Mariusz PYRZ
SIMR (PW), Instytut Pojazdów
Metody numeryczne w mechanice
Równania róŜniczkowe zwyczajne
9.
Mariusz PYRZ
SIMR (PW), Instytut Pojazdów
Metody numeryczne w mechanice
Równania róŜniczkowe zwyczajne
9.
Równania róŜniczkowe zwyczajne
Równanie róŜniczkowe pierwszego rzędu
( , )
dy
f x y
dx
=
0
0
(
)
y x
y
=
warunek początkowy
2
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Problem do rozwiązania
: y(x)=?
W równaniach róŜniczkowych zwyczajnych funkcje niewiadome
zaleŜą od jednej zmiennej niezaleŜnej.
Równania róŜniczkowe zwyczajne
y
x
y
′ = +
( )
1
x
y x
Ce
x
=
− −
Równanie
Rozwiązanie ogólne
Warunek początkowy
3
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Interpretacja geometryczna
Rysunek 1
(0) 1
y
=
( )
2
1
x
y x
e
x
=
− −
Warunek początkowy
Rozwiązanie szczegόlne
Rząd równania róŜniczkowego
Dana jest funkcja ciągła f[a,b] x R
n
R
n
f jest klasy C
p
w przedziale
jeŜeli jest ciągła i ciągłe są jej pochodne aŜ do rzędu p
Równanie róŜniczkowe pierwszego rzędu
x
I
a b
∈ =
0
[ , ]
f
C
I R
p
n
∈
( ,
)
0
′
=
∈ =
∈
∈
y x
f x y x
x
I
a b
y
R
f
C I
( )
( , ( )),
[ , ],
,
( )
0
1
0
4
Równanie róŜniczkowe rzędu p
Rozwiązanie równania róŜniczkowego polega na wyznaczeniu funkcji y(x)
spełniających to równanie (jest ich nieskończenie wiele).
′
=
∈ =
∈
∈
y x
f x y x
x
I
a b
y
R
f
C I
( )
( , ( )),
[ , ],
,
( )
0
0
y
x
f x y x y x y
x
y
x
p
p
( )
(
)
( )
( , ( ),
( ),
( ),
,
( ))
=
′
′′
−
…
1
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Warunki początkowe
Wyznaczenie jedynego rozwiązania wymaga podania dodatkowych informacji o
poszukiwanej funkcji – najczęściej są to warunki początkowe.
Niech x
0
oznacza pewien punkt. Warunki początkowe to:
dla równania
pierwszego
rzędu
wartość funkcji y w punkcie x
0
, czyli
y(x
0
)
dla równania
rzędu p
5
y(x
0
)
oraz wartości pierwszych (p-1) pochodnych funkcji y w punkcie x
0
czyli
y'(x
0
), y''(x
0
), ... y
(p-1)
( x
0
)
W problemach z zakresu mechaniki opisanych za pomocą równań
róŜniczkowych warunki początkowe często pojawiają się „naturalnie”.
Uwaga:
Spotyka się równieŜ tzw. problemy brzegowe, w których narzucone są
warunki brzegowe y(a) i y(b) na granicach a, b przedziału.
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Zagadnienie Cauchy’ego (zagadnienie początkowe)
Polega na znalezieniu funkcji spełniającej równanie róŜniczkowe
oraz spełniającej odpowiednio sformułowane warunki początkowe.
Bez warunków początkowych równanie moŜe mieć wiele rozwiązań.
Warunki początkowe pozwalają na odnalezienie jednoznacznego rozwiązania.
y
x
f x y x y x y
x
y
x
p
p
( )
(
)
( )
( , ( ),
( ),
( ),
,
( ))
=
′
′′
−
…
1
6
Styczna do krzywej całkowej y(x) jest określona przez y'(x)=f(x,y(x)).
KaŜdemu punktowi dziedziny moŜna przyporządkować wektor jednostkowy
o nachyleniu f(x,y(x)) – zbiór takich wektorów określany jest mianem pola.
Scałkowanie równania róŜniczkowego polega na znalezieniu krzywej y(x)
która ma w kaŜdym punkcie styczną pokrywającą z kierunkiem pola w tym
punkcie.
Interpretacja geometryczna
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Zagadnienie Cauchy’ego (zagadnienie początkowe)
7
Interpretacja geometryczna
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Rysunek 2
Równanie róŜniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
Zagadnienie Cauchy’ego dla równania róŜniczkowego pierwszego rzędu
polega na znalezieniu funkcji y(x) klasy C
1
w przedziale I
0
=[a,b]
spełniającej
0
0
0
0
0
( )
( , ( ))
[ , ]
(
)
,
,
y x
f x y x
x
I
a b
y x
y
x y dane
′
=
∈ =
=
8
f jest znaną funkcją,
Tak zdefiniowany problem Cauchy’ego jest równoznaczny z problemem:
Znaleźć y takie, aby spełnić zaleŜność
lub
.
x
I
y
R
0
0
0
∈
∈
,
′
=
z
z
y x dx
f t y t dt
x
x
x
x
( )
( , ( ))
0
0
y
y
f t y t dt
x
x
=
+
z
0
0
( , ( ))
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Istnienie i jednoznaczność rozwiązania
JeŜeli funkcja f jest ciągła i spełnia warunek Lipschitza dla y, to istnieje
funkcja y klasy C
1
w I
0
która stanowi jedyne rozwiązanie problemu
Cauchy’ego.
Przypomnienie:
Funkcja f(x,y) spełnia warunek Lipschitza dla y w I
0
x R jeŜeli istnieje
stała
taka, Ŝe
0
< ∈
K
R
9
Oznacza to, Ŝe szybkość zmian funkcji jest ograniczona, Moglibyśmy
zamiast spełnienia warunku Lipschitza zaŜądać aby f była klasy C
1
, ale
taki warunek jest zbyt surowy gdyŜ istnieją funkcje f które mają nieciągłe
pochodne ale spełniają warunek Lipschitza.
0
< ∈
K
R
f x y
f x y
K y
y
x
a b
y y
R
n
( ,
)
( ,
)
[ , ],
,
1
2
1
2
1
2
−
<
−
∀ ∈
∀
∈
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Rozwiązywanie numeryczne – dyskretyzacja
PrzybliŜone wartości poszukiwanej funkcji y(x
i
) obliczane są
w n punktach x
i
z przedziału I
0
=[a,b].
Zasada:
Dzielimy przedział I
0
za pomocą n+1 punktów x
0
,x
1
, ... x
n
(zazwyczaj równoodległych)
x
0
=a, x
i+1
=x
i
+h, 0<=i<=n gdzie krok dyskretyzacji h=(b-a)/n
Obliczamy n wartości y
1
, y
2
, …, y
n
w punktach x
i
tj. przybliŜone wartości y(x
1
), y(x
2
),
10
Obliczamy n wartości y
1
, y
2
, …, y
n
w punktach x
i
tj. przybliŜone wartości y(x
1
), y(x
2
),
…, y(x
n
) za pomocą ogólnego wzoru y
i+1
~y
i
+F(x
i
, y
i
,h)
Łączymy otrzymane punkty aby uzyskać przebieg funkcji y(x) w I
0
(
moŜna wykorzystać procedury interpolacji lub aproksymacji)
Szacujemy bład dyskretyzacji (który zaleŜy od h)
e
i
=y(x
i
)-y
i
(y(x
i
) – wartość dokładna, y
i
– wartość przybliŜona)
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Rozwiązanie numeryczne
11
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Rysunek 3
Rodzaje metod
Metody o pojedynczych krokach (jednokrokowe)
y
i+1
jest obliczana w funkcji wartości y
i
, x
i
i pozostałych danych
Metody o pojedynczych krokach (explicite) konstruują ciąg przybliŜeń
posługując się zaleŜnością
(funkcja F moŜe być nieliniowa względem f(x) )
y
y x
i
N
i
i
≈
=
( ),
, ,
,
0 1 …
y
y x
y
y
hF x y h
i
N
i
i
i
i
0
0
1
0 1
=
= +
=
+
(
)
( ,
, ),
, ,
,
…
12
(funkcja F moŜe być nieliniowa względem f(x) )
Metody o połączonych krokach (wielokrokowe)
y
i+1
jest obliczana na podstawie wartości y
i
,y
i-1
,y
i-2
,… obliczonych wcześniej.
Metody liniowe moŜna zapisać:
Metoda nazywamy k – krokową jeŜeli
α
α
α
β
β
β
k
i k
i
i
k
i k
i
i
j
j
j
j
j
y
y
y
h
f
f
f
i
N
k
y
y h
j
k
f
f x y
+
+
+
+
+ +
+
=
+ +
+
=
−
=
=
−
=
…
…
…
…
1
1
0
1
1
0
0 1
0 1
1
(
),
, ,
,
( ),
, ,
,
,
(
,
)
α
α
β
k
et
≠
+
≠
0
0
0
0
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Stabilność
Pojęcie stabilności metody oznacza, Ŝe małe zaburzenie danych y
0
(warunków początkowych) i funkcji F pociąga za sobą jedynie małe
zaburzenie rozwiązania i to niezaleŜnie od wielkości kroku h.
ZbieŜność
Pojęcie zbieŜności oznacza, Ŝe przybliŜone rozwiązanie powinno dąŜyć do
rozwiązania dokładnego w kaŜdym punkcie przedziału I
0
wraz ze
13
rozwiązania dokładnego w kaŜdym punkcie przedziału I
0
wraz ze
zmniejszaniem kroku dyskretyzacji h (tj. h dąŜącym do zera).
Metoda zdefiniowana przez schemat
jest zbieŜna jeśli dla kaŜdego rozwiązania dokładnego y(x) ciąg y
i
spełnia
warunek
dla kaŜdego warunku początkowego.
wyraŜa błąd globalny ciągu y
i
w stosunku do rozwiązania
dokładnego y(x
i
) (waŜne w praktyce)
0
0
1
(
)
( ,
, ),
0,1,
,
i
i
i
i
y
y x
y
y
hF x y h
i
N
+
=
= +
=
…
lim sup
( )
h
i
i
y
y x
→
−
=
0
0
sup
( )
y
y x
i
i
−
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Spójność schematu rozwiązania
Pojęcie spójności określa w jaki sposób schemat rozwiązanie odzwierciedla
równanie róŜniczkowe y'=f(x,y).
Metoda zdefiniowana za pomocą schematu rozwiązania
jest określana jako spójna z równaniem róŜniczkowym y'=f(x,y), y
0
=y(x
0
) jeŜeli
dla kaŜdego rozwiązania y problemu zachodzi
lub
lim sup
(
)
( )
( , ( ))
i
i
y x
y x
F x y x
+
−
−
L
M
O
P
=
1
0
lim
(
)
0
y x
y
ε
=
−
=
∑
∑
0
0
1
(
)
( ,
, ),
0,1,
,
i
i
i
i
y
y x
y
y
hF x y h
i
N
+
=
= +
=
…
14
lub
Twierdzenie: Schemat jest spójny wtedy i tylko wtedy jeŜeli
JeŜeli funkcja F spełnia warunki F(x,y,0)=f(x,y) i jeŜeli F spełnia warunek
Lipschitza, to metoda jest spójna.
JeŜeli metoda jest spójną i stabilna to jest zbieŜna
.
lim sup
(
)
( )
( , ( ))
h
i n
i
i
i
i
y x
y x
h
F x y x
→
≤ ≤ −
+
−
−
L
NM
O
QP
=
0 0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
lim
(
)
0
i
i
i
h
i n
i n
y x
y
ε
+
+
→
≤ ≤ −
≤ ≤ −
=
−
=
∑
∑
F x y
f x y
x
I
y
R
( , , )
( , )
0
0
=
∀ ∈
∀ ∈
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Rząd metody
Rząd metody wskazuje ilościowo w jaki sposób metoda jest zbieŜna w
zaleŜności od h, czyli podaje informacje o sposobie w jaki
zmierza do 0 wraz z h.
Metoda jest rzędu p (p > 0) jeŜeli dla kaŜdego rozwiązania y(x) istnieje K<>0
takie Ŝe:
ou
sup
( )
y
y x
i
i
−
sup
0
1
≤ ≤ −
≤
i n
n
p
Kh
ε
sup
(
)
( )
( , ( ), )
0
1
1
≤ ≤ −
+
−
−
≤
i n
i
i
i
i
p
y x
y x
h
F x y x
h
Kh
15
gdzie K jest niezaleŜna od h, ale zaleŜy od funkcji y i F, o których zakładamy
Ŝe są róŜniczkowalne w wystarczającym stopniu.
ε
n
(x) jest zatem rzędu p ze względu na h (
ε
n
(x)
∈
O(h
p
)).
Dany schemat rzędu p jest oczywiście spójny.
Metoda zbiega sie tym szybciej, im wyŜszy jest jej rząd p.
JeŜeli na przykład zmniejszymy dwukrotnie krok, to nakład pracy wzrasta dwukrotnie ale
oszacowanie błędu zmniejsza się 2p – krotnie. Błąd lokalnie zmniejsza sie jak h
p
.
Błąd metody Euler’a-Cauchy’ego jest proporcjonalny do h.
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Metoda Eulera (stycznej)
Krzywa przechodząca przez (x
i
, y
i
) jest zastępowana przez jej styczną
Rozwiniecie Taylor funkcji y w otoczeniu punktu x
i
R
T
– reszta
z rozwinięcia
R
T
/h wystarczająco mały y’(x
i
) ~ [y(x
i+1
)- y(x
i
)]/h
Punkt o współrzędnych (x , y ) jest połoŜony na stycznej w punkcie (x , y )
y x
y x
hy x
R
i
i
i
T
(
)
( )
( )
+
=
+ ′
+
1
′
=
−
−
+
y x
y x
y x
h
R
h
i
i
i
T
( )
(
)
( )
1
y x
y x
hf x y x
i
i
i
i
(
)
( )
( , ( ))
+
=
+
1
16
Punkt o współrzędnych (x
i+1
, y
i+1
) jest połoŜony na stycznej w punkcie (x
i
, y
i
)
do krzywej całkowej przechodzącej przez ten punkt
Schemat (algorytm):
Funkcja F(x,y,h) charakteryzuje ogólnie schemat rozwiązania. Metoda Euler’a-Cauchy’ego jest
przypadkiem szczególnym z funkcją F(x,y,h)=f(x,y(x)) niezaleŜną od h.
Metoda ta jest zazwyczaj wykorzystywana aby oszacować przebieg funkcji – następnie
moŜna przejść do metody wyŜszego rzędu.
0
0
1
(
),
( ,
, )
( ,
, )
( , ( ))
i
i
i
i
i
i
i
i
y
y x
y
y
hF x y h
F x y h
f x y x
+
=
= +
=
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Metoda Eulera
17
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Rysunek 4
Zmodyfikowana metoda Eulera
Schemat :
Wykorzystujemy punkt pośredni
zdefiniowany jako
połoŜony na stycznej w punkcie (x
i
,y
i
) do krzywej całkowej przechodzącej
0
0
1
( )
( ,
, )
( ,
, )
(
,
( ,
))
2
2
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
y x
y
y
hF x y h
h
h
F x y h
f x
y
f x y
+
=
= +
=
+
+
(
,
)
/
/
x
y
i
i
+
+
1 2
1 2
x
x
h
y
h
f x y
i
i
i
i
i
+
+
= +
=
1 2
1 2
2
2
/
/
,
( ,
)
18
i
i
przez ten punkt
Otrzymujemy następujący algorytm obliczania y
i+1
Prosta przechodząca przez punkty (x
i
,y
i
) , (x
i+1
, y
i+1
) jest równoległa do stycznej
w punkcie
do krzywej całkowej przechodzącej przez ten punkt
y x
y
x
x
h
y
h
f x y
y
y
hf x
y
i
i
i
i
i
i
i
i
i
(
)
,
,
( ,
),
(
,
)
/
/
/
/
0
0
1 2
1 2
1
1 2
1 2
2
2
=
= +
=
= +
+
+
+
+
+
(
,
)
/
/
x
y
i
i
+
+
1 2
1 2
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkwe zwyczajne 04.2012
Zmodyfikowana metoda Eulera
19
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Rysunek 5
Zmodyfikowana metoda Eulera (2)
Schemat:
Wykorzystujemy punkt pośredni (x
i+1
, y
i+1/2
) zdefiniowany jako
połoŜony dla odciętej x na stycznej w punkcie (x ,y ) do krzywej całkowej
0
0
1
( )
( ,
, )
1
( ,
, )
[ ( ,
)
(
,
( ,
))]
2
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
y x
y
y
hF x y h
F x y h
f x y
f x
h y
hf x y
+
=
= +
=
+
+
+
y
y
hf x y
i
i
i
i
+
= +
1 2
/
( ,
)
20
połoŜony dla odciętej x
i+1
na stycznej w punkcie (x
i
,y
i
) do krzywej całkowej
przechodzącej przez ten punkt
Uzyskujemy następujący algorytm obliczania y
i+1
Prosta przechodząca przez punkty (x
i
,y
i
) , (x
i+1
, y
i+1
) jest równoległa do
stycznej do krzywej całkowej przechodzącej przez punkt (x
i+1/2
, y
i+1/2
).
0
0
1/ 2
1
1
1/ 2
( )
( ,
)
[ ( ,
)
(
,
)]
2
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y x
y
y
y
hf x y
h
y
y
f x y
f x
y
+
+
+
+
=
= +
= +
+
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Zmodyfikowana metoda Eulera (2)
21
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Rysunek 6
Metoda Heun’a
Schemat:
Algorytm obliczeń:
y
y x
y
y
hF x y h
F x y h
f x y
f x
h y
hf x y
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
0
0
1
1
4
3
4
2
3
2
3
=
= +
=
+
+
+
+
(
)
( ,
, )
( ,
, )
[ ( ,
)
(
,
( ,
))]
22
y
y x
x
x
h
y
y
hf x y
y
y
h
f x y
f x
y
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
0
0
2 3
2 3
1
2 3
2 3
2
3
2
3
4
3
4
=
= +
= +
= +
+
+
+
+
+
+
(
)
( ,
)
[ ( ,
)
(
,
)]
/
/
/
/
Metody Rungego - Kutty
Metody Runge-Kutta (zwane równieŜ RK
R
, gdzie R jest liczbą całkowitą
określającą rząd metody) stanowią klasę metod jednokrokowych opartych
na następującej zasadzie:
- W kaŜdej iteracji, w punktach innych niŜ te dla których poszukujemy
rozwiązania, obliczane są wartości pośrednie (x
nj
, y
nj
) wykorzystując
y
y
y
y
h
f x
y
j
R
n
n
nj
n
jk
nk
nk
j
0
1
1
=
=
+
=
−
∑
α
(
,
),
,
,
…
23
- jako rozwiązanie przyjmujemy y
n+1
= y
nR
.
Wartości
jk
,
k
są dobierane w taki sposób, aby rozwinięcie y
nj
dla
kolejnych rosnących potęg h przybliŜało najlepiej jak moŜna rozwinięcie w
szereg Taylor rozwiązania problemu.
y
y
h
f x
y
j
R
x
x
h
k
R
nj
n
jk
nk
nk
k
nk
n
k
k
R
0
0
1
0 1
1
0
1
=
+
=
=
+
∈
=
=
=
=
∑
α
θ
θ
θ
θ
(
,
),
,
,
,
[ , ],
,
,
…
…
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Metody Rungego - Kutty
Metodę Euler’a-Cauchy’ego moŜna traktować jako metodę RK
1
gdzie R=1,
10
=1
0
=0 :
Metoda stycznej ulepszonej:
10
=1,
20
=0,
21
=1,
0
=0,
1
=1/2,
2
=1.
Wartości pośrednie są zdefiniowane jako
y
y
y
h
f x y
y
h f x y
n
n
n
n
n
n
n
n
+
=
=
+
=
+
1
1
10
0
α
(
,
)
(
,
)
y
y
y
y
h
f x y
y
y
y
hf x
h
y
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
0
1
1
2
1
2
2
=
=
+
=
=
+
+
+
,
(
,
),
(
,
)
24
Metoda Euler zmodyfikowana:
10
=1,
20
=1/2,
21
=1/2,
0
=0,
1
=1,
2
=1.
Wartości pośrednie są zdefiniowane za pomocą zaleŜności
Metoda Heuna:
10
=2/3,
20
=1/4,
21
=3/4,
0
=0,
1
=1,
2
=1.
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
0
1
1
2
1
2
2
+
y
y
y
y
h
f x
y
y
y
y
h
f x
y
f x
h
y
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
0
1
1
2
1
2
2
2
=
=
+
=
=
+
+
+
+
,
(
,
),
[ (
,
)
(
,
)]
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Metoda Rungego – Kutty czwartego rzędu (klasyczna)
Schemat:
gdzie
stosunkowo kosztowna gdyŜ
y
y
hF x y h
F x y h
k
k
k
k
n
n
n
n
n
n
+
=
+
=
+
+
+
1
1
2
3
4
1
6
2
2
(
,
, )
(
,
, )
(
)
k
f x y
k
f x
h
y
h
k
n
n
1
=
=
+
+
(
,
)
(
,
)
25
stosunkowo kosztowna gdyŜ
potrzebuje wielu obliczeń funkcji
f(x,y) w kaŜdym kroku
Metoda jest 4-go rzędu i odpowiadają jej parametry
10
=1/2,
20
=0,
21
=1/4,
30
=0,
31
=0,
32
=1,
40
=1/6,
41
=1/3,
42
=1/3,
43
=1/6,
0
=0,
1
=1/2,
2
=1/2,
3
=1
k
f x
h
y
h
k
k
f x
h
y
h
k
k
f x
h y
hk
n
n
n
n
n
n
2
1
3
2
4
3
2
2
2
2
=
+
+
=
+
+
=
+
+
(
,
)
(
,
)
(
,
)
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Metody wielokrokowe
Pozwalają wyeliminować niedogodność liczenia wartości f(x,y) w punktach
pośrednich, nie słuŜących bezpośrednio jako rozwiązanie
Schemat :
nie występują wartości pośrednie
(wykorzystuje się wartości obliczone na poprzednich etapach)
Metody te nie są samo startujące
y
F x y h
x
y
h
n
n
n
n
n k
n k
n k
+
−
−
−
=
1
(
,
,
,
,
,
,
)
…
26
Metody te nie są samo startujące
aby zacząć iteracje niezbędne jest zastosowanie metody explicite
umoŜliwiającej obliczenie pierwszych wartości
Wzór ogólny:
y
n+i
są dane lub obliczone wcześniej, k jest liczbą kroków
wykorzystywanych do obliczeń,
i
,
i
– stałe niezaleŜne od n
0
0
(
,
),
0
,
0
k
k
i
n i
i
n i
n i
k
i
i
y
h
f x
y
n
N
k
α
β
α
+
+
+
=
=
=
≤ ≤ −
≠
∑
∑
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Metody wielokrokowe
27
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Rysunek 7
Metody wielokrokowe
JeŜeli
k
=0 to metoda jest jawna („explicite”)
(moŜna bezpośrednio otrzymać y
n+k
jako funkcję y
n
,y
n+1
,..., y
n+k-1
)
JeŜeli
k
0 to metoda jest niejawna („implicite”)
(y
n+k
jest zdefiniowane za pomocą równania niejawnego w postaci
y
n+k
=f(x
n+k
, y(x
n+k
)) + „znane człony” )
Rząd metod wielokrokowych
28
Rząd metod wielokrokowych
Metoda k-krokowa jest rzędu p jeŜeli, niezaleŜnie od rozwiązania y, mamy
gdzie C nie zaleŜy od h.
Przykład:
metoda Adams’a-Basforth’a, Adams’a-Moulton’a,
metoda predykcji-korekcji Adamsa rzędu 4
sup
(
)
(
, (
))
0
0
0
1
≤ ≤ −
+
+
+
=
=
−
≤
∑
∑
n N k
i
n i
i
n i
n i
i
k
i
k
p
h
y x
f x
y x
Ch
α
β
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Metody prognozy i korekcji
Idea polega najpierw na zastosowaniu sformułowania jawnego pozwalającego
na oszacowanie pierwszego przybliŜenia wartości y
i
(
prognoza
)
Następnie stosuje się sformułowanie niejawne aby „poprawić" wartość y
i
(
korekcja
), wykorzystaną w drugim członie poprzedniego wyraŜenia
Metoda typu "prognoza-korekcja" drugiego rzędu
1
1
1
( ,
,...,
,
)
i
i
i
i
i
i
y
y
F x x
y y
+
+
+
= +
*
*
1
( ,...,
)
i
i
i
i
y
y
F x
y
+
= +
29
Metoda typu "prognoza-korekcja" drugiego rzędu
1. Wybrać krok h (y
0
jest dane).
2. Obliczyć wartość y
1
stosując np. metodę RK
2
3. Obliczać kolejne wartości y
2
, y
3
,…(n=1,2,…) stosując wzory
*
1
1
1
*
1
1
1
3
(
,
)
(
,
)
2
2
(
,
)
(
,
)
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
h
h
y
y
f x y
f x
y
h
y
y
f x y
f x
y
+
−
−
+
+
+
=
+
−
=
+
+
1
n
n
x
x
h
+
= +
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Metoda typu "prognoza-korekcja" Adams’a rzędu 4
1. Wybrać krok h (y
0
dane).
2. Obliczyć 3 pierwsze wartości y
1
, y
2
, y
3
stosując metodę samo startującą –
np. RK
4
(n=0,1,2) :
k
f x y
k
f x
h
y
h
k
k
f x
h
y
h
k
k
f x
h y
hk
n
n
n
n
1
2
1
2
2
=
=
+
+
=
+
+
=
+
+
(
,
),
(
,
),
(
,
),
(
,
)
y
y
h
k
k
k
k
x
x
h
n
n
n
n
+
+
=
+
+
+
+
=
+
1
1
2
3
4
1
6
2
2
(
),
30
3. Obliczać następne wartości y
4
, y
5
,…(n=3,4,…) stosując wzory
k
f x
h
y
h
k
k
f x
h y
hk
n
n
n
n
3
2
4
3
2
2
=
+
+
=
+
+
(
,
),
(
,
)
y
y
h
f x y
f x
y
f x
y
f x
y
x
x
h
y
y
h
f x
y
f x y
f x
y
f x
y
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+
−
−
−
−
−
−
+
+
+
+
−
−
−
−
=
+
−
+
−
=
+
=
+
+
−
+
1
1
1
2
2
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
24
55
59
37
9
24
9
19
5
*
*
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
) ,
,
(
,
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Układy równań róŜniczkowych pierwszego rzędu
Układu p równań róŜniczkowych pierwszego rzędu
po wprowadzeniu wektorów
′
=
′
=
′
=
y
x
f
x y
x y
x
y
x
y
x
f
x y
x y
x
y
x
y
x
f
x y
x y
x
y
x
p
p
p
p
p
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ,
( ),
( ),
,
( ))
( )
( ,
( ),
( ),
,
( ))
( )
( ,
( ),
( ),
,
( ))
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
…
…
⋯
…
L O
′
L O
L
O
y
y
f
x y
x y
x
y
x
( ,
( ),
( ),
,
( ))
…
31
moŜna zapisać
warunki początkowe
y
y
f
y
=
L
N
M
M
M
M
O
Q
P
P
P
P
′ =
′
′
′
L
N
M
M
M
M
O
Q
P
P
P
P
=
L
N
M
M
M
M
O
Q
P
P
P
P
y
y
y
y
y
y
x
f
x y
x y
x
y
x
f
x y
x y
x
y
x
f
x y
x y
x
y
x
p
p
p
p
p
p
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( , )
( ,
( ),
( ),
,
( ))
( ,
( ),
( ),
,
( ))
( ,
( ),
( ),
,
( ))
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
⋮
⋮
…
…
⋮
…
y
f
y
f
y
( )
,
:( , )
( , )
(
)
x
R
x
x
R
R
R
p
p
p
∈
→
×
→
′
=
=
∈
y
f
y
y
y
y
0
0
( )
( , ( ))
(
)
,
,
x
x
x
x
donné
x
I
0
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Rozwiązanie układu równań róŜniczkowych pierwszego rzędu
Całkowanie układu równań róŜniczkowych moŜna przeprowadzić podobnie jak
rozwiązuje się pojedyncze równanie pierwszego rzędu, stosując
przedstawione wcześniej metody
Metoda Eulera:
gdzie dla i=1,2,…,p :
(
)
(
)
(
, (
) , (
) ,
, (
) )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
y
y
hf
x
y
y
y
i
n
i
n
i
n
n
n
p
n
+
=
+
1
1
2
…
y
y
f
y
n
n
n
n
h
x
+
=
+
1
(
,
)
32
Zmodyfikowana metoda Eulera:
gdzie dla i=1,2,…,p :
-
wartości i-tej składowej y
n
i f=y'
n
.
y
y
f
y
n
n
n
n
h
x
+
=
+
1
(
,
)
y
y
f
y
f
y
n
n
n
n
n
n
h
x
x
+
+
+
=
+
+
1
1
1
2
(
,
)
(
,
)
( )
1
( )
( )
(1)
( )
( )
1
(1)
1
( )
1
(
)
(
)
[
(
, (
) ,..., (
) )
(
, (
)
,..., (
)
)]
2
i
n
i
n
i
n
n
p
n
i
n
n
p
n
h
y
y
f
x
y
y
f
x
y
y
+
+
+
+
=
+
+
(
) ,
(
, (
) ,
, (
) )
( )
( )
( )
( )
y
f
x
y
y
i
n
i
n
n
p
n
1
…
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
• Metoda RK
4
:
y
y
k
k
k
k
n
n
n
n
n
n
+
=
+
+
+
+
1
1
2
3
4
1
6
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
(
) )
(
)
(
,
(
) )
k
f
y
k
f
y
k
k
f
y
k
1
2
1
3
2
2
1
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
h
x
h
x
h
h
x
h
=
=
+
+
=
+
+
Rozwiązanie układu równań róŜniczkowych pierwszego rzędu
33
(
)
(
,
(
) )
k
f
y
k
4
3
2
2
1
2
n
n
n
n
h
x
h
=
+
+
(
)
(
,
)
(
,
)
(
,
)
( )
( )
( )
k
y
y
y
1
1
2
n
n
n
n
n
p
n
n
h
f
x
f
x
f
x
=
L
N
M
M
M
M
O
Q
P
P
P
P
⋯
(
)
(
,
(
) )
(
,
(
) )
(
,
(
) )
( )
( )
( )
k
y
k
y
k
y
k
2
1
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
p
n
n
n
h
f
x
h
f
x
h
f
x
h
=
+
+
+
+
+
+
L
N
M
M
M
M
M
M
M
O
Q
P
P
P
P
P
P
P
⋯
⋯
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Równanie róŜniczkowe wyŜszego rzędu
Za pomocą zmiany zmiennych przekształcamy równanie róŜniczkowe rzędu p > 1
do układu p równań róŜniczkowych rzędu 1.
Niech będzie dane równanie róŜniczkowe rzędu p (p>1)
Wprowadzamy nowe zmienne
y
f x y x y x
y
x
p
p
( )
(
)
( , ( ),
( ),
,
( ))
=
′
−
…
1
y x
y x
( )
( )
=
′ =
y
y
1
2
Do rozwiązania:
Układ p równań
róŜniczkowych 1-go
34
y x
y x
y x
y x
y
y x
y
x
y
y
x
y
x
y
p
p
p
1
2
1
3
2
1
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
=
= ′
= ′
= ′′
= ′
=
= ′
−
−
⋯
′ =
′ =
′ =
′ =
−
y
y
y
y
y
y
y
f
p
p
p
1
2
2
3
1
⋯
róŜniczkowych 1-go
rzędu w którym
niewiadomymi są
funkcje
y
1
, y
2
, …, y
p
.
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012
Równanie róŜniczkowe wyŜszego rzędu
Przekształcenie warunków początkowych
Warunki początkowe
Nowe warunki początkowe
0
0
0
0
( )
( )
y x
y
y x
y
=
′
′
=
1
0
0
2
0
0
( )
(
)
y x
y
y x
y
=
′
=
35
0
0
(
1)
(
1)
0
0
( )
(
)
p
p
y x
y
y
x
y
−
−
′′
′′
=
=
…
3
0
0
(
1)
0
0
( )
( )
p
p
y x
y
y
x
y
−
′′
=
=
…
M.Pyrz Metody numeryczne w mechanice – Równania róŜniczkowe zwyczajne 04.2012