Egz. z metod numerycznych (19) Dzienne
Nazwisko i imię ................................................ gr ........
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ZAD1
ZAD2
ZAD3
ZAD4
EGZ
LAB
ΣΣΣΣ
OCENA
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 1 (5+7 pkt).
a) Omówić metodę stycznych rozwiązywania równania f(x) = 0. Podać załoŜenia o funkcji f i o punkcie
startowym zapewniające zbieŜność do pierwiastka ciągu przybliŜeń x
k
(k = 0,1, ... ) generowanego za
pomocą tej metody.
b) Zbadać zbieŜność ciągu x
k
( )
, gdy f x
( )
x
2
x
−
2
−
=
i punkt startowy x
0
2
−
=
.Wyznaczyć pierwsze
przybliŜenie x
1
. Obliczenia zilustrować graficznie.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 2 (4+6 pkt).
Danych jest (n+1) róŜnych punktów x
0
x
1
,
....
,
x
n
,
oraz wartości pewnej funkcji y = f(x) w tych punktach
y
0
= f(x
0
), y
1
= f(x
1
), ...., y
n
= f(x
n
).
RozwaŜamy interpolację funkcji y = f(x) wielomianem.
a) Omówić zadanie interpolacji Lagrange'a.
b) Zdefiniować ilorazy róŜnicowe 1-go rzędu. Podać postać Lagrange'a i postać Newtona wielomianu
interpolacyjnego dla 2 węzłów.
Ad a. Sformułować zadanie, omówić problem rozwiązywalności.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 3 (8+4 pkt).
Danych jest (n+1) róŜnych punktów x
0
x
1
,
....
,
x
n
,
oraz wartości pewnej funkcji y = f(x) w tych punktach
y
0
= f(x
0
), y
1
= f(x
1
), ...., y
n
= f(x
n
).
RozwaŜamy aproksymację średniokwadratową dyskretną funkcji y = f(x).
a) Sformułować zadanie aproksymacji wielomianowej. Omówić przypadek, gdy funkcja przybliŜająca jest stałą.
b) Dokonać aproksymacji funkcji y = f(x) stałą, gdy f(0.5) = 1.5, f(1) = 1.8, f(1.5) = 1.3 oraz f(2) = 1.4 .
Obliczenia zilustrować graficznie.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Zadanie 4 (10+6 pkt).
Zakładamy, Ŝe zagadnienie początkowe
y ' = f(x,y) , y(x
0
) = y
0
(*)
ma jednoznaczne rozwiązanie na [x
0
,b].
a) Omówić jawną i niejawną metodę Eulera rozwiązywania zagadnienia (*).
b) Dane jest zagadnienie początkowe y ' = x - 2y + 2 , y(2) = 1. Za pomocą jawnej i niejawnej metody
Eulera obliczyć y
1
oraz y
2
, gdy h = 1. Obliczenia zilustrować graficznie.
Ad a. PrzybliŜone rozwiązanie wyznaczamy w punktach równoodległych x
i
= x
0
+ ih (i = 1, 2, ..., n), gdzie
h = (b-x
0
)/n jest krokiem całkowania; --- wzory, interpretacja geometryczna, iteracyjne rozwiązywanie
wzorów niejawnych.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
