LISTA 12 Zwyczajne, liniowe równania różniczkowe II go rzędu o stałych współczynnikach

LISTA 12 - Zwyczajne, liniowe równania ró·

zniczkowe II-go

rz ¾

edu o sta÷

ych wspó÷

czynnikach.

Zadanie 1

Sprawdzi´c, czy podane uk÷ady funkcji tworz ¾

a na zadanych prze-

dzia÷

ach uk÷

ady fundamentalne wskazanych równa´n ró·zniczkowych, a nast ¾

ep-

nie wyci ¾

agn ¾

a´c wnioski na temat liniowej niezale·zno´sci rozwi ¾

aza´n y

(t) ; y

(t):

a) y

(t) = e

; y

(t) = e

; R; y

+ y

2y = 0;

b) y

(t) = e

; y

(t) = te

; R; y

+ 4y = 0;

c) y

(t) = sin t; y

(t) = sin ( t) ; R; y

+ y = 0:

Zadanie 2

Wyznaczy´c rozwi ¾

azania ogólne wskazanych równa´n ró·zniczko-

wych:

a) y

+ y

2y = 0,

b) 6y

y = 0,

c) 3y

y = 0,

d) y

+ y = 0,

e) 4y

+ y = 0,

f ) y

+ 6y

+ 9y = 0,

g) y

+ 25y = 0, h) y

+ 6y

+ 18y = 0, i) y

+ 5y = 0.

Zadanie 3

Wyznaczy´c rozwi ¾

azania podanych zagadnie´n pocz ¾

atkowych:

a) y

+ 3y = 0, y (0) = 7, y

(0) = 16;

b) y

+ 2y

3y = 0, y (0) = 4, y

(0) = 0;

c) y

+ 6y

+ 8y = 0, y (0) = 3, y

(0) = 10;

d) 2y

= 0, y (0) =

1, y

(0) = 1;

e) y

+ 6y

+ 9y = 0, y (0) = 3, y

(0) =

10;

f ) y

+ 100y = 0, y (0) = 1, y

(0) = 10;

g) y

+ 4y

+ 20y = 0, y (0) = 2, y

(0) = 0;

h) y

+ 5y = 0, y (0) =

1, y

(0) = 2:

Zadanie 4

Wykorzystuj ¾

ac metod ¾

e uzmienniania sta÷

ych wyznaczy´c rozwi ¾

zania ogólne podanych równa´n ró·zniczkowych:

a) 2y

+ 4y

6y = 3;

b) y

+ y

2y = t

;

c) y

1+e

;

d) y

+ y = tgt;

e) y

+ 4y

+ 4y = e

ln t; f ) y

+ y =

sin

Zadanie 5

Wykorzystuj ¾

ac metod ¾

e uzmienniania sta÷

ych wyznaczy´c rozwi ¾

zania podanych zagadnie´n pocz ¾

atkowych:

a) y

+ y = e

arctgt, y (0) = 1, y

(0) = 0;

b) y

+ 3y

+ 2y = sin e

, y (0) =

sin 1, y

(0) =

cos 1;

c) y

+ 3y

+ 2y =

, y (0) = 1, y

(0) = 0;

d) y

+ 3y = 9t

+ 4, y (0) = 6, y

(0) = 8:

Zadanie 6

Metod ¾

a wspó÷

czynników nieoznaczonych (metod ¾

a przewidywa´n)

rozwi ¾

aza´c podane równania niejednorodne:

a) y

+ y = t + 1,

b) y

+ 2y

+ y = t

c) y

+ 4y = t

+ 3; d) 2y

= t

+ 1;

e) y

+ y

= 4t

f ) y

= t

+ t

+ t + 1,

g) y

+ y = t

h) y

= t

, gdzie n

Zadanie 7

Metod ¾

a wspó÷

czynników nieoznaczonych (metod ¾

a przewidywa´n)

rozwi ¾

aza´c podane równania niejednorodne:

a) y

+ y

2y = e

b) 2y

+ 2y = 2 (t + 2) e

c) 4y

+ 4y

+ y = e

1
2

d) y

+ y

2y = e

e) y

+ 2y

+ y = (t + 1) e

, f ) y

= (t

+ t + 1) e

g) y

+ 4y = (t

) e

h) y

+ 3y = (t

2) e

i) y

8y = t

j) 4y

+ 9y = 4 (t

t) e

3
2

Zadanie 8

Metod ¾

a wspó÷

czynników nieoznaczonych (metod ¾

a przewidywa´n)

rozwi ¾

aza´c podane równania niejednorodne:

a) y

+ y

2y = cos t + 2 sin t, b) y

+ 2y

+ y = 4 cos 2t,

c) 4y

+ 9y =

2 sin 3t,

d) y

+ y = sin t,

e) y

+ 4y = cos 2t,

f ) 9y

+ y = cos

2 sin

Zadanie 9

Korzystaj ¾

ac z twierdzenia o sk÷

adaniu rozwi ¾

aza´n oraz z metody

wspó÷

czynników nieoznaczonych rozwi ¾

aza´c podane równania:

a) y

+ y = 2 + sin t,

b) y

+ 2y = 2t + sin t,

c) y

+ 5y

+ 6y = cos t + 6e

d) y

= t (1 + e

) ,

e) y

+ 5y = 10 sin t + 17 sin 2t,

f ) y

+ 4y

+ 4y = 2e

+ (36t

12t

10) e

Bibliogra…a

[1] M. Gewert, Z. Skoczylas, Równania ró·

zniczkowe zwyczajne. Teoria,

przyk÷

ady, zadania, O…cyna Wydawnicza GIS, Wroc÷

aw, 2005.

[2] K. Cegie÷

ka, Matematyka dla studentów …nansów i rachunkowo´sci oraz

zarz ¾

adzania, Wydawnictwo Wy·

zszej Szko÷

y Zarz ¾

adzania i Prawa, War-

szawa 2009.