OPRACOWANIE WYNIKÓW
I. ZALEŻNOŚD CZĘSTOTLIWOŚCI DRGAO STRUNY OD LICZBY FALOWEJ, DYSPERSJA
Dla każdego numeru harmonicznej drgao struny policzono odpowiednią liczbę falową fali w
strunie. Skorzystano ze wzoru:
Gdzie: N – numer harmonicznej, L – długośd struny (0,85m) , a za π podstawiono
wartośd: 3,141592653589793.
Policzono również prędkośd fali dla każdej harmonicznej. Skorzystano ze wzoru:
Gdzie: N – numer harmonicznej, L – długośd struny (0,85m),
– zmierzona częstotliwośd
dla da każdej harmonicznej.
Wyniki dla poszczególnych obliczeo zostały przedstawione w tabeli nr 1.
Wartości zostały zaokrąglone do dwóch miejsc po przecinku.
Tabela nr 1. Częstotliwośd zmierzona, liczba falowa i prędkośd fali dla poszczególnych
harmonicznych
N
, Hz
k
N
,
V
N
,
1
67
3,70
113,90
2
135
7,34
114,75
3
203
11,09
115,04
4
271
14,78
115,18
5
339
18,48
115,26
6
407
22,18
115,32
7
475
25,87
115,36
8
542
29,57
115,18
9
609
33,26
115,04
10
684
36,96
116,28
11
750
40,66
115,91
12
819
44,35
116,06
13
890
48,05
116,38
14
958
51,74
116,33
15
1027
55,44
116,39
16
1099
59,14
116,77
17
1162
62,83
116,20
18
1239
66,53
117,02
19
1314
70,22
117,57
20
1383
73,92
117,56
N – numer harmonicznej
Sporządzono wykresy:
Wykres nr 1: Zależnośd rejestrowanych częstotliwości harmonicznych
od liczby falowej
(wartości rzeczywiste)
.
Zaznaczono również przebieg funkcji
, która zakłada liniową zależnośd między częstotliwością
wyższych harmonicznych a częstotliwością podstawową
(wartości teoretyczne).
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
1500
0
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
39
42
45
48
51
54
57
60
63
66
69
72
75
78
k
N
, 1/m
f
N
, Hz
f
N
, Hz
f'
N
, Hz
Wykres nr 2: Zależnośd prędkości fali od jej częstotliwości.
113,5
114,0
114,5
115,0
115,5
116,0
116,5
117,0
117,5
118,0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
f
N
, Hz
V
N
, m/s
V
N
, m/s
II. WYZNACZANIE PRĘDKOŚCI DŹWIĘKU W STRUNIE
Dla każdej długości struny począwszy od 85 cm, skracając ją o 2 cm aż do 59 cm obliczono
odwrotnośd długości struny. Dane przedstawiono w tabeli nr 2 i zaokrąglono je do dwóch
miejsc po przecinku.
Tabela nr 2. Odwrotnośd długości struny
L , m
L
-1
, m
-1
0,85
1,18
0,83
1,20
0,81
1,23
0,79
1,27
0,77
1,30
0,75
1,33
0,73
1,37
0,71
1,41
0,69
1,45
0,67
1,49
0,65
1,54
0,63
1,59
0,61
1,64
0,59
1,69
Na podstawie danych z tabeli nr 2 i karty pomiarowej sporządzono wykres nr 3, który
obrazuje zależnośd częstotliwości pierwszej harmonicznej drgao struny od odwrotności
długości struny.
Za pomocą MS Excel i gotowej funkcji REGLINP wyznaczono współczynniki a i b wraz z ich
niepewnościami prostej regresji y = ax + b:
a = 56, 27299533,
b = - 0,016623523,
u(a) = 0,694694425,
u(b) = 0, 983523622 ,
zatem: y = 56,273x – 0,017
Wzór prostej umieszczono na wykresie nr 3.
Wykres nr 3. Zależnośd częstotliwości pierwszej harmonicznej drgao struny od odwrotności długości struny.
y = 56,273x - 0,017
60
65
70
75
80
85
90
95
100
1,15
1,2
1,25
1,3
1,35
1,4
1,45
1,5
1,55
1,6
1,65
1,7
1/L , 1/m
f
1
, Hz
f
1
, Hz
Ostatnim zadaniem było policzenie prędkości fali w strunie, wraz z niepewnością.
Obliczając prędkośd korzystamy ze wzoru:
,
gdzie: N zawsze będzie równe 1, gdyż liczymy za każdym razem prędkośd dla częstotliwości
podstawowej (pierwszej harmonicznej) struny o danej długości.
Obliczając niepewnośd, korzystamy z prawa propagacji. Wykorzystujemy wzór:
,
gdzie: ,
Wyniki dla poszczególnych obliczeo zostały przedstawione w tabeli nr 3.
Tabela nr 3. Prędkośd fali w strunie wraz z niepewnością dla poszczególnych częstotliwości
podstawowych (dla różnych długości struny).
0,85
67
113,90
3,40
0,83
68
112,88
3,32
0,81
69
111,78
3,24
0,79
71
112,18
3,16
0,77
73
112,42
3,08
0,75
75
112,50
3,00
0,73
77
112,42
2,92
0,71
79
112,18
2,84
0,69
81
111,78
2,76
0,67
84
112,56
2,69
0,65
87
113,10
2,61
0,63
89
112,14
2,53
0,61
92
112,24
2,45
0,59
96
113,28
2,37
WNIOSKI
Na wykresie nr 1 widad, że istnieje rozbieżnośd pomiędzy wartościami rzeczywistymi
zmierzonymi podczas doświadczenia a wartościami teoretycznymi częstotliwości
harmonicznej. Odchylenie otrzymanej doświadczalnie zależności f
N
= f(k
N
) od prostej,
dowodzi istnienia zjawiska zwanego dyspersją fal poprzecznych w strunie.
Z wykresu 2 wnioskujemy, że prędkośd fali w strunie rośnie wraz z jej częstotliwością.
W dodatku im bardziej skrócimy strunę tym częstotliwośd podstawowa jest większa.
Wszystkie odstępstwa od teoretycznych obliczeo mogą wynikad z tego, że elektromagnes nie
został dokładnie ustawiony w strzałce fali, z niedokładności pomiaru długości struny czy
trudności w zaobserwowaniu maksymalnych drgao na oscyloskopie dla coraz wyższych
harmonicznych.