Macierze
mgr Zofia Makara
21 marca 2004
1
Wprowadzenie
Głównym zagadnieniem algebry liniowej jest teoria układów rownań linio-
wych postaci:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ... + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ ... + a
2n
x
n
= b
2
..
.
a
k1
x
1
+ a
k2
x
2
+ ... + a
kn
x
n
= b
k
Niech K będzie ciałem liczbowym (przemiennym), a
js
∈ K, b
j
∈ K, x
j
∈ K,
1 ¬ j ¬ n; 1 ¬ s ¬ m. a
js
, b
j
- zadane elementy x
j
- szukane (nieznane)
elementy.
Definicja 1 k ×n macierzą elementów ciała K (lub macierzą o k wierszach
i n kolumnach elemnentów ciała K) nazywamy odwzorowanie:
{1, .., k} × {1, .., k} 3 (j, s) 7→ a
js
∈ K
a
js
= f (j, s) ∈ K.
Macierze zapisujemy w postaci:
a
11
a
12
...
a
1n
a
21
a
22
...
a
2n
..
.
a
k1
a
k2
...
a
kn
Definicja 2 Macierzą kwadratową stopnia n nazywa się macierz, która po-
siada tą samą ilość wierszy i kolumn (jest typu n × n):
a
11
a
12
...
a
1n
a
21
a
22
...
a
2n
..
.
a
k1
a
k2
...
a
nn
1
Przykład 1 Macierz prostokątna 3 × 2:
2
21
−5
12
3
712
Macierz kwadratowa 2 × 2
"
−1 1
−5 3
#
Uwaga 1 Wiele informacji z życia codziennego również zapisuje się w po-
staci macierzy, na przykład rozkłady jazdy (od, do, godzina wyjazdu, godzina
przyjazdu, ilość przesiadek, typ):
"
Rzeszow
Lublin
5.15
10.02
0
O
Rzeszow
Lublin
12.40
17.45
1
O − P
#
Definicja 3 Macierz A w której zamieniono wiersze na kolumny o tych
samych numerach nazywamy macierzą transponowaną (albo przestawioną)
do A i oznaczamy symbolem A
T
Przykład 2
A =
"
1
−3 34 12
41
−5
4
2
#
; A
T
=
1
41
−3 −5
34
4
12
2
.
Uwaga 2
A = (A
T
)
T
Uwaga 3 O macierzy A o n wierszach i m kolumnach mówi się macierz
jest wymiaru (typu) m × n.
i zapisuje w skróconej postaci:
[a
ik
]
n×m
lub
[a
ik
] (i = 1, ..., n; k = 1, ..., m)
Definicja 4 Dwie macierze A = [a
ik
]
n×m
i B = [b
ik
]
n×m
tego samego typu
nazywamy równymi, jeżeli wszystkie odpowiednie (polożone na tych samych
miejcach) elementy obu macierzy są równe:
a
ik
= b
ik
dla i = 1, ..., n; k = 1, ..., m.
2
Definicja 5 Macierzą zerową A = [a
ik
]
n×m
nazywa się macierz dowolnego
wymiaru, której wszystkie elementy są równe zeru, to znaczy
a
ik
= 0 dla i = 1, ..., n; k = 1, ..., m;
i oznacza jako Θ
n×m
.
Definicja 6 Macierzą symetryczną A = [a
ik
]
n×n
nazywa się macierz kwa-
dratową dowolnego stopnia, której wszystkie elementy położone symetrycznie
względem głónwej przekątnej są równe, czyli:
a
ik
= a
ki
dla i, k = 1, ..., n;
Definicja 7 Macierzą diagonalną A = [a
ik
]
n×n
nazywa się macierz kwadra-
tową dowolnego stopnia, której wszystkie elementy położone polożone poza
główną przekątną są równe 0, czyli:
a
ik
= 0 dla i 6= k i, k = 1, ..., n;
Definicja 8 Macierzą jednostkową I = [i
ik
]
n×n
nazywa się macierz diago-
nalną, której wszystkie elementy położone polożone na głównej przekątnej są
równe 1, czyli:
a
ik
=
(
0
dla i 6= k i, k = 1, ..., n;
1
dla i = k i, k = 1, ..., n;
Jeżeli dane są wektory ~
x, ~
y, ..., ~t:
~
x =
x
1
x
2
..
.
x
n
; ~
y =
y
1
y
2
..
.
y
n
; ... ~t =
t
1
t
2
..
.
t
n
,
oraz α, β, ..., γ ∈ K, to kolumnę:
α
x
1
x
2
..
.
x
n
+ β
y
1
y
2
..
.
y
n
+ ... + γ
t
1
t
2
..
.
t
n
=
αx
1
+ βy
1
+ ... + γt
1
αx
2
+ βy
2
+ ... + γt
2
..
.
αx
n
+ βy
n
+ ... + γt
n
nazywamy kombinacją liniową kolumn ~
x, ~
y, ..., ~t o współczynnikach α, β, ...
, γ ∈ K.
Podobnie określa się kombinację liniową wierszy.
3
2
Działania na macierzach
Niech będzie dane ciało liczbowe K.
Uwaga 4 Przez macierze tego samego typu rozumie się macierze, które ma-
ją tą samą liczbę wierszy i kolumn.
Definicja 9 (Dodawinie macierzy tego samego typu) Sumę dwóch ma-
cierzy A = [a
ik
]
n×m
i B = [b
ik
]
n×m
tego samego typu n × m tworzy się przez
dodanie do siebie elementów o tych samych numerach wierszy i kolumn:
[a
ik
]
n×m
+ [b
ik
]
n×m
= [a
ik
+ b
ik
]
n×m
.
Własność 1 Dodawanie ma własności:
• łączności A + (B + C) = (A + B) + C;
• przemienności A + B = B + A;
dla każdych macierzy A, B i C tego samego typu.
Definicja 10 (Odejmowanie macierzy tego samego typu) Różnicę dwóch
macierzy A = [a
ik
]
n×m
i B = [b
ik
]
n×m
tego samego typu n × m tworzy się
przez odejmowanie od siebie elementów o tych samych numerach wierszy i
kolumn:
[a
ik
]
n×m
− [b
ik
]
n×m
= [a
ik
− b
ik
]
n×m
.
Definicja 11 (Mnożenie macierzy przez skalar) Mnożenie macierzy A =
[a
ik
]
n×m
przez skalar α ∈ K polega na wymnożeniu wszystkich wszystkich
elementów macierzy przez α.
α · [a
ik
]
n×m
= [α · a
ik
]
n×m
.
Definicja 12 (Mnożenie dwóch macierzy) Mnożenie dwóch macierzy przez
siebie jest możliwe jeśli liczba kolumn pierwszej jest równa liczbie wierszy
drugiej. Iloczynem A = [a
ik
]
n×m
i B = [b
ik
]
m×k
jest macierz C = [c
ik
]
n×k
,
której elementy powstają przez pomnożenie skalarnie wierszy pierwszej ma-
cierzy przez kolumny drugiej:
[a
ik
]
n×m
· [b
ik
]
m×k
= [a
i1
· b
1k
+ a
i2
· b
2k
+ ... + a
in
· b
nk
]
n×k
.
Uwaga 5 Może być określony iloczyn A · B i nie być określony B · A, na
przykład
[a
ik
]
n×m
· [b
ik
]
m×s
istnije, ale
[b
ik
]
m×s
· [a
ik
]
n×m
4
nie istnieje dla s 6= n.
Mogą być określone oba iloczyny i być różne lub różnych wymiarów, na przy-
kład:
[a
ik
]
n×m
· [b
ik
]
m×n
dla m 6= n ma inny wymiar niż:
[b
ik
]
m×n
· [a
ik
]
n×m
.
Własność 2 Jeżeli macierz jednstkowa I posiada odpowiedni wymiar wów-
czas:
A · I = I · A = A.
Własność 3 Jeżeli macierz zerowa Θ posiada odpowiedni wymiar wówczas:
A · Θ = Θ · A = Θ.
Definicja 13 Macierzą odwrotną do macierzy A, oznaczanej jako A
−1
jest
macierz, która spelnia warunki:
AA
−1
= A
−1
A = I.
3
Zadania
1. Dla danych macierzy A, B oblicz ich sumę, różnicę i macierze trans-
ponowane:
•
A =
"
11
3
4
2
1
−5 0 −2
#
; B =
"
1
2
3
−2
13
−5 5
0
#
;
•
A =
1
2
2
2
3
3
2
4
2
; B =
4
4
5
−1 −5 5
−1 −3 0
;
•
A =
1
2
2
1
6
2
3
3
−5 −1
2
4
2
0
4
1
2
−3 −7
3
2
−8
2
0
−9
0
4
2
0
4
; B =
1
0
2
−2
6
2
3
3
−12 −1
3
6
2
−16
4
4
9
−8
−7
3
5
12
−4
−1 −9
6
15
−2
0
6
;
5
•
A =
1
2
3
4
5
5
2
2
3
5
1
1
3
3
2
3
0
2
4
5
3
3
3
4
5
1
0
3
9
1
5
1
2
4
1
2
; B =
1
0
2
−2
6
1
2
3
3
−12 −1
8
0
6
2
−16
4
−1
−3
9
−6
2
3
−2
2
−8 −4
−1 −9
0
6
15
−2
0
6
1
;
2. Dla macierzy z zadania 3 oblicz (jeśli to możliwe):
• 2A − B
T
+ A;
• (2A − B)
T
+ A;
• 2A
2
− B
T
+ A − 3I;
• 2A + B − B
T
+ I;
3. Oblicz sumę, różnicę i iloczyny (jeśli to możliwe) danych macierzy A i
B:
•
A =
1
2
2
2
−1 1
1
1
2
; B =
0
1
−1
−1 −2
2
−1
3
1
;
•
A =
1
2
3
0
−1 0
1
0
2
; B =
1
1
−1
1
−1
1
0
0
1
;
•
A =
2
2
−1
2
1
−4
1
2
2
; B =
0
1
2
3
2
1
2
3
1
;
•
A =
"
2
3
4
5
#
; B =
"
2
1
0
−3
#
;
•
A =
"
1
5
2
4
#
; B =
"
3
4
2
−2
#
;
•
A =
"
−2
1
4
−1
#
; B =
"
0
1
2
1
−4 7
#
;
6
•
A =
"
1
1
3
2
2
2
#
; B =
0
1
2
1
2
−2 7 −1
−1 −1 7
2
;
•
A =
h
1
1
2
3
1
i
; B =
0
1
1
−1
1
1
2
4
0
5
;
4. Rozwiąż równania:
•
2
"
2
−3
−1
4
#
· X =
"
2
4
#
;
•
−Y ·
1
0
−1 1
2
1
=
0
3
0
−1
−2 −3
;
jeśli wiadomo, że macież Y jest macierzą symetryczną;
•
Z +
"
2
3
0
−1
#
=
"
5
−2
2
−1
#
;
5. Znaleźć wartość funkcji f (A) jeśli:
A =
"
2
−2
3
−1
#
;
• f (X) = X
2
+ 2X − I;
• f (X) = X
3
− X + 2I;
* f (X) = X
2
+ 2X
−1
;
5* Wyznacz macierze odwrotne macierzy C:
*
C =
"
3
−2
1
2
#
;
*
C =
1
2
2
3
2
1
2
8
1
;
7