1 

Funkcje nieliniowe. 
Przykłady 

 

 

Witold Jurek 

W .J. Charakterystyki funkcji 

2 

Przyrost 

Niech będzie dana ciągła i różniczkowalna funkcja y=f(x)  
 

Przyrost zmiennej y dla: 



nieskończenie małego przyrostu zmiennej x: 



skończonego przyrostu zmiennej x:   

 
Jeżeli x oznacza czas, to w pierwszym przypadku mówimy o 
przyroście chwilowym, a w drugim – o okresowym  
W zastosowaniach często Δx = 1 i dlatego przyrost zmiennej 
y, dla skończonego przyrostu zmiennej x wynosi Δy  

dx

dy

x

y





W .J. Charakterystyki funkcji 

3 

Stopa wzrostu 

Zmienna x oznacza czas. Obie stopy (chwilowa, okresowa) 
wyrażają stopę wzrostu zmiennej y w czasie 

 



Stopa wzrostu chwilowa:  

 



Stopa wzrostu okresowa:  

 

W zastosowaniach często 

Δx = 1 i wówczas okresowa stopa 

wzrostu:  

y

dx

dy

S

y

:



y

x

y

S

y

:







y

y

S

y





2 

W .J. Charakterystyki funkcji 

4 

Elastyczność 

Dana jest funkcja:  

Obie zmienne w, z są funkcjami np. czasu.  

 

Elastycznością zmiennej w względem zmiennej z jest 
nazywane wyrażenie: 
 

w którym              to stopy wzrostu, odpowiednio,  
zmiennej w, zmiennej z 

 

))

(

(

)

(

t

z

f

t

w



z

w

z

w

S

S

E

:

,



z

w

S

S ,

W .J. Charakterystyki funkcji 

5 

Parametry funkcji liniowej 

Prosta, funkcja liniowa: y = ax + b 

 

Współczynnik kierunkowy a: przyrost zmiennej y 
odpowiadający nieskończenie małemu albo jednostkowemu 
przyrostowi zmiennej x 

 

Wyraz wolny b: wartość zmiennej y dla zerowej wartości 
zmiennej x. (Współrzędna punktu przecięcia prostej z osią 
rzędnych dla x = 0)  

W .J. Charakterystyki funkcji 

6 

Parametry funkcji wykładniczej 

Funkcja wykładnicza:                    albo 

 



Parametr 



: stopa wzrostu funkcji (zmiennej y) 



Parametr b: wskaźnik wzrostu (zmiennej y) 



Parametr a: wartość zmiennej y dla zerowej wartości 
zmiennej x. 

 

Zależność między 



 oraz b: 

𝑒

𝛽

= 𝑏 albo 



 = ln b   

Jeżeli stopa 



  jest liczbą małą (w praktyce 



  < 0,05), to  

1 + 



  



 b  

 

x

ae

y





x

ab

y



3 

W .J. Charakterystyki funkcji 

7 

Parametry funkcji potęgowej 



Funkcja potęgowa:  

 



Parametr b: elastyczność y względem x. 



Parametr a: wartość zmiennej y  
dla jednostkowej wartości zmiennej x.  

 

 

 

 

b

ax

y



Przykład interpretacji parametrów  

Określić typ i podać interpretację parametrów tzw. 
dynamicznej funkcji produkcji Cobba - Douglasa 

 

 

 w której: P – produkcja 

 

    M – majątek produkcyjny 

 

    Z – zatrudnienie 

 

    t – czas 

 

Parametry funkcji: 

𝛼

0

, 𝛼

1

, 𝛼

2

, 𝛼

3

 

 

W .J. Charakterystyki funkcji 

8 

Funkcja wykładnicza. Przykład 

Nakłady inwestycyjne w gospodarce narodowej pewnego 
kraju w kolejnych 6 latach wynosiły 

 

 

MNK oszacować średnią stopę wzrostu nakładów 
inwestycyjnych w tym okresie 

 

W .J. Charakterystyki funkcji 

9 

lata 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

inwestycje 

227,7 

244,8 

302,6 

378,3 

463,7 

529,6 

4 

Funkcja wykładnicza. Przykład 



Funkcja wykładnicza poddana oszacowaniu 
 

 



Funkcja po uliniowieniu 

 

 

 



Wartości zmiennej czasowej:  
x = -2,5; -1,5; -0,5; 0,5; 1,5; 2,5 

 

 

 

W .J. Charakterystyki funkcji 

10 

Funkcja wykładnicza. Przykład 

    Oszacowanie 

W .J. Charakterystyki funkcji 

11 

df

SS

MS

F

Istotność 

F

Regresja

1 0,577875 0,577875 275,1545 7,74E-05

Resztkowy

4 0,008401

0,0021

Razem

5 0,586276

Współcz

ynniki

Błąd 

standard

owy

t Stat

Wartość-

p

Dolne 

95%

Górne 

95%

Przecięcie

5,831322 0,018709 311,6836 6,36E-10 5,779377 5,883266

Zmienna X 1 0,181718 0,010955 16,58778 7,74E-05 0,151302 0,212134

Funkcja wykładnicza. Przykład 



Dopasowanie funkcji uliniowionej do danych 

 

 

 

 

 



Oszacowanie funkcji wykładniczej 

 

W .J. Charakterystyki funkcji 

12 

Statystyki regresji

Wielokrotność R

0,99281

R kwadrat

0,98567

Dopasowany R kwadrat

0,98209

Błąd standardowy

0,04583

Obserwacje

6

5 

Funkcja wykładnicza. Przykład 



Inna postać funkcji wykładniczej 
 



Funkcja wykładnicza, po uliniowieniu 
 



Oszacowanie parametrów funkcji wykładniczej 



oszacowanie wyrazu wolnego to samo, co wcześniej 



oszacowanie stopy wzrostu: 0,1817 



Funkcja uliniowiona:  



Oszacowana funkcja wykładnicza: 

     

𝑦  = 340,8 × 𝑒

0,1817𝑥

 

 

 

W .J. Charakterystyki funkcji 

13 

Funkcja potęgowa. Przykład 

W tabeli podano wyposażenie gospodarstw domowych w 
motocykle, skutery i motorowery (w szt. na 100 gospodarstw) 
oraz przeciętny miesięczny dochód na osobę (w tys. zł) w 7 
grupach dochodowych. 

 

 

 
Oszacować funkcję wyrażającą potęgową hipotezę o 
zależności wyposażenia gospodarstw domowych w 
motocykle, skutery i motorowery od dochodu na osobę. 
 

W .J. Charakterystyki funkcji 

14 

Przychód 

1,5

 

2,0

 

2,5

 

3,0

 

4,0

 

5,0

 

6,0

 

Wyposażenie  14,79  16,6  16,22  15,85  13,49  11,75  9,55 

Funkcja potęgowa. Przykład 

Funkcja potęgowa 
 

 
Funkcja potęgowa po uliniowieniu 
 

W .J. Charakterystyki funkcji 

15 

6 

Funkcja potęgowa. Przykład 

Oszacowanie funkcji uliniowionej 

W .J. Charakterystyki funkcji 

16 

df

SS

MS

F

Istotność F

Regresja

1

0,16466

0,16466

10,10876

0,02455

Resztkowy

5

0,08145

0,01629

Razem

6

0,24611

Współczynniki

Błąd 

standard

owy

t Stat

Wartość-p

Dolne 95%

Górne 95%

Przecięcie

2,99950

0,12728 23,56637

0,00000

2,67232

3,32668

Zmienna X 1

-0,33178

0,10435 -3,17943

0,02455

-0,60002

-0,06353

Funkcja potęgowa. Przykład 

Dopasowanie 

 

 

 

 

 

Oszacowanie modelu oryginalnego 

- oszacowanie wyrazu wolnego:  

 

- oszacowanie współczynnika kierunkowego (elastyczności) jak  
  w modelu uliniowionym 

W .J. Charakterystyki funkcji 

17 

Statystyki regresji

Wielokrotność R

0,81796

R kwadrat

0,66907

Dopasowany R kwadrat

0,60288

Błąd standardowy

0,12763

Obserwacje

7

Różniczkowanie iloczynu 
Przypomnienie 

Funkcja  
w której:   
traktowana jest jako iloczyn: 

y = u 

× v × w 

 

Pochodna iloczynu 

y’ = u’ 

× v × w + u × v’ × w + u × v × w’ 

 

 

 

  

W .J. Charakterystyki funkcji 

18 

𝑢 =   𝛼

0

𝑀

𝑡

𝛼

1

 

𝑣 = 𝑍

𝑡

𝛼

2

 

𝑤 = 𝑒

𝛼

3

𝑡

 

7 

Uliniowienie funkcji produkcji 
Cobba - Douglasa 

Funkcja produkcji 

 

 

Pochodna 

 

W .J. Charakterystyki funkcji 

19 

Uliniowienie funkcji produkcji 
Cobba - Douglasa 

Stopy wzrostu 

 

 

 

 

 

Model (liniowy) poddany oszacowaniu 

 

W .J. Charakterystyki funkcji 

20 

Przykład.  
Oszacowanie funkcji Cobba - Douglasa 

W 9 kolejnych miesiącach stopa wzrostu nakładów pracy (Z), 
majątku produkcyjnego (M) oraz produkcji pewnych 
przedsiębiorstw (P) wynosiły 
 

 

 

 
MNK wyznaczyć parametry funkcji produkcji Cobba-
Douglasa  

 

 

 

W .J. Uliniowienie_CD 

21 

Miesiące 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7  8  9 

M 

1 

2 

3 

0 

3 

2 

1  1  1 

Z 

2 

2 

1 

1 

2 

1 

0  1  2 

P 

2,2  2,05 1,8 0,85 2,4 1,05 0,3 1,2 1,7 

 

8 

Przykład.  
Oszacowanie funkcji Cobba - Douglasa 



Oszacowanie parametrów funkcji MNK (Excel, 
REGLINP) 

 

 

 

 

 



Oszacowanie modelu liniowego (liniowej transformanty) 

 

 

 

W .J. Uliniowienie_CD 

22 

0,800  0,250  0,050  Oceny 

  

0,111  0,078  0,183  Błędy szacunku 
0,928  0,216  #N/D!  R2 

S 

38,649 

6 

#N/D!  F 

T-K 

3,607  0,280  #N/D!  RSK 

SKO 

Przykład.  
Oszacowanie funkcji Cobba - Douglasa 



Oszacowanie funkcji 

𝑃 

𝑡

= α

0

𝑀

𝑡

0,25

𝑍

𝑡

0,80

𝑒

0,05𝑡

 

 



Uwaga 



Na podstawie danych statystycznych w postaci stóp wzrostu 
MNK nie zostaje oszacowana stała, α

0

, (wyrażająca 

efektywność technologii) 



Stałą α

0

 należy oszacować na podstawie danych o produkcji 

(P), majątku produkcyjnym (M) i nakładach pracy (Z),  
po oszacowaniu MNK liniowej transformanty 

W .J. Uliniowienie_CD 

23