Metody statystyczne
w
pomocy społecznej
Dr Alicja Maksimowicz-Ajchel
Metody statystyczne
w
pomocy społecznej
Dr Alicja Maksimowicz-Ajchel
MIARY POŁOŻENIA
(przeciętnego poziomu)
Klasyczne
Pozycyjne
- Średnia
- Dominanta D(x)
arytmetyczna
x
- Mediana M(x)
- pozostałe kwantyle Q
b/v
(x)
MIARY DYSPERSJI
(ZRÓŻNICOWANIA)
Klasyczne
Pozycyjne
- Wariancja S
2
(x)
- Odchylenie ćwiartkowe Q(x)
- Odchylenie
- Pozycyjny współczynnik
standardowe S(x)
zmienności V
p
(x)
- Klasyczny współczynnik
zmienności V(x)
MIARY ASYMETRII
Klasyczne
Pozycyjne
- Klasyczny
- Współczynnik skośności A
s
(x)
współczynnik
-Pozycyjny współczynnik
asymetrii A(x)
asymetrii A
p
(x)
n
x
x
n
i
i
N
1
k
i
i
k
i
i
i
v
v
x
x
1
1
k
i
i
k
i
i
i
v
v
x
x
1
1
Średnia arytmetyczna –
-
ogólna suma wartości
podzielona przez liczbę wartości (liczebność zbiorowości)
a/ szereg szczegółowy
b/ szereg rozdzielczy punktowy
c/ szereg rozdzielczy przedziałowy
x
a/ szereg szczegółowy (średnia nieważona)
20 rodzin zbadano ze względu na liczbę posiadanych dzieci.
Rozkład cechy przedstawia szereg szczegółowy:
Numer jednostki (i)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Σ
Liczba dzieci (x
i
)
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 5
40
n=20 - liczba jednostek w zbiorowości
Σ x
i
=40 - ogólna suma wartości; jest to łączna liczba dzieci w 20 rodzinach.
N
x
= 40/20=2- średnia wartość cechy
Średnia liczba dzieci w badanej zbiorowości rodzin wynosi 2 (przeciętnie na 1
rodzinę przypada 2 dzieci).
b/ szereg rozdzielczy punktowy (średnia ważona)
n= 20 rodzin.
x- liczba dzieci w rodzinie
Liczba
dzieci
x
i
Liczba
rodzin.
n
i
x
i
n
i
cząstkowe sumy wartości
1
5
1 · 5= 5
2
11
2 · 11= 22 łączna liczba dzieci w rodzinach z
3
3
3 · 3=9
dwojgiem dzieci (cząstkowa suma wartości)
4
1
4 · 1=4
Suma
20
40
łączna liczba dzieci w 20 rodzinach
x
=40/20=2
c/ szereg rozdzielczy przedziałowy
(średnia ważona)
n=25 gospodarstw 2-osobowych
x- miesięczny dochód gospodarstwa (tys.zł)
X
0i
-x
1i
n
i
i
x
i
i
n
x
0,5- 1,5
2 1
1 · 2= 2
1,5- 2,5
5 2
2 · 5= 10 łączny dochód 10 gospodarstw o miesięcznych
2,5-3,5 10 3
3 · 10=30 dochodach z przedziału od 2,5 do 3,5 tys.zł
3,5-4,5
6 4
4 · 6=24 (oszacowana cząstkowa suma wartości)
4,5-5,5
2 5
5 · 2= 10
Suma
25 X
76
łączny dochód 25 gospodarstw
(oszacowana ogólna suma wartości)
x
=
76/25=3,04 Średni dochód gospodarstwa 2-osobowego 3,04 tys. zł
Dominanta (moda, wartość najczęściej występująca)
Warunki stosowania dominanty:
- cecha mierzalna i niemierzalna
- szereg rozdzielczy (nie wyznaczamy dla danych
nie pogrupowanych)
- rozkład typowy
- równe rozpiętości przedziału dominanty i
dwóch sąsiadujących
Sposoby wyznaczania dominanty:
a/ szereg rozdzielczy punktowy
D(x)= x
i (ni=max)
Liczba
dzieci
x
i
Liczba
rodzin
n
i
1
5
D(x)
2
11
największa liczebność
3
3
4
1
Suma
20
D(x)=2 dominanta, wartość najczęściej występująca
Najwięcej rodzin miało 2 dzieci
b/ szereg rozdzielczy przedziałowy
d
d
d
d
d
d
d
d
h
n
n
n
n
n
n
x
x
D
)
(
)
(
)
(
1
1
1
0
gdzie:
x
0d
- dolna granica przedziału dominanty
n
d
- liczebność przedziału dominanty
n
d-1
- liczebność przedziału poprzedzającego
dominantę
n
d+1
- liczebność przedziału następnego po przedziale
dominanty
h
d
- rozpiętość przedziału dominanty
n=25 gospodarstw 2-osobowych
x- miesięczny dochód gospodarstwa (tys.zł)
x
0i
-x
1i
n
i
0,5- 1,5
2
1,5- 2,5
5
przedział dominanty
2,5-3,5
10 największa liczebność
3,5-4,5
6
4,5-5,5
2
Suma
25
056
,
3
1
)
6
10
(
)
5
10
(
5
10
5
,
2
)
(x
D
Najwięcej badanych gospodarstw 2-osobowych miało miesięczny dochód
około 3,056 tys.zł.
Mediana – wartość środkowa
Sposoby wyznaczania:
a/ szereg szczegółowy
* Jeśli liczebność zbiorowości statystycznej jest
nieparzysta
- określamy numer jednostki środkowej (inaczej
pozycję mediany) - (n+1)/2
- wskazujemy wartość mediany - jest to wartość cechy
dla jednostki środkowej
2
1
)
(
n
x
x
M
n=13 ośrodków pomocy społecznej x- miesięczne wydatki (tys.zł)
numer jednostki środkowej (13+1)/2=7
lp.(i)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Suma
x
i
5 7 8 8 9 10 12 16 16 17 20 24 25
177
mediana (wartość wydatków środkowej jednostki)
M(x)=12
Połowa badanych ośrodków ma wydatki nie większe niż 12 tys. zł, a połowa 12 tys. zł i więcej.
* Jeśli liczebność zbiorowości statystycznej jest
parzysta
- określamy numery dwóch jednostek środkowych:
n/2 oraz (n+2)/2
- dla cech skokowych wskazujemy dwie
wartości
- dla cech ciągłych wyznaczamy wartość
mediany jako średnią z wartości
przyjmowanych przez jednostki środkowe.
2
)
(
2
2
2
n
n
x
x
x
M
n=14 firm handlowych
x- miesięczna sprzedaż (mln.zł)
numery jednostek środkowych 14/2=7oraz (14+2)/2=8
lp.(i)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Suma
x
i
5 7 8 8 9 10 12 16 16 17 20 24 25 26 203
wartości sprzedaży dla środkowych firm
M(x)=12+16 =14
2
Połowa badanych firm ma sprzedaż nie większą niż 14 mln. zł, a połowa 14
mln. zł i więcej.
b/ szereg rozdzielczy punktowy
- określamy pozycję mediany i wyznaczamy jej wartość tak
jak w szeregu szczegółowym.
Jednostek środkowych szukamy wykorzystując liczebności
skumulowane.
n=40 firm usługowych x– dzienna liczba zleceń
x
i
n
i
n
i
sk
n/2=40/2=20
1
4
4
(n+2)/2 = 42/2=21 numery jednostek środkowych
2
10
14
Mediana M(x)=3
3
20
34
liczebność skumulowana po raz pierwszy
4
4
38
przekroczyła 20 i 21 - numery jednostek środkowych
5
2
40
Σ
30
X
Mediana rozkładu dziennej liczby zleceń jest równa 3 co oznacza, że
przynajmniej połowa firm miała co najwyżej 3 zlecenia w ciągu dnia i
przynajmniej połowa miała 3 zlecenia lub więcej.
c/ szereg przedziałowy
- określamy numer jednostki środkowej - n/2 (pozycję
mediany)
- wskazujemy przedział mediany - jest to przedział, dla
którego liczebność skumulowana osiąga lub po raz
pierwszy lub przekracza numer jednostki środkowej
(pozycję mediany)
- wyznaczamy wartość mediany z następującego wzoru
interpolacyjnego
:
m
m
sk
m
m
n
h
n
n
x
x
M
1
0
2
1
)
(
gdzie:
m
x
0
- dolna granica przedziału mediany
sk
m
n
1
- liczebność skumulowana dla przedziału
poprzedzającego przedział mediany
m
h
- rozpiętość przedziału mediany
n=104 gospodarstwa domowe x- miesięczny dochód (tys.zł)
x
0i
-x
1i
ni
ni
sk
0- 2
45
45
suma liczebności przedziałów
poprzedzających przedział mediany
przedział mediany
x
0m
=2 dolna granica przedziału
2- 4
34
79
liczebności skum. po raz pierwszy przekroczyły
104/2=52
h
m
=2 rozpiętość przedziału
4- 6
15
94
6- 8
9
103
liczebność przedziału mediany n
m
=34
8-10
1
104
Suma
104
M(x)= 2+(1/2∙104 -45) 2 = 2,41
34
Mediana rozkładu dochodów wynosi 2,41, co oznacz, że połowa gospodarstw
(50%) ma dochody nie przekraczające 2,41 tys.zł, a połowa (50%) ma dochody
2,41 tys.zł i więcej.
MIARY DYSPERSJI
Wariancja
a/ szereg szczegółowy - wariancja nieważona
n
x
x
x
S
n
i
i
N
1
2
2
)
(
)
(
b/ szereg rozdzielczy- wariancja ważona
k
i
i
k
i
i
i
v
v
x
x
x
S
1
1
2
2
)
(
)
(
Odchylenie standardowe (miara absolutna)
)
(
)
(
2
x
S
x
S
Interpretacja: przeciętne odchylenie wartości cechy od średniej
arytmetycznej
Klasyczny współczynnik zmienności (miara
stosunkowa)
x
x
S
x
V
)
(
)
(
Ocena siły dyspersji (skala trójstopniowa):
0,0-0,30 słaba dyspersja
0,31-0,60 umiarkowana
powyżej 0,60 silna
Odchylenie ćwiartkowe (miara absolutna)
2
)
(
)
(
)
(
4
/
1
4
/
3
x
Q
x
Q
x
Q
Interpretacja: średnia rozpiętość cechy w dwóch
środkowych ćwiartkach rozkładu.
Pozycyjny współczynnik zmienności (miara
stosunkowa)
)
(
)
(
)
(
x
M
x
Q
x
V
p
Ocena siły dyspersji w dwóch środkowych
ćwiartkach rozkładu (skala trójstopniowa):
0,0-0,30 słaba dyspersja
0,31-0,60 umiarkowana
powyżej 0,60 silna
III. MIARY ASYMETRII
klasyczne
1. Klasyczny współczynnik asymetrii (miara
stosunkowa)
)
(
)
(
3
3
)
2
,
2
(
)
(
x
S
x
x
A
Ocena siły asymetrii (skala trójstopniowa):
0,0-0,7 słaba asymetria
0,71-1,4 umiarkowana asymetria
1,41-2,0 silna asymetria
gdzie: μ
3
(x) – trzeci moment centralny
k
i
i
k
i
i
i
v
v
x
x
x
1
1
3
3
)
(
)
(
pozycyjne
2. Współczynnik skośności (miara stosunkowa)
)
(
)
(
)
(
1
,
1
x
S
x
D
x
s
x
A
Ocena siły asymetrii (skala trójstopniowa):
0,0-0,3 słaba asymetria
0,3-0,6 umiarkowana
0,6-1,0 silna
3. Pozycyjny współczynnik asymetrii (miara
stosunkowa)
)
(
2
)]
(
)
(
[
)]
(
)
(
[
4
/
1
4
/
3
1
,
1
)
(
x
Q
x
Q
x
M
x
M
x
Q
p
x
A
Ocena siły asymetrii (skala trójstopniowa):
0,0-0,3 słaba asymetria
0,3-0,6 umiarkowana
0,6-1,0 silna
Miary stosowane do opisu rozkładów jednowymiarowych:
Typ rozkładu
Położenie
Dyspersja
Asymetria
Typowy
x
D(x)
M(x)
i inne kwantyle
S
2
(x)
S(x)
V(x)
A(x)
albo
A
s
(x)
Nietypowy
M(x)
i inne kwantyle
V
p
(x)
A
p
(x)
PORÓWNANIA ROZKŁADÓW
JEDNOWYMIAROWYCH
a/ Porównania liczbowe
Zasady porównań:
1/ można porównywać wyłącznie te same miary
2/ dyspersję, asymetrię i koncentrację należy porównywać za pomocą
miar względnych
3/ położenie można porównywać wtedy, gdy rozkłady dotyczą tej
samej cechy
Miary stosowane do porównań rozkładów:
Typ
rozkładów
Położenie
Dyspersja
Asymetria
Wszystkie
typowe
x
D(x)
M(x)
i inne kwantyle
V(x)
A(x)
albo
A
s
(x)
Jeden lub
więcej
nietypowy
M(x)
i inne kwantyle
V
p
(x)
A
p
(x)
Porównania graficzne –
wykres pudełkowy (ramkowy, skrzynkowy,
"pudełko z wąsami")
x
min
Q
1/4
M(x)
Q
3/4
x
max
Przykład
Szeregi szczegółowe prezentują rozkład stażu pracy wśród studentów MBA
pewnej uczelni, zatrudnionych na stanowiskach kierowniczych i niekierowniczych
Stanowiska
Stanowiska
niekierownicze
kierownicze
lp. Staż (lata)
lp. Staż (lata)
1
0
1
0
2
3
2
4
3
3
3
4
4
3
4
4
5
4
5
6
6
4
6
7
7
6
7
7
8
6
8
7
9
9
9
7
10
9
10
8
11
18
11
8
12
20
12
8
Suma
85
13
8
14
8
15
8
16
9
17
9
18
9
19
10
20
10
21
10
22
10
23
10
24
11
25
11
26
13
27
14
28
14
29
15
30
17
31
18
32
18
suma
302
Porównanie rozkładów stażu pracy studentów MBA ztrudnionych na stanowiskach
kierowniczych i niekierowniczych
a/ porównanie liczbowe
(wydruk z Excela -
Narzędzia - analiza danych - statystyka opisowa)
stanowisko kierownicze
stanowisko niekierownicze
Średnia
9,4375
Średnia
7,083333
Błąd standardowy
0,725316
Błąd standardowy
1,772938
Mediana
9
Mediana
5
Tryb
8
Tryb
3
Odchylenie standardowe
4,103
Odchylenie
standardowe
6,142
Wariancja próbki
16,835
Wariancja próbki
37,720
Kurtoza
0,400
Kurtoza
1,017
Skośność
0,331
Skośność
1,342
Zakres
18
Zakres
20
Minimum
0
Minimum
0
Maksimum
18
Maksimum
20
Suma
302
Suma
85
Licznik
32
Licznik
12
Poziom ufności(95,0%)
1,479293
Poziom ufności(95,0%) 3,902212
b/ porównanie graficzne
(wykresy pudełkowe - wydruk z Excela - kreator wykresów - wykres giełdowy)
kierownicze-1 niekierownicze-2
kwartyl pierwszy
7
3
minimum
0
0
maksimum
18
20
kwartyl trzeci
11
9