Ćwiczenie 5
Fala płaska w ośrodkach stratnych.
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra In
ż
ynierii Mikrofalowej i Antenowej
Pola i fale elektromagnetyczne
=
2
1 +
− 1
=
2
1 +
+ 1
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra In
ż
ynierii Mikrofalowej i Antenowej
=
+ β = j
1 −
Zespolony współczynnik propagacji:
współczynnik tłumienia
współczynnik fazowy
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra In
ż
ynierii Mikrofalowej i Antenowej
Wzory na długość i prędkość fali oraz relacje impedancyjne, które wyprowadzone
były dla ośrodków bezstratnych, pozostają prawdziwe!
Dla materiału silnie stratnego (metalu), czyli gdy
≫ 1 uproszczone wyrażenia na
impedancję i powyższe współczynniki mają postać
≈
≈
≈
Dla materiału mało stratnego (dielektryka), czyli gdy
≪1
≈
≈
≈
!
"#$
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra In
ż
ynierii Mikrofalowej i Antenowej
Korzyść praktyczna tego zjawiska jest taka, że aby uzyskać niskie straty komponentów mikrofalowych
(np. prowadnic, falowodów) wystarczy pokryć je cienką warstwą bardzo dobrego przewodnika (np.
srebro, złoto, miedź).
Zadanie:
Wyznacz głębokość wnikania fali elektromagnetycznej o częstotliwości % = 2.4 GHz w miedź (przyjąć: = 6 ⋅ 10
+
S/m,
,
= 1 i
,
= 1).
Odp: .
/
=
0
1
=
≅ 1.33 ⋅ 10
45
m
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra In
ż
ynierii Mikrofalowej i Antenowej
Rozwiązanie (a):
Zatem współczynnik fazowy i współczynnik tłumienia wyznaczyć można ze wzoru:
Stąd:
w celu ustaleniu typu ośrodka należy określić wartość
= 10
6
≫ 1
=
=
=
7 · 10
6
· 4 · 7 · 10
4+
· 10 · 2 · 10
46
= 2 2710
46 ,9:
;
.
< =
=
>
= 500 2@,
A =
>
=
=·0B
C
=0B
DC
= 5 2 · 10
E ;
/
.
Odległość d, na której amplituda pola zmaleje pięciokrotnie wyznaczyć można z relacji
F
B
41:
=
0
E
F
B
.
Zatem
1:
= 5 i ostatecznie
G =
ln (5)
=
250 2ln (5)
7
@.
W ośrodku o parametrach
,
= 10,
,
= 36 i
= 2 · 10
46 L
;
rozchodzi się elektromagnetyczna
fala płaska. Wyznacz długość i prędkość fazową fali oraz odległość, na której jej amplituda
zmaleje pięciokrotnie. Przyjmij, ze częstotliwość wynosi:
(a) f = 1kHz, (b) f = 1GHz.
Zadanie:
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra In
ż
ynierii Mikrofalowej i Antenowej
Rozwiązanie (b):
zatem
Stąd:
w celu ustaleniu typu ośrodka należy określić wartość
= 10
46
≪ 1
=
=
M N
M
N
=
N
N
607 = 0.02 107
,9:
;
=
=
5 0B
O
= 407 10
,9:
;
.
< =
=
>
=
0B
BB
@,
A =
>
= 5 10 · 10
5 ;
/
.
Odległość d, tak jak w punkcie (a), wyznaczamy z relacji
G =
ln (5)
=
5 10ln (5)
7
@.
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra In
ż
ynierii Mikrofalowej i Antenowej
Ostatecznie
zatem
Zadanie:
Ω
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra In
ż
ynierii Mikrofalowej i Antenowej
Głębokość wnikania dla ośrodka o przenikalności elektrycznej
,
= 4 i przewodności = 1 S/m przy częstotliwości
% = 30 MHz wynosi G =
0
5=
m. Określ przenikalność magnetyczną ośrodka oraz długość i prędkość rozważanej fali.
Zakładając, że pole elektryczne w ośrodku ma postać F P, R, S, T = 607
41U
cos
T − P Y
Z
V/m wyznacz
towarzyszące mu pole magnetyczne.
Zadanie:
Odp.:
,
= 3,
< =
0
6
m,
A = 10
+
m/s,
[ P, R, S, T = − 5 2
41U
cos
T − P − \ Y
]
A/m,
gdzie
= 6710
+
rad/s,
=
= 67 rad/m,
\ =
7
4
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra In
ż
ynierii Mikrofalowej i Antenowej
Dodatek 1
Wyprowadzenie wyrażeń ogólnych na i
Wychodzimy ze wzoru na :
Podnosząc równanie do kwadratu i wymnażając wyrażenie w nawiasie
otrzymujemy
Ponieważ:
możemy zapisać następujący układ równań:
Wyznaczając β z drugiego równania i podstawiając do pierwszego
otrzymujemy:
Podstawiając T =
2
≥ 0 otrzymujemy równanie kwadratowe:
dla którego wyróżnik wynosi:
i rozwiązanie (nieujemne):
W związku z tym współczynnik tłumienia wyznaczamy korzystając z
wyrażenia:
Wstawiając powyższą zależność do układu równań otrzymujemy:
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
otrzymujemy:
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra In
ż
ynierii Mikrofalowej i Antenowej
Dodatek 2
Aby wyznaczyć moduł i fazę impedancji falowej dla ośrodka stratnego wychodzimy ze wzoru:
gdzie
Wyprowadzenie wyrażeń ogólnych na |S | i \
Dodatek 3
Wyprowadzenie wyrażeń na i w ośrodku słabo stratnym
≪ 1
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra In
ż
ynierii Mikrofalowej i Antenowej
Uwzględniając przyjęte założenie
≪ 1 we wzorach wyprowadzonych w Dodatku 1 czynnik ten może zostać pominięty. Jednakże w
przypadku współczynnika tłumienia oraz fazy impedancji falowej taki krok prowadziłby do całkowitego wyzerowania tych elementów.
Wówczas w przypadku współczynnika tłumienia korzystamy z rozwinięcia funkcji w szereg Taylora 1 + P ≈ 1 +
U
dla |P| << 1
i otrzymujemy:
Współczynnik fazowy redukuje się do postaci:
Moduł impedancji falowej:
Do wyznaczenia fazy impedancji falowej korzystamy z założenia tan P ≈ P dla P << 1 i otrzymujemy:
Dodatek 4
Wyprowadzenie wyrażeń na i w ośrodku silnie stratnym
≫ 1
Autorzy: R. Lech i P. Kowalczyk, Katedra In
ż
ynierii Mikrofalowej i Antenowej
Uwzględniając przyjęte założenie
≪ 1 we wzorach wyprowadzonych w Dodatku 1 w przypadku współczynnika
tłumienia otrzymujemy:
W ten sam sposób redukuje się współczynnik fazowy:
Moduł i faza impedancji falowej wynoszą odpowiednio: