonać oceny poprawności wykonanego ćwiczenia,
13)  sporządzić sprawozdanie z przebiegu ćwiczenia, załączając schemat układu, napisany

program, otrzymane wyniki, obliczenia i wnioski z badań.

Wyposażenie stanowiska pracy:

− komputer z programem narzędziowym,

− drukarka,

− literatura z rozdziału 6,

− instrukcja ćwiczenia.

Ćwiczenie 4

Dla układu o transmitancji

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

)

(

sprawdź: odpowiedź układu na wymuszenie jednostkowe, kształt charakterystyki
amplitudowo-fazowej, przebieg charakterystyk logarytmicznych, zmieniając stałe czasowe
układu i wzmocnienie.

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:

1)  zapoznać się z instrukcją wykonania ćwiczenia,
2)  zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
3)  zaprojektować układ według wskazań nauczyciela (narysować schemat blokowy),
4)  napisać program w MATLAB-ie dla danego układu,
5)  uruchomić program,
6)  zaprezentować otrzymane charakterystyki,
7)  zmienić nastawy: wzmocnienia i stałych czasowych i obserwować na wykresach zmiany,
8)  powtórzyć ćwiczenie w programie MATLAB-SIMULINK,
9)  skorzystać z reguł Zieglera-Nicholsa do określenia nastaw i ponownie uruchomić

symulację układu, sprawdzając otrzymane wyniki i wykresy,

program, otrzymane wyniki, obliczenia i wnioski z badań.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Wyposażenie stanowiska pracy:

− komputer z programem narzędziowym,

− drukarka,

− literatura z rozdziału 6,

− instrukcja ćwiczenia.

Ćwiczenie 5

Działanie układu regulacji zawierającego regulator typu P lub PI lub PID. Należy

zidentyfikować rodzaj obiektu i dobrać do niego wartości nastaw regulatorów, korzystając
z odpowiednich tabel oraz dokonać doboru nastaw metodą Zieglera-Nicholsa [6, s.230].

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:

1)  zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
2)  zapoznać się z danymi technicznymi, schematami i instrukcją obsługi regulatora PID,
3)  zapoznać się z aparaturą stosowaną w ćwiczeniu oraz badanym obiektem regulacji,
4)  zapoznać się z procedurą zmian trybu pracy regulatora,
5)  zapoznać się ze sposobem zmian wartości nastaw regulatora,
6)  zmontować układ, sprawdzić poprawność połączeń,
7)  zidentyfikować obiekt regulacji przez wyznaczenie odpowiedzi skokowej (przełączyć

układ na sterowanie ręczne),

8) wyznaczyć parametry obiektu (dla statycznego: K

, T

, T; dla astatycznego: T

, T),

9) obliczyć wartości nastaw regulatora dla zakłócenia występującego na wejściu obiektu

regulacji dla określonej wartości przeregulowania i czasu regulacji,

10)  sprawdzić doświadczalnie poprawność doboru nastaw,
11)  przeprowadzić dobór nastaw regulatora metodą Zieglera - Nicholsa,
12)  sprawdzić działanie regulatora z tak dobranymi nastawami,
13)  porównać wyniki otrzymane gdy nastawy regulatora  dobrano  do  znanego  obiektu,

z dobranymi metodą Zieglera – Nicholsa,

14) wyznaczyć rachunkowo-częstotliwościowy wskaźnik regulacji dla jednego z badanych

regulatorów,

15) zarejestrować wpływ zakłócenia okresowego o znanej częstotliwości na sam obiekt

i obiekt w układzie regulacji,

16)  porównać wyniki doświadczalne z uzyskanymi na charakterystyce q(jω),
17)  opracować wnioski z ćwiczenia,
18)  dokonać oceny ćwiczenia.

Wyposażenie stanowiska pracy:

− regulator uniwersalny PID,

− obiekt regulacji o niewielkich stałych czasowych z możliwością wprowadzenia zakłóceń,

− przyrządy pomiarowe (miernik uniwersalny),

− rejestrator z bocznikiem,

− generator bardzo wolnych przebiegów,

− karta katalogowa, instrukcja obsługi regulatora,

− papier, przybory do pisania i rysowania,

− literatura z rozdziału 6.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

Ćwiczenie 6

Obiekt regulacji (komora grzewcza) o parametrach: K

= 2,0 ˚C/A, T

= 6 s, T

= 100 s,

poddano regulacji za pomocą regulatora PID. Wyznacz nastawy regulatora, tak aby przy 20%
przeregulowaniu przebiegu przejściowego czas regulacji t

był minimalny. Wymuszenie

stanowi skokowa zmiana wartości prądu zasilającego grzejnik.

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:

1)  zapoznać się materiałem teoretycznym dotyczącym doboru nastaw regulatorów,
2)  zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
3)  określić wszystkie dane zadania,
4)  dokonać wyboru odpowiedniej tablicy z wzorami do obliczeń optymalnych nastaw

regulatora PID,

5) wyznaczyć optymalne nastawy regulatora PID – K

, T

i T

6)  sporządzić dokumentację techniczną z przeprowadzonych badań,
7)  sformułować wnioski z wykonanego ćwiczenia,
8)  dokonać oceny poprawności przeprowadzonego ćwiczenia.

Wyposażenie stanowiska pracy:

− zeszyt,

− kalkulator,

− przybory do pisania,

− literatura z rozdziału 6.

Ćwiczenie 7

Montaż i badanie układu regulacji temperatury kaskadowej. Na rys. przedstawiony jest

schemat mieszalnika dwóch cieczy – gorącej o natężeniu dopływu Q

i zimnej o natężeniu

dopływu Q

. Regulowana jest temperatura Q mieszaniny. Ponieważ proces charakteryzuje się

silnymi wahaniami ciśnienia w obu rurociągach, należy więc stabilizować przepływ
w przewodzie wody gorącej i mierzyć zakłócające zmiany przepływu w przewodzie wody
zimnej. Regulator R

spełnia rolę regulatora nadrzędnego w stosunku do regulatora R

Rysunek do ćwiczenia 7. Układ regulacji temperatury przez mieszanie dwóch strumieni

z dopływem cieczy

Sposób wykonania ćwiczenia

Aby wykonać ćwiczenie powinieneś:

1) zapoznać się materiałem teoretycznym dotyczącym regulacji kaskadowej,

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

2)  zorganizować stanowisko pracy do wykonania ćwiczenia,
3)  zapoznać się z wszystkimi urządzeniami i ich kartami katalogowymi, instrukcjami, itp.,
4)  zbadać poprawność działania wszystkich urządzeń,
5)  dokonać wyboru poprawnie działających przyrządów,
6)  dokonać pomiaru charakterystyki przejścia obiektu,
7)  zidentyfikować obiekt,
8)  wyznaczyć optymalne nastawy regulatorów,
9)  dokonać strojenia regulatorów,
10)  wykonać połączenia układu zgodnie ze schematem,
11)  wyznaczyć wpływ zakłócających zmian przepływu w przewodzie wody zimnej,
12)  porównać pracę obu regulatorów,
13)  sporządzić dokumentację techniczną z przeprowadzonych badań,
14)  sformułować wnioski z wykonanego ćwiczenia,
15)  dokonać oceny poprawności przeprowadzonego ćwiczenia.

Wyposażenie stanowiska pracy:

− instalacja (rurociągi z dopływem gorącej i zimnej wody, elektrozaworem, zwężkami

pomiarowymi),

− mieszalnik,

− regulatory (dobre i uszkodzone),

− nastawnik,

− czujnik temperatury,

− katalogi regulatorów, przyrządów, czujników pomiarowych,

− instrukcja ćwiczenia,

− literatura z rozdziału 6.

4.4.4. Sprawdzian postępów

Tak Nie

Czy potrafisz:

1) narysować odpowiedzi regulatorów na wymuszenie jednostkowe?

2) narysować schematy ideowe regulatorów z zastosowaniem wzmacniaczy
operacyjnych?

3) zastosować odpowiedni regulator do mierzonej wielkości fizycznej?

4) odczytać z charakterystyki parametry

regulatora?

5) posługiwać się normogramami?

6) określić nastawy regulatorów wg metody Zieglera i Nicholsa?

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

5. SPRAWDZIAN OSIĄGNIĘĆ

INSTRUKCJA DLA UCZNIA

1.  Przeczytaj uważnie instrukcję zanim zaczniesz rozwiązywać zadania.
2.  Podpisz imieniem i nazwiskiem kartę odpowiedzi.
3.  Test składa się z 21 zadań dotyczących  łączenia elementów, regulatorów, analizy

układów, a także tworzenia schematów układów.

4. Odpowiedzi udzielaj tylko na załączonym arkuszu.
5. W zadaniach: 1, 2, 16 uzupełnij zdanie. W zadaniach 5, 19, 21 należy narysować

schemat układu lub wykres czasowy. Pozostałe zadania zawierają cztery odpowiedzi,
z których tylko jedna jest poprawna.

6. Zadania punktowane są 0 lub 1.
7. Wybraną odpowiedź zakreśl znakiem X. Jeśli uznasz, że pomyliłeś się i wybrałeś

nieprawidłową odpowiedź, to zakreśl ją kółeczkiem i znakiem X zaznacz prawidłową
odpowiedź.

8. Niektóre zadania mogą sprawiać Ci trudność, dlatego jeśli początkowo wydają Ci się

trudne, rozwiąż pozostałe i ponownie spróbuj rozwiązać trudniejsze.

9. Przed wykonaniem każdego zadania przeczytaj bardzo uważnie polecenie.
10. Na rozwiązanie wszystkich zadań masz 40 minut.

Powodzenia!

ZESTAW ZADAŃ TESTOWYCH

1. Istota sterowania w dowolnym systemie, polega na tym, że: ..............................................

2. Zadaniem układu regulacji stałowartościowej jest ..............................................................

3. W układzie jak na rysunku transmitancja:

( )

przy

)

(

)

(

−

określa:

a)  funkcję przejścia układu,
b)  transmitancję uchybową,
c)  transmitancję zakłóceniową,
d)  transmitancję regulatora.

4. Na rysunku przedstawiono schemat blokowy regulatora:

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

a)  PID,
b)  PD,
c)  PI,
d)  D.

5. W wyniku przekształceń otrzymano układ w postaci:

Narysuj odpowiedź układu na wymuszenie jednostkowe.

6. Na wyjściową wielkość pomocniczą w układzie regulacji kaskadowej:

a)  wszelkie zakłócenia wpływają znacznie wcześniej niż na wielkość regulowaną,
b)  zakłócenia nie działają,
c)  ma wpływ wielkość regulowana,
d)  ma wpływ wielkość zadana.

7. Do zalet układów regulacji kaskadowej, w porównaniu z prostymi układami regulacji, nie

należy:
a) większa dokładność regulacji,
b) mniejsze wahania wartości wielkości wyjściowej w wyniku ograniczenia zakresu

zmienności pomocniczej wielkości regulowanej,

c) znaczny stopień i prędkość tłumienia zakłóceń przez obwód pomocniczy,
d) mniejszy pobór mocy.

8. Regulator PI, szczególnie nadaje się do zastosowania w układach:

a)  szybkozmiennych,
b)  impulsowych,
c)  ekstremalnych,
d)  wolnozmiennych.

9. Kryterium

stabilności Routha-Hurwitza umożliwia:

a)  obliczenie częstotliwości granicznej układu,
b)  określenie wielkości zmian wzmocnienia wraz ze zmianą częstotliwości,
c)  określenie przebiegu charakterystyki logarytmicznej fazy i amplitudy,
d)  sprawdzenie czy układ jest stabilny.

10. Konieczność zapewnienia zapasu stabilności wynika z:

a)  zmian parametrów obiektu,
b)  zmian parametrów regulatora,
c)  zmian parametrów regulatora i obiektu w wyniku starzenia,
d)  zmian parametrów regulatora i obiektu.

11. Układ o parametrach bliskich krytycznym ma przebiegi procesów przejściowych:

a)  oscylacyjne o stałej amplitudzie drgań,
b)  oscylacyjne tłumione,
c)  liniowo narastające,
d)  oscylacyjne o nieograniczonej amplitudzie drgań.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

12. Punkt krytyczny to punkt:

a)  1, j0,
b)  0, -j,
c)  -1, -1,
d)  -1, j0.

13. Kryterium Michajłowa umożliwia określenie:

a)  dokładności w stanach ustalonych,
b)  zakresu, w jakim wielkość wyjściowa ma być regulowana,
c)  stabilności i odpowiedniego zapasu,
d)  charakteru przebiegu procesów przejściowych.

14. Rysunek przedstawia:

a)  odpowiedź układu na impuls Diraca,
b)  odpowiedź układu na wymuszenie jednostkowe,
c)  kształt sygnału wielkości zadanej,
d)  kształt sygnału sterującego obiektem.

15. Na rys. przedstawiono przebieg odpowiedzi skokowej i charakterystykę logarytmiczną

amplitudowo-fazową:

a)  sygnału uchybu,
b)  sygnału wejściowego zadanego,
c)  sygnału wyjściowego z regulatora PD,
d)  sygnału wyjściowego z regulatora PI.

16. Badanie jakości regulacji w stanach przejściowych sprowadza się do badania .......

.......................................

17. Regulator typu PD stosuje się gdy:

a)  wzmocnienie z regulatorem P jest za duże,
b)  wzmocnienie z regulatorem typu P jest wystarczające,
c)  dobroć regulacji jest za mała,
d)  uchyb jest ustalony.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

18. Strojenie to:

a)  odczyt wartości parametrów regulatora,
b)  odczyt stałej czasowej układu,
c)  czynności nastawiania parametrów regulatora,
d)  czynności pomiarowe służące do wyznaczania modelu matematycznego obiektu.

19. Narysuj schemat układu na którego wyjściu, wskutek zadziałania wymuszenia

jednostkowego, otrzymuje się przebieg jak na rysunku.

20. Czas zdwojenia, to:

a)  stała czasowa regulatora PI,
b)  stała czasowa regulatora I,
c)  stała czasowa regulatora PD,
d)  stała czasowa regulatora P.

21. Narysuj odpowiedź układu na wymuszenie jednostkowe.

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

KARTA ODPOWIEDZI

Imię i nazwisko ……………………………………………………..

Badanie układów sterowania z regulatorami ciągłymi

Zakreśl poprawną odpowiedź, wpisz brakujące części zdania lub wykonaj rysunek.

Odpowiedź

zadania

a b c d

Punkty

3 a

4 a

6 a b

7 a b

8 a b

9 a b

10 a

11 a

12 a

13 a

14 a

15 a

17 a

18 a

20 a

RAZEM

„Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego”

6. LITERATURA

1.  Amborski K., Marusak A.: Teoria sterowania w ćwiczeniach. PWN, Warszawa 1973
2.  Gerlach M., Janas R.: Automatyka dla liceum technicznego. WSiP, Warszawa 1999
3.  Gessing R.: Podstawy automatyki. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2001
4.  Hörnemann E., Hübscher H., Klaue J., Schierack K., Stolzenburg R.: Elektrotechnika.

Instalacje elektryczne i elektronika przemysłowa. WSiP, Warszawa 1998

5.  Jabłoński W., Płoszajski G.: Elektrotechnika z automatyką. WSiP, Warszawa 2002
6.  Komor Z.: Pracownia automatyki. WSiP, Warszawa 1996
7.  Kordowicz-Sot A.: Automatyka i robotyka. Robotyka. WSiP, Warszawa 1999
8.  Kordowicz-Sot A.: Automatyka i robotyka. Układy regulacji automatycznej. WSiP,

Warszawa 1999

9. Kostro J.: Elementy, urządzenia i układy automatyki. WSiP, Warszawa 1998
10. Kostro J.: Pracownia automatyki. WSiP, Warszawa 1996
11. Kuźnik J.: Regulatory i układy regulacji. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice

2006

12. Pełczewski W.: Teoria sterowania. WNT Warszawa 1980
13. Płoszajski G.: Automatyka. WSiP, Warszawa 1995
14. Pochopień B.: Automatyzacja procesów przemysłowych. WSiP, Warszawa 1993
15. Pułaczewski J.: Podstawy regulacji automatycznej. WSiP, Warszawa 1988
16. Siemieniako F., Gawrysiak M.: Automatyka i robotyka. WSiP, Warszawa 1993
17. Technika sterowników z programowalna pamięcią. Praca zbiorowa. WSiP, Warszawa

1998

18. Węgrzyn S.: Podstawy automatyki. PWN, Warszawa 1978