Pole magnetyczne prądu elektrycznego
= q
- siła działająca na ładunek q, zarówno nieruchomy
jak i poruszający się.
Jeśli ładunek porusza się, działa dodatkowa siła, propocjonalna do jego
prędkości i ładunku q, dana wyrażeniem :
mag.
= q x
siła Lorentza
Wyrażenie to definiuje pole magnetyczne B:
B
≡
#
Jednostką B jest tesla : 1T =
Siła całkowita działająca na poruszający się ładunek :
Siła elektomagnetyczna
=
E
+
mag.
= q + q x
Siła
mag.
może działać również gdy siła elektrostatyczna
E
= 0, np. pomiędzy przewodami z płynącym prądem
→
E
F
→
E
→
V
→
F
→
V
→
B
mag
F
qV
N
Am
→
F
→
F
→
F
→
E
→
V
→
B
→
F
→
F
Wykazano, że
mag.
=
r - odległość, w jakiej element przewodu l znajduje się od drugiego
przewodu.
Dla pojedynczego ładunku q poruszającego się w pobliżu przewodnika
z prądem, równolegle do tego przewodnika:
Z równania # : B =
→
F
k
c
2I I
r
2
⋅ l
F
mag.
=
k
c
I
r
qV
2
2
k
c
I
r
2
2
Pole magnetyczne w odległości r od
nieskończenie długiego, prostego
przewodu z prądem.
Kierunek i zwrot wektora pola
magnetycznego określa się z
reguły prawej ręki : jeśli
ujmiemy przewód z prądem
tak, że kciuk jest skierowany
zgodnie z I, to pozostałe palce
wskażą zwrot
Z tej reguły, i z równania wektorowego
mag.
= q x
można
wyznaczyć kierunek i zwrot
mag
dla różnych .
→
B
→
F
→
V
→
B
→
F
→
V
Konwencja oznaczania wektorów
prostopadłych do płaszczyzny rysunku:
X
zwrot do płaszczyzny
•
zwrot od płaszczyzny
(
mag.
zawsze prostopadłe do !)
→
F
→
V
Ładunek, który wpadnie do jednorodnego pola magnetycznego z
prędkością
⊥
będzie poruszał się po okręgu.
Siła F = q V B wywoła przyspieszenie a
n
=
, normalne (prostopadłe)
do v.
a
n
=
Z kinematyki ruchu po okręgu
a
n
=
=
Promień okręgu
: r =
; Okres: T =
=
→
V
→
B
F
m
qvB
m
2
v
r
2
v
r
qvB
m
mv
qB
2 r
v
π
2
πm
qB
Przykład:
Do skrzyżowanych prostopadle pól i . wpada wiązka
protonów z v = 0,1c i
⊥
oraz
⊥ .
Dla jakiego siła elektromagnetyczna działająca na protony równa
się zero ?
=
E
+
mag.
= q
+ q x
= 0 ; q = e
⇒ e
+ e x =0
= - x
⊥ więc skalarnie E = v B
czyli =
v (cząstki o innym v
będą odchylone)
→
E
→
B
→
V
→
E
→
V
→
B
E
B
→
F
→
F
→
F
→
E
→
V
→
B
→
F
→
E
→
V
→
B
→
E
→
V
→
B
→
V
→
B
E
B
Obliczmy całkę z po okręgu o promieniu r przez środek którego przechodzi
przewód z prądem I.
d
= =
B
= B 2
πr =
okrąg okrąg okrąg
(wartość całki nie zależy od r !)
(
; dla danego r wartość B = const.; całka krzywoliniowa:
)
Jakie jest pole magnetyczne wytwarzane przez dowolny układ
przewodników z prądem?
(inaczej: czy istnieje odpowiednik prawa Gaussa
dla pola magnetycznego?)
→
B
→
∫ B
→
s
Bds
∫
ds
∫
k
c
2I
r
2 r 4 k
c
I
2
2
π
π
=
ds
r
=
∫
2
π
→
→
B
d s
Dla elementu konturu d
d
= d
(bo składowa wektora d
prostopadła do nie daje
wkładu do iloczynu skala-
rnego)
również
d = d
d
i d
są elementami okręgów
współśrodkowych ze środkiem w
przewodniku I.
Obliczmy całkę z pola
dla dowolnego konturu zamkniętego otaczającego
przewód z prądem.
→
B
→
1
s
→
1
B
→
1
s
→
1
B
→
1
'
s
→
1
s
→
B
→
2
B
→
2
s
→
2
B
→
2
'
s
→
1
'
s
→
2
'
s
d = d + d +
.......
+
= d
’
+ d
’
+ ...=
d '
kontur dowolny
całka nie zależy od promienia okręgu którego elementem jest
d
’
d =
dowolny okrąg
→
∫ B
→
s
→
1
B
→
1
s
→
2
B
→
2
s
→
1
B
→
1
s
→
2
B
→
2
s
B
→
→
s
→
s
→
∫ B
→
s
4
2
πk
c
I
Jeśli kontur zamknięty otacza n przewodów z prądami
I
1
, I
2
,......I
n
, możemy zastosować zasadę superpozycji pól.
1
d
=
1
; .....
n
d
=
n
(całki
n
d
są całkami krzywoliniowymi po konturach zamkniętych)
1
d
+ ....... +
n
d
=
1
+ ..... +
n
+ + .... + ) d
=
I
1
+ I
2
+ ..... I
n
)
Prawo
Ampere
’
a
d
=
K
I
K
jest sumarycznym prądem objętym konturem K
I
K
= d
gdzie A jest dowolną powierzchnią
ograniczoną konturem K
(całka powierzchniowa)
→
∫ B
→
s
4
2
πk
c
I
→
∫ B
→
s
4
2
πk
c
I
→
∫ B
→
s
→
∫ B
→
s
→
∫ B
→
s
4
2
πk
c
I
4
2
πk
c
I
(
→
∫
1
B
→
2
B
→
n
B
→
s
4
2
πk
c
(
→
B
k
∫
→
s
4
c
I
k
2
π
→
∫ j
A
→
A
Prawo Ampere
’
a jest słuszne nie tylko dla prostych przewodów z prądem
I
1
, I
2
, .... I
n
, ale dla przewodów o dowolnym kształcie.
Prawo Ampere
’
a jest słuszne nie tylko dla prostych przewodników z
prądem I
1
, I
2
, .... I
n
, ale dla przewodników o dowolnym kształcie.
Przez analogię do strumienia elektrycznego
φ
E
można określić
strumień magnetyczny przez pewną powierzchnię s jako liczbę linii
pola B przechodzących przez s.
d
φ
B
= d ;
φ
B
=
d
→
B
→
s
→
∫ B
s
→
s
Linie pola B są ciągłe wokół przewodnika, zatem strumień przez
dowolną powierzchnię zamkniętą s jest
równy zeru (bo wszystkie linie które
wchodzą do s muszą także wyjść):
d = 0
Dla n przewodników z prądami I
1
, I
2
, .... I
n
φ
B
=
d =
1
d
+ .....+
n
d
=
φ
1
+
φ
2
+ ... +
φ
n
Dla powierzchni zamkniętej :
d
= 0
Jest to słuszne dla n przewodników z prądami I
1
..... I
n
o dowolnym
kształcie.
→
∫ B
s
→
s
→
∫ B
s
→
s
→
∫ B
s
→
s
→
∫ B
s
→
s
→
∫ B
s
→
s
Pochodzenie siły magnetycznej
Obojętny elektrycznie przewód w którym płynie prąd I dla obserwatora
poruszającego się z prędkością v wzdłuż przewodu (w kierunku zgodnym
z I) wykazuje gęstość ładunku
λ
‘
= -
( )I
#
Efekt ten wynika ze szczególnej teorii względności, z tzw.
skrócenia
Lorentza
: długość przedmiotu który porusza się względem nas z
prędkością v będzie miał dla nas długość:
l
'
=
l (skrócenie wymiaru l wystąpi w kierunku ruchu);
l - długość przedmiotu w spoczynku
2
v
c
2
1
c
2
−
1
1 v
c
2
−
v
2
Dla "obserwatora" na ładunku q odległości między ładunkami + w
przewodniku ulegną skróceniu, więc gęstość liniowa
λ
+
wzrośnie.
Ten efekt jest jeszcze silniejszy dla poruszających się ładunków
ujemnych w przewodniku (większa prędkość względna), czyli
λ
-
>
λ
+
.
A więc przewód nie jest obojętny elektrycznie dla poruszającego się
ładunku q, lecz wykazuje wypadkowy ładunek ujemny. Dla
zewnętrznego obserwatora, ten wypadkowy ładunek działa na
ładunek q siłą :
F =
o
k
c
I
r
qV
2
2
( )
Pole elektromagnetyczne
Wykażemy, że i są
składowymi tego samego pola
elektromagnetycznego. Dla poruszających się obserwatorów zachodzi
transformacja relatywistyczna i (oba pola przechodzą wzajemnie
jedno w drugie).
Załóżmy, że w układzie laboratoryjnym xy znajduje się nieruchomy
przewodnik zawierający ładunek dodatni o gęstości liniowej
λ
- prąd
nie płynie.
W układzie xy
B = 0
E =
(np. w punkcie A)
Obserwator związany z układem x
’
y
’
poruszającym się z prędkością
zaobserwuje przepływ prądu (w lewo) o natężeniu: I
’
= v
λ
‘
(
λ
‘
- gęstość
liniowa ładunku obserwowana w układzie x
’
y
’
).
→
E
→
B
→
E
→
B
2k
r
λ
→
v
Stwierdzi więc pole magnetyczne:
B
’
=
i elektryczne: E
’
=
czyli: B
’
= E ; wektorowo: = x
To znaczy, że poruszający się układ ładunków elektrycznych z
prędkością v wytworzy pole magnetyczne:
= x
Podobnie, rozpatrując przewodnik nienaładowany w którym płynie prąd
i który porusza się z prędkością
, można wykazać, że będzie on
wytwarzał pole elektryczne
= - x
Jest to ogólny związek między polem elektrycznym i polem
magnetycznym wytwarzanym przez źródło prądu poruszające się z
prędkością .
Tak wytworzone pole elektryczne nazywamy indukcją
elektromagnetyczną
⇒
prawo Faradaya
k
c
I
r
2
2
'
=
k
c
v '
r
2
2
λ
2k '
r
λ
v
c
2
→
B
v
c
2
→
E
→
B
v
c
2
→
E
→
v
→
E
→
v
→
B
→
v
Przykład
: Jakie napięcie powstanie na końcach skrzydeł samolotu
lecącego wzdłuż południka z prędkością 1000 km/godz.? Długość
skrzydeł l = 25m ; składowa pionowa pola magnetycznego Ziemi B
⊥
=
0,6 10
-4
T
= - x
E
→
v
B
→
→
(bo porusza się względem Ziemi,
czyli źródła pola magnetycznego)
.
⊥
⊥
, czyli E = v B
⊥
→
v
→
B
E = 1000 (km/godz) • 0,6 •10
-4
(T)
≅
278 (m/s) • 0,6 •10
-4
(Vs/m
2
)
≅ 0,017 V/m
dV = -
d
= - E l = 0,017 V/m • 25 m
≅ 0,4 V
→
E
→
s
Inny sposób przedstawienia
rozkładu pola ładunku będącego w
ruchu jednostajnym
Pola elektryczne i magnetyczne wytworzone
w pewnej chwili przez ładunek poruszający
się ruchem jednostajnym.
Prawo Biota - Savarta
Rozważmy ładunek q poruszający się z prędkością v
<<
c.
Wytwarza on pole elektryczne w odległości r:
= k
- wektor jednostkowy skierowany od q do punktu
w którym wyznaczamy pole E
ponieważ : = x
=
x (k
) =
x
Zastosujmy to równanie do ładunku dq płynącego w elemencie dl
obwodu z prądem :
d =
x =
(d jest wektorem długości elementu dl z prądem; )
d =
Prawo Biota-Savarta jest równoważne prawu Ampera. Całkowite
pole w danym punkcie oblicza się całkując powyższe równanie po
całym, zamkniętym obwodzie z prądem (tzn. sumując pola d
wytworzone przez wszystkie elementy dl obwodu z prądem)
→
E
q
r
r
2
∧
∧
r
→
B
c
v
2
→
→
E
→
B
c
v
2
→
q
r
r
2
∧
k
c
q
r
2
2
∧
r
→
B
dt
d
r
dq
c
k
2
2
l
→
∧
r
r
r
x
d
dt
dq
c
k
2
2
∧
→
l
→
l
d
dt
v;
→
→
=
l
dq
dt
I
=
B
→
r
r
d
I
c
k
2
2
ˆ
x
l
r
→
B
→
B
v
→
Prawo Biota - Savarta
Zastosowania prawa Ampere’a i prawa Biota-Savarta
Pręt lub drut
: wyznaczyć pole B na zewnątrz pręta w którym płynie prąd o
jednorodnej gęstości j
=
I (prawo Ampere’a)
= B
= B 2
π
r
okrąg
(B jest stałe na okręgu ze środkiem w środku
pręta, oraz
)
B 2
π r = I
B = gdzie I = d
(
por. równanie ze str. 11.2
)
Pole magnetyczne na zewnątrz pręta jest takie same jak dla cienkiego
drutu umieszczonego w środku pręta, w którym płynąłby prąd o takim
samym natężeniu I.
→
∫ B
4 k
c
2
π
→
∫ B
d s
→
d s
→
ds
∫
→
B
d s
→
4 k
c
2
π
k
c
2I
r
2
→
∫ j
→
A
Solenoid
: wyznaczyć pole B
w
wewnątrz długiego solenoidu
posiadającego n zwojów na jednostkę długości.
=
I
k
(prawo Ampere
’
a)
I
k
=
∆
l n I
=
w
+
+
+
ABCD
AB BC CD DA
B
w
∆
l =
∆
ln I
⇒ B
w
=
n I
→
∫ B
d s
→
4 k
c
2
π
→
∫ B
d s
→
→
∫ B
d s
→
→
∫ B
d s
→
→
∫ B
d s
→
→
∫ B
d s
→
4 k
c
2
π
4
2
πk
C
Obwód kołowy
: Wyznaczyć pole B wzdłuż osi obwodu kołowego o
promieniu R
d
=
I
(Prawo Biota-Savarta)
d
⊥
dB = I
Interesuje nas tylko składowa dB
x
(bo składowa dB
y
dla każdego
elementu
∆ będzie skompensowana przez taką samą co do wartości,
ale przeciwnie skierowaną składową dB
y
’
wytworzoną przez element d
’
przeciwległy do d )
z podobieństwa trójkątów:
dB
x
=
=
→
B
k
c
2
d xr
r
2
l
→
l
∧
r
k
c
2
d
r
2
l
→
l
→
l
→
l
d B
dB
R
r
x
=
R
r
dB
k
c
I R
r
d
2
3
l
Sumując składowe dB
x
pochodzące od wszystkich elementów dl obwodu
kołowego (czyli całkując):
B
x
=
okrąg okrąg
A =
π
- powierzchnia otoczona przez obwód kołowy.
Podobnie jak dla dipola elektrycznego (E
∼
), pole magnetyczne obwodu
kołowego B
∼
(wzdłuż osi).
k
c
I R
r
d
k
c
I R
r
d
k
c
I R
r
2 R
2
3
2
3
2
3
l
l
=
=
=
∫
∫
π
k
c
2I
r
R
2 3
2
π
= k
c
2I
r
A
2 3
2
R
1
3
r
1
3
r
Linie pola magnetycznego B magnesu sztabkowego i solenoidu o
skończonej długości.
Linie pola B
obwodu kołowego (w
płaszczyźnie prostopadłej do płaszczyzny
obwodu i przechodzącej przez średnicę
obwodu).
Moment magnetyczny
: na magnes sztabkowy umieszczony w
jednorodnym polu magnetycznym B działają siły (orientujące magnes
zgodnie z polem) takie, jakby na biegunach magnesu były „ładunki”
magnetyczne q
m
i -q
m
(nie istnieją, ale pojęcie wygodne do opisu !)
= q
m
Moment sił F:
T = F l sin
α
= q
m
B l sin
α
(l - długość magnesu)
µ
= q
m
l - moment magnetyczny
T =
µ
B sin
α
lub = x
→
F
→
B
→
T
→
µ
→
B
Z jaką siłą pole magnetyczne działa na element obwodu z prądem?
Siła Lorentza : = q
x
dla elementu dl w którym płynie ładunek dq:
d
= dq
x = dq
x =
d x
d
= I d x
→
F
→
v
→
B
→
F
→
v
→
B
d
dt
→
l
→
B
dq
dt
→
l
→
B
→
F
→
l
→
B
Przykład
: Z jaką siłą oddziałują na siebie elementy
∆l = 1m nieskończenie
długich, równoległych przewodów oddalonych od siebie o r = 1m, w których
płynie prąd o natężeniu 1A?
Jeden z przewodników wytwarza w odległości r pole B:
B =
ponieważ d
= I d x ;
d
⊥
dla elementu
∆
l :
∆
F = I
∆
l
=
∆
l
∆
F = 10
-7
1m = 2 10
-7
N
k
c
2I
r
2
→
F
→
l
→
B
→
l
→
B
k
c
2I
r
2
k
c
2II
r
2
N
A
A
m
2
2
2
1
Definicja Ampere’a
: prąd stały o natężeniu 1A płynący w
dwu prostoliniowych, równoległych, nieskończonych i
cienkich przewodach oddalonych o 1 m, wywołuje w próżni
siłę wzajemnego oddziaływania równą 2x10
-7
N na 1m.
Jaki moment sił działa na ramkę z prądem umieszczoną w
jednorodnym polu magnetycznym?
d = I d x
Siły działające na boki l
2
znoszą się (nie są
zaznaczone na rysunku, są skierowane do
środka ramki, w jej płaszczyźnie).
Na boki l
1
działają siły
= I
x
⊥
więc F = I l
1
B
Moment sił: T = F l
2
sin
α
= I l
1
B l
2
sin
α
= I l
1
l
2
B sin
α
= I A B sin
α
A = l
1
l
2
- powierzchnia otoczona przez obwód
Przez analogię do magnesu sztabkowego : T =
µ
B sin
α
µ
= I A
moment magnetyczny pętli z prądem
→
F
→
l
→
B
→
F
→
1
l
→
B
→
1
l
→
B
Dla solenoidu o n zwojach
: T = n I A B sin
α
,
przy długości l solenoidu, po jego powierzchni płynie wypadkowy prąd
powierzchniowy J =
czyli T = J l A B sin
α
(dla magnesu sztabkowego T = q
m
B l sin
α
)
przez analogię : q
m
= J A „ładunek” magnetyczny solenoidu
µ
= J A l
Magnesy sztabkowe można traktować jako solenoidy o prądzie
powierzchniowym będącym prądem wypadkowym prądów atomowych; na
całkowity moment magnetyczny magnesu składają się momenty
magnetyczne atomowe wywołane prądami elektronowymi.
nI
nI J
l
l
⇒
=
Przykład
: Obliczyć moment magnetyczny atomu żelaza.
Prąd elektronu o ładunku e na orbicie o promieniu r przy
prędkości v wynosi : I = (T - okres obiegu orbity)
T =
⇒ I =
Moment magnetyczny pętli z prądem :
µ
= I A
A =
π r
2
⇒ µ
e
= I
π r
2
=
π r
2
=
e
T
2 r
v
π
ev
2 r
π
ev
2 r
π
ev r
2
Mnożąc licznik i mianownik przez masę elektronu m :
µ
e
= (mVr) =
L (L = mVr - moment pędu)
Z mechaniki kwantowej: L jest wielkością skwantowaną, o minimalnej
wartości (kwancie); L = =
h
,
gdzie h jest stałą Plancka: h = 6,63 10
-34
J s
więc :
µ
e
=
= 9,3
⋅ 10
-24
Am
2
Magneton Bohra
Wartość
µ
e
nie zależy od r - wszystkie elektrony na orbitach mają taki
sam minimalny moment magnetyczny. W atomie żelaza, momenty
magnetyczne 24 elektronów się znoszą; tylko dla 2 elektronów są
zgodne, więc:
µ
Fe
= 2
µ
e
= 1,86 10
-23
A m
2
e
m
2
e
m
2
π
2
h
e
m
2
h
2
π
Równania Maxwella dla prądu stałego
1) Prawo Gaussa
d =
4
πkQ
wew.
(całka powierzchniowa)
________________________________________________________________________________________
2) W elektrostatyce różnica
d
= 0
potencjałów nie zależy od
(całka krzywoliniowa)
drogi (praca siły zachowa-
czej na drodze zamkniętej = 0)
_______________________________________________________________________________________
3) Strumień magnetyczny
przez dowolną powierzchnię
d =
0
zamkniętą jest zero
(całka powierzchniowa)
(linie pola B są ciągłe,
bo nie istnieją ładunki magnetyczne).
________________________________________________________________________________________
4) Prawo Ampere
’
a
d
=
I
wew.
(całka krzywoliniowa)
________________________________________________________________________________________
→
∫ E
→
s
→
∫ E
→
s
→
∫ B
→
s
→
∫ B
→
s
4 k
2
c
π
Powyższe równania można wyprowadzić z równania Coulomba i ze szczególnej teorii
względności (przy założeniu, że ładunki w ruchu wnoszą do prawa Gaussa wkład
niezależny od swojej prędkości). Siła magnetyczna nie jest nowym rodzajem oddziaływań.