Dekompozycja LU
Rodryg Jaroszewski
Kevin Wolny
Wydział Informatyki
Politechnika Pozna ´nska
11.12.2012
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
1 / 32
Dekompozycja LU
Rodryg Jaroszewski
Kevin Wolny
Wydział Informatyki
Politechnika Pozna ´nska
11.12.2012
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
1 / 32
Zakres Zagadnie ´n
1
Co to jest dekompozycja LU
Macierze L i U
Algorytm dekompozycji
2
Dla macierzy dwuwymiarowej
Dla macierzy trójwymiarowej
3
Dlaczego odwrotno´sci?
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
4
Obliczanie układów równa ´n
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
2 / 32
Dekompozycja LU
Dekompozycja LU jest jest to najprostsza faktoryzacja macierzy,
pozwala równie˙z na szybkie wyliczenie wyznacznika macierzy A.
Polega na rozbiciu macierzy A na dwa czynniki: L i U.
A = LU
Co to jest L?
Co to jest U?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
3 / 32
Dekompozycja LU
Dekompozycja LU jest jest to najprostsza faktoryzacja macierzy,
pozwala równie˙z na szybkie wyliczenie wyznacznika macierzy A.
Polega na rozbiciu macierzy A na dwa czynniki: L i U.
A = LU
Co to jest L?
Co to jest U?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
3 / 32
Dekompozycja LU
Dekompozycja LU jest jest to najprostsza faktoryzacja macierzy,
pozwala równie˙z na szybkie wyliczenie wyznacznika macierzy A.
Polega na rozbiciu macierzy A na dwa czynniki: L i U.
A = LU
Co to jest L?
Co to jest U?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
3 / 32
Dekompozycja LU
Dekompozycja LU jest jest to najprostsza faktoryzacja macierzy,
pozwala równie˙z na szybkie wyliczenie wyznacznika macierzy A.
Polega na rozbiciu macierzy A na dwa czynniki: L i U.
A = LU
Co to jest L?
Co to jest U?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
3 / 32
Macierz górnotrójk ˛
atna U
Macierz górnotrójk ˛
atna to taka macierz, której wszystkie współczynniki
poni˙zej głównej przek ˛
atnej s ˛
a równe zero.
U =
u
11
u
12
u
13
0
u
22
u
23
0
0
u
33
Przykład
U =
2 3 4
0 5 3
0 0 2
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
4 / 32
Macierz górnotrójk ˛
atna U
Macierz górnotrójk ˛
atna to taka macierz, której wszystkie współczynniki
poni˙zej głównej przek ˛
atnej s ˛
a równe zero.
U =
u
11
u
12
u
13
0
u
22
u
23
0
0
u
33
Przykład
U =
2 3 4
0 5 3
0 0 2
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
4 / 32
Macierz górnotrójk ˛
atna U
Macierz górnotrójk ˛
atna to taka macierz, której wszystkie współczynniki
poni˙zej głównej przek ˛
atnej s ˛
a równe zero.
U =
u
11
u
12
u
13
0
u
22
u
23
0
0
u
33
Przykład
U =
2 3 4
0 5 3
0 0 2
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
4 / 32
Macierz dolnotrójk ˛
atna L
Macierz dolnotrójk ˛
atna to taka macierz, której wszystkie współczynniki
powy˙zej głównej przek ˛
atnej s ˛
a równe zero oraz wspołczynniki na
głównej przek ˛
atnej s ˛
a równe jeden.
L =
1
0
0
l
21
1
0
l
31
l
32
1
Przykład
L =
1
0 0
−3 1 0
4
2 1
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
5 / 32
Macierz dolnotrójk ˛
atna L
Macierz dolnotrójk ˛
atna to taka macierz, której wszystkie współczynniki
powy˙zej głównej przek ˛
atnej s ˛
a równe zero oraz wspołczynniki na
głównej przek ˛
atnej s ˛
a równe jeden.
L =
1
0
0
l
21
1
0
l
31
l
32
1
Przykład
L =
1
0 0
−3 1 0
4
2 1
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
5 / 32
Macierz dolnotrójk ˛
atna L
Macierz dolnotrójk ˛
atna to taka macierz, której wszystkie współczynniki
powy˙zej głównej przek ˛
atnej s ˛
a równe zero oraz wspołczynniki na
głównej przek ˛
atnej s ˛
a równe jeden.
L =
1
0
0
l
21
1
0
l
31
l
32
1
Przykład
L =
1
0 0
−3 1 0
4
2 1
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
5 / 32
Algorytm dekompozycji LU
Aby doprowadzi´c macierz do postaci A = LU nale˙zy wykona´c
nast ˛epuj ˛
ace kroki:
Eliminacja wg Gaussa macierzy A
Znalezienie macierzy eliminacji
Pomno˙zenie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji
w odwrotnej kolejno´sci
Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Zapisanie równania jako A = LU
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
6 / 32
Algorytm dekompozycji LU
Aby doprowadzi´c macierz do postaci A = LU nale˙zy wykona´c
nast ˛epuj ˛
ace kroki:
Eliminacja wg Gaussa macierzy A
Znalezienie macierzy eliminacji
Pomno˙zenie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji
w odwrotnej kolejno´sci
Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Zapisanie równania jako A = LU
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
6 / 32
Algorytm dekompozycji LU
Aby doprowadzi´c macierz do postaci A = LU nale˙zy wykona´c
nast ˛epuj ˛
ace kroki:
Eliminacja wg Gaussa macierzy A
Znalezienie macierzy eliminacji
Pomno˙zenie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji
w odwrotnej kolejno´sci
Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Zapisanie równania jako A = LU
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
6 / 32
Algorytm dekompozycji LU
Aby doprowadzi´c macierz do postaci A = LU nale˙zy wykona´c
nast ˛epuj ˛
ace kroki:
Eliminacja wg Gaussa macierzy A
Znalezienie macierzy eliminacji
Pomno˙zenie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji
w odwrotnej kolejno´sci
Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Zapisanie równania jako A = LU
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
6 / 32
Algorytm dekompozycji LU
Aby doprowadzi´c macierz do postaci A = LU nale˙zy wykona´c
nast ˛epuj ˛
ace kroki:
Eliminacja wg Gaussa macierzy A
Znalezienie macierzy eliminacji
Pomno˙zenie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji
w odwrotnej kolejno´sci
Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Zapisanie równania jako A = LU
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
6 / 32
Algorytm dekompozycji LU
Aby doprowadzi´c macierz do postaci A = LU nale˙zy wykona´c
nast ˛epuj ˛
ace kroki:
Eliminacja wg Gaussa macierzy A
Znalezienie macierzy eliminacji
Pomno˙zenie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji
w odwrotnej kolejno´sci
Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Zapisanie równania jako A = LU
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
6 / 32
Przykład
Krok 1: Eliminacja wg Gaussa
Doprowad´zmy macierz A do postaci LU
A =
1 5
2 3
Po eliminacji wg Gaussa otrzymujemy macierz
B =
1
5
0 −7
Jak wida´c, wszystkie współczynniki macierzy B poni˙zej głównej
przek ˛
atnej s ˛
a równe zero. Z tego wynika, ˙ze jest to ju˙z macierz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
7 / 32
Przykład
Krok 1: Eliminacja wg Gaussa
Doprowad´zmy macierz A do postaci LU
A =
1 5
2 3
Po eliminacji wg Gaussa otrzymujemy macierz
B =
1
5
0 −7
Jak wida´c, wszystkie współczynniki macierzy B poni˙zej głównej
przek ˛
atnej s ˛
a równe zero. Z tego wynika, ˙ze jest to ju˙z macierz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
7 / 32
Przykład
Krok 1: Eliminacja wg Gaussa
Doprowad´zmy macierz A do postaci LU
A =
1 5
2 3
Po eliminacji wg Gaussa otrzymujemy macierz
B =
1
5
0
−7
Jak wida´c, wszystkie współczynniki macierzy B poni˙zej głównej
przek ˛
atnej s ˛
a równe zero. Z tego wynika, ˙ze jest to ju˙z macierz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
7 / 32
Przykład
Krok 2: Znalezienie macierzy eliminacji
Eliminacj ˛e wykonuje dla nas macierz eliminacji E
21
, z indeksem 21
poniewa˙z produkuje nam zero na pozycji 21 w macierzy A.
Macierz ta wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
E
21
=
1
0
−2 1
Dlaczego tak? Poniewa˙z (zgodnie z eliminacj ˛
a wg Gaussa) odj ˛eli´smy
dwa razy pierwszy wiersz od drugiego wiersza.
E
21
A = U
1
0
−2 1
1 5
2 3
=
1
5
0 −7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
8 / 32
Przykład
Krok 2: Znalezienie macierzy eliminacji
Eliminacj ˛e wykonuje dla nas macierz eliminacji E
21
, z indeksem 21
poniewa˙z produkuje nam zero na pozycji 21 w macierzy A.
Macierz ta wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
E
21
=
1
0
−2 1
Dlaczego tak? Poniewa˙z (zgodnie z eliminacj ˛
a wg Gaussa) odj ˛eli´smy
dwa razy pierwszy wiersz od drugiego wiersza.
E
21
A = U
1
0
−2 1
1 5
2 3
=
1
5
0 −7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
8 / 32
Przykład
Krok 2: Znalezienie macierzy eliminacji
Eliminacj ˛e wykonuje dla nas macierz eliminacji E
21
, z indeksem 21
poniewa˙z produkuje nam zero na pozycji 21 w macierzy A.
Macierz ta wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
E
21
=
1
0
−2 1
Dlaczego tak? Poniewa˙z (zgodnie z eliminacj ˛
a wg Gaussa) odj ˛eli´smy
dwa razy pierwszy wiersz od drugiego wiersza.
E
21
A = U
1
0
−2 1
1 5
2 3
=
1
5
0 −7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
8 / 32
Przykład
Krok 2: Znalezienie macierzy eliminacji
Eliminacj ˛e wykonuje dla nas macierz eliminacji E
21
, z indeksem 21
poniewa˙z produkuje nam zero na pozycji 21 w macierzy A.
Macierz ta wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
E
21
=
1
0
−2 1
Dlaczego tak? Poniewa˙z (zgodnie z eliminacj ˛
a wg Gaussa) odj ˛eli´smy
dwa razy pierwszy wiersz od drugiego wiersza.
E
21
A = U
1
0
−2 1
1 5
2 3
=
1
5
0 −7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
8 / 32
Przykład
Krok 3: Pomno˙zenie przez macierze odwrotne w odwrotnej kolejno´sci
Macierz odwrotna do E
21
to
E
−1
21
=
1 0
2 1
Skoro przy eliminacji odejmujemy dwa razy pierwszy wiersz to
operacj ˛
a odwrotn ˛
a b ˛edzie dodanie dwa razy pierwszego wiersza.
Poprzez mno˙zenie obu stron przez macierz odwrotn ˛
a do E
21
doprowadzamy do równania
E
−1
21
E
21
|
{z
}
I
A = E
−1
21
U
Wniosek
Aby znale´z´c macierz odwrotn ˛
a do macierzy eliminacji, zmieniamy
znaki współczynników poni˙zej głównej przek ˛
atnej na przeciwne.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
9 / 32
Przykład
Krok 3: Pomno˙zenie przez macierze odwrotne w odwrotnej kolejno´sci
Macierz odwrotna do E
21
to
E
−1
21
=
1 0
2 1
Skoro przy eliminacji odejmujemy dwa razy pierwszy wiersz to
operacj ˛
a odwrotn ˛
a b ˛edzie dodanie dwa razy pierwszego wiersza.
Poprzez mno˙zenie obu stron przez macierz odwrotn ˛
a do E
21
doprowadzamy do równania
E
−1
21
E
21
|
{z
}
I
A = E
−1
21
U
Wniosek
Aby znale´z´c macierz odwrotn ˛
a do macierzy eliminacji, zmieniamy
znaki współczynników poni˙zej głównej przek ˛
atnej na przeciwne.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
9 / 32
Przykład
Krok 3: Pomno˙zenie przez macierze odwrotne w odwrotnej kolejno´sci
Macierz odwrotna do E
21
to
E
−1
21
=
1 0
2 1
Skoro przy eliminacji odejmujemy dwa razy pierwszy wiersz to
operacj ˛
a odwrotn ˛
a b ˛edzie dodanie dwa razy pierwszego wiersza.
Poprzez mno˙zenie obu stron przez macierz odwrotn ˛
a do E
21
doprowadzamy do równania
E
−1
21
E
21
|
{z
}
I
A = E
−1
21
U
Wniosek
Aby znale´z´c macierz odwrotn ˛
a do macierzy eliminacji, zmieniamy
znaki współczynników poni˙zej głównej przek ˛
atnej na przeciwne.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
9 / 32
Przykład
Krok 3: Pomno˙zenie przez macierze odwrotne w odwrotnej kolejno´sci
Macierz odwrotna do E
21
to
E
−1
21
=
1 0
2 1
Skoro przy eliminacji odejmujemy dwa razy pierwszy wiersz to
operacj ˛
a odwrotn ˛
a b ˛edzie dodanie dwa razy pierwszego wiersza.
Poprzez mno˙zenie obu stron przez macierz odwrotn ˛
a do E
21
doprowadzamy do równania
E
−1
21
E
21
|
{z
}
I
A = E
−1
21
U
Wniosek
Aby znale´z´c macierz odwrotn ˛
a do macierzy eliminacji, zmieniamy
znaki współczynników poni˙zej głównej przek ˛
atnej na przeciwne.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
9 / 32
Przykład
Kroki 4 i 5: Wymno˙zenie macierzy i zapisanie równania jako A = LU
Wszystkie macierze z lewej strony macierzy U
A = E
−1
21
U
wymna˙zamy (w tym przypadku jest to tylko jedna macierz), w ten
sposób powstaje macierz L.
L = E
−1
21
=
1 0
2 1
Tak powstaje równanie A = LU
1 5
2 3
=
1 0
2 1
1
5
0 −7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
10 / 32
Przykład
Kroki 4 i 5: Wymno˙zenie macierzy i zapisanie równania jako A = LU
Wszystkie macierze z lewej strony macierzy U
A = E
−1
21
U
wymna˙zamy (w tym przypadku jest to tylko jedna macierz), w ten
sposób powstaje macierz L.
L = E
−1
21
=
1 0
2 1
Tak powstaje równanie A = LU
1 5
2 3
=
1 0
2 1
1
5
0 −7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
10 / 32
Przykład
Kroki 4 i 5: Wymno˙zenie macierzy i zapisanie równania jako A = LU
Wszystkie macierze z lewej strony macierzy U
A = E
−1
21
U
wymna˙zamy (w tym przypadku jest to tylko jedna macierz), w ten
sposób powstaje macierz L.
L = E
−1
21
=
1 0
2 1
Tak powstaje równanie A = LU
1 5
2 3
=
1 0
2 1
1
5
0 −7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
10 / 32
Przykład
Kroki 4 i 5: Wymno˙zenie macierzy i zapisanie równania jako A = LU
Wszystkie macierze z lewej strony macierzy U
A = E
−1
21
U
wymna˙zamy (w tym przypadku jest to tylko jedna macierz), w ten
sposób powstaje macierz L.
L = E
−1
21
=
1 0
2 1
Tak powstaje równanie A = LU
1 5
2 3
=
1 0
2 1
1
5
0 −7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
10 / 32
Przykład
Kroki 4 i 5: Wymno˙zenie macierzy i zapisanie równania jako A = LU
Wszystkie macierze z lewej strony macierzy U
A = E
−1
21
U
wymna˙zamy (w tym przypadku jest to tylko jedna macierz), w ten
sposób powstaje macierz L.
L = E
−1
21
=
1 0
2 1
Tak powstaje równanie A = LU
1 5
2 3
=
1 0
2 1
1
5
0 −7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
10 / 32
Kolejny przykład
Dla macierzy trójwymiarowej
Dla macierzy dwuwymiarowej dekompozycja nie wymaga wi ˛ekszego
wysiłku, poniewa˙z wykonywana jest tylko jedna eliminacja i dlatego
powstaje tylko jedna macierz eliminacji (E
21
).
Sprawa komplikuje si ˛e dla macierzy trójwymiarowych. . .
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
11 / 32
Kolejny przykład
Dla macierzy trójwymiarowej
Dla macierzy dwuwymiarowej dekompozycja nie wymaga wi ˛ekszego
wysiłku, poniewa˙z wykonywana jest tylko jedna eliminacja i dlatego
powstaje tylko jedna macierz eliminacji (E
21
).
Sprawa komplikuje si ˛e dla macierzy trójwymiarowych. . .
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
11 / 32
Przykład
Kroki 1 i 2: Eliminacja wg Gaussa i znajdowanie macierzy eliminacji
Przeprowad´zmy teraz dekompozycj ˛e dla macierzy trójwymiarowej A:
A =
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
Dla macierzy trójwymiarowych eliminacja wg Gaussa zajmuje trzy
kroki, zamiast jednego. Dlatego te˙z, powstan ˛
a trzy macierze eliminacji.
Krok pierwszy
E
21
A =
1
0 0
−2 1 0
0
0 1
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
=
2
4
−2
0
1
1
−2 −3
7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
12 / 32
Przykład
Kroki 1 i 2: Eliminacja wg Gaussa i znajdowanie macierzy eliminacji
Przeprowad´zmy teraz dekompozycj ˛e dla macierzy trójwymiarowej A:
A =
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
Dla macierzy trójwymiarowych eliminacja wg Gaussa zajmuje trzy
kroki, zamiast jednego. Dlatego te˙z, powstan ˛
a trzy macierze eliminacji.
Krok pierwszy
E
21
A =
1
0 0
−2 1 0
0
0 1
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
=
2
4
−2
0
1
1
−2 −3
7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
12 / 32
Przykład
Kroki 1 i 2: Eliminacja wg Gaussa i znajdowanie macierzy eliminacji
Przeprowad´zmy teraz dekompozycj ˛e dla macierzy trójwymiarowej A:
A =
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
Dla macierzy trójwymiarowych eliminacja wg Gaussa zajmuje trzy
kroki, zamiast jednego. Dlatego te˙z, powstan ˛
a trzy macierze eliminacji.
Krok pierwszy
E
21
A =
1
0 0
−2 1 0
0
0 1
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
=
2
4
−2
0
1
1
−2 −3
7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
12 / 32
Przykład
Kroki 1 i 2: Eliminacja wg Gaussa i znajdowanie macierzy eliminacji
Przeprowad´zmy teraz dekompozycj ˛e dla macierzy trójwymiarowej A:
A =
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
Dla macierzy trójwymiarowych eliminacja wg Gaussa zajmuje trzy
kroki, zamiast jednego. Dlatego te˙z, powstan ˛
a trzy macierze eliminacji.
Krok pierwszy
E
21
A =
1
0 0
−2
1 0
0
0 1
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
=
2
4
−2
0
1
1
−2 −3
7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
12 / 32
Przykład
Kroki 1 i 2: Eliminacja wg Gaussa i znajdowanie macierzy eliminacji
Krok drugi
E
31
(
E
21
A) =
1 0 0
0 1 0
1 0 1
2
4
−2
0
1
1
−2 −3
7
=
2 4 −2
0 1
1
0 1
5
Krok trzeci
E
32
(
E
31
E
21
A) =
1
0
0
0
1
0
0 −1 1
2 4 −2
0 1
1
0 1
5
=
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
W ostatniej macierzy wszystkie elementy poni˙zej głównej przek ˛
atnej
równe s ˛
a zero. Wniosek: jest to macierz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
13 / 32
Przykład
Kroki 1 i 2: Eliminacja wg Gaussa i znajdowanie macierzy eliminacji
Krok drugi
E
31
(
E
21
A) =
1 0 0
0 1 0
1
0 1
2
4
−2
0
1
1
−2
−3
7
=
2 4 −2
0 1
1
0
1
5
Krok trzeci
E
32
(
E
31
E
21
A) =
1
0
0
0
1
0
0 −1 1
2 4 −2
0 1
1
0 1
5
=
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
W ostatniej macierzy wszystkie elementy poni˙zej głównej przek ˛
atnej
równe s ˛
a zero. Wniosek: jest to macierz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
13 / 32
Przykład
Kroki 1 i 2: Eliminacja wg Gaussa i znajdowanie macierzy eliminacji
Krok drugi
E
31
(
E
21
A) =
1 0 0
0 1 0
1
0 1
2
4
−2
0
1
1
−2
−3
7
=
2 4 −2
0 1
1
0
1
5
Krok trzeci
E
32
(
E
31
E
21
A) =
1
0
0
0
1
0
0 −1 1
2 4 −2
0 1
1
0 1
5
=
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
W ostatniej macierzy wszystkie elementy poni˙zej głównej przek ˛
atnej
równe s ˛
a zero. Wniosek: jest to macierz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
13 / 32
Przykład
Kroki 1 i 2: Eliminacja wg Gaussa i znajdowanie macierzy eliminacji
Krok drugi
E
31
(
E
21
A) =
1 0 0
0 1 0
1
0 1
2
4
−2
0
1
1
−2
−3
7
=
2 4 −2
0 1
1
0
1
5
Krok trzeci
E
32
(
E
31
E
21
A) =
1
0
0
0
1
0
0
−1
1
2 4 −2
0
1
1
0
1
5
=
2 4 −2
0 1
1
0
0
4
W ostatniej macierzy wszystkie elementy poni˙zej głównej przek ˛
atnej
równe s ˛
a zero. Wniosek: jest to macierz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
13 / 32
Przykład
Kroki 1 i 2: Eliminacja wg Gaussa i znajdowanie macierzy eliminacji
Krok drugi
E
31
(
E
21
A) =
1 0 0
0 1 0
1
0 1
2
4
−2
0
1
1
−2
−3
7
=
2 4 −2
0 1
1
0
1
5
Krok trzeci
E
32
(
E
31
E
21
A) =
1
0
0
0
1
0
0
−1
1
2 4 −2
0
1
1
0
1
5
=
2 4 −2
0
1
1
0 0
4
W ostatniej macierzy wszystkie elementy poni˙zej głównej przek ˛
atnej
równe s ˛
a zero. Wniosek: jest to macierz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
13 / 32
Przykład
Krok 3: Pomno˙zenie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji w odwrotnej kolejno´sci
Powstaje równanie:
E
32
E
31
E
21
A = U
Mno˙zymy obustronnie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji w
odwrotnej kolejno´sci
E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
E
32
E
31
E
21
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
Macierze po lewej stronie sprowadzaj ˛
a si ˛e do macierzy jednostkowych:
E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
E
32
|
{z
}
I
E
31
|
{z
}
I
E
21
|
{z
}
I
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
14 / 32
Przykład
Krok 3: Pomno˙zenie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji w odwrotnej kolejno´sci
Powstaje równanie:
E
32
E
31
E
21
A = U
Mno˙zymy obustronnie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji w
odwrotnej kolejno´sci
E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
E
32
E
31
E
21
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
Macierze po lewej stronie sprowadzaj ˛
a si ˛e do macierzy jednostkowych:
E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
E
32
|
{z
}
I
E
31
|
{z
}
I
E
21
|
{z
}
I
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
14 / 32
Przykład
Krok 3: Pomno˙zenie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji w odwrotnej kolejno´sci
Powstaje równanie:
E
32
E
31
E
21
A = U
Mno˙zymy obustronnie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji w
odwrotnej kolejno´sci
E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
E
32
E
31
E
21
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
Macierze po lewej stronie sprowadzaj ˛
a si ˛e do macierzy jednostkowych:
E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
E
32
|
{z
}
I
E
31
|
{z
}
I
E
21
|
{z
}
I
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
14 / 32
Przykład
Krok 3: Pomno˙zenie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji w odwrotnej kolejno´sci
Powstaje równanie:
E
32
E
31
E
21
A = U
Mno˙zymy obustronnie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji w
odwrotnej kolejno´sci
E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
E
32
E
31
E
21
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
Macierze po lewej stronie sprowadzaj ˛
a si ˛e do macierzy jednostkowych:
E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
E
32
|
{z
}
I
E
31
|
{z
}
I
E
21
|
{z
}
I
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
14 / 32
Przykład
Krok 4: Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Z tego skomplikowanego równania zostaje
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
Macierze E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
wymna˙zamy od lewej strony
E
−1
21
E
−1
31
=
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
−1
32
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
15 / 32
Przykład
Krok 4: Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Z tego skomplikowanego równania zostaje
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
Macierze E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
wymna˙zamy od lewej strony
E
−1
21
E
−1
31
=
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
−1
32
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
15 / 32
Przykład
Krok 4: Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Z tego skomplikowanego równania zostaje
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
Macierze E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
wymna˙zamy od lewej strony
E
−1
21
E
−1
31
=
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
−1
32
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
15 / 32
Przykład
Krok 4: Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Z tego skomplikowanego równania zostaje
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
Macierze E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
wymna˙zamy od lewej strony
E
−1
21
E
−1
31
=
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
−1
32
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
15 / 32
Przykład
Krok 4: Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Z tego skomplikowanego równania zostaje
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
Macierze E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
wymna˙zamy od lewej strony
E
−1
21
E
−1
31
=
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
−1
32
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
15 / 32
Przykład
Krok 5: Zapisanie równania jako A = LU
W ten sposób doprowadzamy do równania
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
A = LU
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
16 / 32
Przykład
Krok 5: Zapisanie równania jako A = LU
W ten sposób doprowadzamy do równania
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
A = LU
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
16 / 32
Przykład
Krok 5: Zapisanie równania jako A = LU
W ten sposób doprowadzamy do równania
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
A = LU
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
16 / 32
Dlaczego odwrotno´sci?
Wielu z was zapewne zastanawia si ˛e, dlaczego przerzucali´smy cał ˛
a
"grupk˛e" macierzy eliminacji, zamiast na pocz ˛
atku wymno˙zy´c je i
dopiero przerzuci´c. W tej cz ˛e´sci wykładu zostanie to wyja´snione.
Porównajmy dwie mo˙zliwo´sci:
Wymno˙zenie macierzy E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
Wymno˙zenie macierzy E
32
E
31
E
21
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
17 / 32
Dlaczego odwrotno´sci?
Wielu z was zapewne zastanawia si ˛e, dlaczego przerzucali´smy cał ˛
a
"grupk˛e" macierzy eliminacji, zamiast na pocz ˛
atku wymno˙zy´c je i
dopiero przerzuci´c. W tej cz ˛e´sci wykładu zostanie to wyja´snione.
Porównajmy dwie mo˙zliwo´sci:
Wymno˙zenie macierzy E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
Wymno˙zenie macierzy E
32
E
31
E
21
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
17 / 32
Dlaczego odwrotno´sci?
Wielu z was zapewne zastanawia si ˛e, dlaczego przerzucali´smy cał ˛
a
"grupk˛e" macierzy eliminacji, zamiast na pocz ˛
atku wymno˙zy´c je i
dopiero przerzuci´c. W tej cz ˛e´sci wykładu zostanie to wyja´snione.
Porównajmy dwie mo˙zliwo´sci:
Wymno˙zenie macierzy E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
Wymno˙zenie macierzy E
32
E
31
E
21
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
17 / 32
Dlaczego odwrotno´sci?
Wielu z was zapewne zastanawia si ˛e, dlaczego przerzucali´smy cał ˛
a
"grupk˛e" macierzy eliminacji, zamiast na pocz ˛
atku wymno˙zy´c je i
dopiero przerzuci´c. W tej cz ˛e´sci wykładu zostanie to wyja´snione.
Porównajmy dwie mo˙zliwo´sci:
Wymno˙zenie macierzy E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
Wymno˙zenie macierzy E
32
E
31
E
21
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
17 / 32
Opcja 1.
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji ´cwiczyli´smy ju˙z przy
samej dekompozycji LU, zróbmy to jednak jeszcze raz.
E
−1
21
E
−1
31
=
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
−1
32
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
Jak wiemy, jest to ju˙z macierz L.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
18 / 32
Opcja 1.
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji ´cwiczyli´smy ju˙z przy
samej dekompozycji LU, zróbmy to jednak jeszcze raz.
E
−1
21
E
−1
31
=
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
−1
32
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
Jak wiemy, jest to ju˙z macierz L.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
18 / 32
Opcja 1.
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji ´cwiczyli´smy ju˙z przy
samej dekompozycji LU, zróbmy to jednak jeszcze raz.
E
−1
21
E
−1
31
=
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
−1
32
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
Jak wiemy, jest to ju˙z macierz L.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
18 / 32
Opcja 1.
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji ´cwiczyli´smy ju˙z przy
samej dekompozycji LU, zróbmy to jednak jeszcze raz.
E
−1
21
E
−1
31
=
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
−1
32
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
Jak wiemy, jest to ju˙z macierz L.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
18 / 32
Opcja 1.
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji ´cwiczyli´smy ju˙z przy
samej dekompozycji LU, zróbmy to jednak jeszcze raz.
E
−1
21
E
−1
31
=
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
−1
32
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
Jak wiemy, jest to ju˙z macierz L.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
18 / 32
Opcja 1.
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji
1 0 0
2 1 0
0 0 1
|
{z
}
E
−1
21
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
|
{z
}
E
−1
31
1 0 0
0 1 0
0 1 1
|
{z
}
E
−1
32
Jak wida´c, współczynniki poszczególnych macierzy po prostu
"wskoczyły" do wyniku.
L =
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
Cały czas s ˛
a na swoich miejscach!
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
19 / 32
Opcja 1.
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji
1 0 0
2 1 0
0 0 1
|
{z
}
E
−1
21
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
|
{z
}
E
−1
31
1 0 0
0 1 0
0 1 1
|
{z
}
E
−1
32
Jak wida´c, współczynniki poszczególnych macierzy po prostu
"wskoczyły" do wyniku.
L =
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
Cały czas s ˛
a na swoich miejscach!
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
19 / 32
Opcja 1.
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji
1 0 0
2
1 0
0 0 1
|
{z
}
E
−1
21
1
0 0
0
1 0
−1
0 1
|
{z
}
E
−1
31
1 0 0
0 1 0
0
1
1
|
{z
}
E
−1
32
Jak wida´c, współczynniki poszczególnych macierzy po prostu
"wskoczyły" do wyniku.
L =
1
0 0
2
1 0
−1
1
1
Cały czas s ˛
a na swoich miejscach!
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
19 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
Zobaczmy co si ˛e stanie, gdy przemno˙zymy od lewej strony macierze
eliminacji E
32
E
31
E
21
.
E
32
E
31
=
1
0
0
0
1
0
0 −1 1
1 0 0
0 1 0
1 0 1
=
1
0
0
0
1
0
1 −1 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
21
1
0
0
0
1
0
1 −1 1
1
0 0
−2 1 0
0
0 1
=
1
0
0
−2
1
0
3
−1 1
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
20 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
Zobaczmy co si ˛e stanie, gdy przemno˙zymy od lewej strony macierze
eliminacji E
32
E
31
E
21
.
E
32
E
31
=
1
0
0
0
1
0
0 −1 1
1 0 0
0 1 0
1 0 1
=
1
0
0
0
1
0
1 −1 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
21
1
0
0
0
1
0
1 −1 1
1
0 0
−2 1 0
0
0 1
=
1
0
0
−2
1
0
3
−1 1
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
20 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
Zobaczmy co si ˛e stanie, gdy przemno˙zymy od lewej strony macierze
eliminacji E
32
E
31
E
21
.
E
32
E
31
=
1
0
0
0
1
0
0 −1 1
1 0 0
0 1 0
1 0 1
=
1
0
0
0
1
0
1 −1 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
21
1
0
0
0
1
0
1 −1 1
1
0 0
−2 1 0
0
0 1
=
1
0
0
−2
1
0
3
−1 1
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
20 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
Zobaczmy co si ˛e stanie, gdy przemno˙zymy od lewej strony macierze
eliminacji E
32
E
31
E
21
.
E
32
E
31
=
1
0
0
0
1
0
0 −1 1
1 0 0
0 1 0
1 0 1
=
1
0
0
0
1
0
1 −1 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
21
1
0
0
0
1
0
1 −1 1
1
0 0
−2 1 0
0
0 1
=
1
0
0
−2
1
0
3
−1 1
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
20 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
Zobaczmy co si ˛e stanie, gdy przemno˙zymy od lewej strony macierze
eliminacji E
32
E
31
E
21
.
E
32
E
31
=
1
0
0
0
1
0
0 −1 1
1 0 0
0 1 0
1 0 1
=
1
0
0
0
1
0
1 −1 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
21
1
0
0
0
1
0
1 −1 1
1
0 0
−2 1 0
0
0 1
=
1
0
0
−2
1
0
3
−1 1
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
20 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
E
32
E
31
E
21
=
1
0
0
−2
1
0
3
−1 1
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
Aby odpowiedzie´c na to pytanie, prze´sled´zmy etapy eliminacji wg
Gaussa macierzy A:
odj ˛eli´smy dwa razy wiersz pierwszy od wiersza drugiego
dodali´smy wiersz pierwszy do wiersza trzeciego
odj ˛eli´smy wiersz drugi od wiersza trzeciego
Uwaga!
Nie zapominajmy, ˙ze w wierszu drugim jest ju˙z dwa razy
ujemny
wiersz pierwszy
! Oprócz odj ˛ecia drugiego wiersza dodali´smy równie˙z
dwa razy wiersz pierwszy, co daje w sumie trzy wiersze.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
21 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
A =
−
2
−
4 −2
−
4
−
9 −3
−2 −3
−
7
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
Aby odpowiedzie´c na to pytanie, prze´sled´zmy etapy eliminacji wg
Gaussa macierzy A:
odj ˛eli´smy dwa razy wiersz pierwszy od wiersza drugiego
dodali´smy wiersz pierwszy do wiersza trzeciego
odj ˛eli´smy wiersz drugi od wiersza trzeciego
Uwaga!
Nie zapominajmy, ˙ze w wierszu drugim jest ju˙z dwa razy
ujemny
wiersz pierwszy
! Oprócz odj ˛ecia drugiego wiersza dodali´smy równie˙z
dwa razy wiersz pierwszy, co daje w sumie trzy wiersze.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
21 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
A =
−
2
−
4 −2
−
0
−
1
−
1
−2 −3
−
7
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
Aby odpowiedzie´c na to pytanie, prze´sled´zmy etapy eliminacji wg
Gaussa macierzy A:
odj ˛eli´smy dwa razy wiersz pierwszy od wiersza drugiego
dodali´smy wiersz pierwszy do wiersza trzeciego
odj ˛eli´smy wiersz drugi od wiersza trzeciego
Uwaga!
Nie zapominajmy, ˙ze w wierszu drugim jest ju˙z dwa razy
ujemny
wiersz pierwszy
! Oprócz odj ˛ecia drugiego wiersza dodali´smy równie˙z
dwa razy wiersz pierwszy, co daje w sumie trzy wiersze.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
21 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
A =
−
2
−
4 −2
−
0
−
1
−
1
−
0
−
1
−
5
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
Aby odpowiedzie´c na to pytanie, prze´sled´zmy etapy eliminacji wg
Gaussa macierzy A:
odj ˛eli´smy dwa razy wiersz pierwszy od wiersza drugiego
dodali´smy wiersz pierwszy do wiersza trzeciego
odj ˛eli´smy wiersz drugi od wiersza trzeciego
Uwaga!
Nie zapominajmy, ˙ze w wierszu drugim jest ju˙z dwa razy
ujemny
wiersz pierwszy
! Oprócz odj ˛ecia drugiego wiersza dodali´smy równie˙z
dwa razy wiersz pierwszy, co daje w sumie trzy wiersze.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
21 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
A =
−
2
−
4 −2
−
0
−
1
−
1
−
0
−
0
−
4
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
Aby odpowiedzie´c na to pytanie, prze´sled´zmy etapy eliminacji wg
Gaussa macierzy A:
odj ˛eli´smy dwa razy wiersz pierwszy od wiersza drugiego
dodali´smy wiersz pierwszy do wiersza trzeciego
odj ˛eli´smy wiersz drugi od wiersza trzeciego
Uwaga!
Nie zapominajmy, ˙ze w wierszu drugim jest ju˙z dwa razy
ujemny
wiersz pierwszy
! Oprócz odj ˛ecia drugiego wiersza dodali´smy równie˙z
dwa razy wiersz pierwszy, co daje w sumie
trzy
wiersze.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
21 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
A =
−
2
−
4 −2
−
0
−
1
−
1
−
0
−
0
−
4
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
Aby odpowiedzie´c na to pytanie, prze´sled´zmy etapy eliminacji wg
Gaussa macierzy A:
odj ˛eli´smy dwa razy wiersz pierwszy od wiersza drugiego
dodali´smy wiersz pierwszy do wiersza trzeciego
odj ˛eli´smy wiersz drugi od wiersza trzeciego
Uwaga!
Nie zapominajmy, ˙ze w wierszu drugim jest ju˙z dwa razy
ujemny
wiersz pierwszy
! Oprócz odj ˛ecia drugiego wiersza dodali´smy równie˙z
dwa razy wiersz pierwszy, co daje w sumie trzy wiersze.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
21 / 32
Wnioski
Gdy mno˙zyli´smy macierze eliminacji, pojawiała si ˛e tajemnicza trójka,
której nie przewidzieli´smy. Przy mno˙zeniu odwrotno´sci macierzy
eliminacji problem ten znikn ˛
ał. Wniosek jest prosty:
Twierdzenie
Gdy mno˙zymy macierze odwrotne, wystarczy przepisa´c współczynniki
na odpowiadaj ˛
ace im miejsca bezpo´srednio do macierzy L.
Współczynniki te mo˙zna zapisywa´c od razu podczas eliminacji wg
Gaussa macierzy A, by nast ˛epnie zmieni´c ich znak i wpisa´c do
macierzy L.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
22 / 32
Wnioski
Gdy mno˙zyli´smy macierze eliminacji, pojawiała si ˛e tajemnicza trójka,
której nie przewidzieli´smy. Przy mno˙zeniu odwrotno´sci macierzy
eliminacji problem ten znikn ˛
ał. Wniosek jest prosty:
Twierdzenie
Gdy mno˙zymy macierze odwrotne, wystarczy przepisa´c współczynniki
na odpowiadaj ˛
ace im miejsca bezpo´srednio do macierzy L.
Współczynniki te mo˙zna zapisywa´c od razu podczas eliminacji wg
Gaussa macierzy A, by nast ˛epnie zmieni´c ich znak i wpisa´c do
macierzy L.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
22 / 32
Wnioski
Gdy mno˙zyli´smy macierze eliminacji, pojawiała si ˛e tajemnicza trójka,
której nie przewidzieli´smy. Przy mno˙zeniu odwrotno´sci macierzy
eliminacji problem ten znikn ˛
ał. Wniosek jest prosty:
Twierdzenie
Gdy mno˙zymy macierze odwrotne, wystarczy przepisa´c współczynniki
na odpowiadaj ˛
ace im miejsca bezpo´srednio do macierzy L.
Współczynniki te mo˙zna zapisywa´c od razu podczas eliminacji wg
Gaussa macierzy A, by nast ˛epnie zmieni´c ich znak i wpisa´c do
macierzy L.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
22 / 32
Zastosowania
Macierz w postaci A = LU pozwala mi ˛edzy innymi na:
Szybkie obliczanie układów równa ´n
Wyliczenie wyznacznika macierzy A
O to w zasadzie nam chodzi. Dekompozycja LU pozwala na
zmniejszenie liczby operacji potrzebnych do rozwi ˛
azywania układów
równa ´n.
Dlaczego? Spójrzmy.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
23 / 32
Zastosowania
Macierz w postaci A = LU pozwala mi ˛edzy innymi na:
Szybkie obliczanie układów równa ´n
Wyliczenie wyznacznika macierzy A
O to w zasadzie nam chodzi. Dekompozycja LU pozwala na
zmniejszenie liczby operacji potrzebnych do rozwi ˛
azywania układów
równa ´n.
Dlaczego? Spójrzmy.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
23 / 32
Zastosowania
Macierz w postaci A = LU pozwala mi ˛edzy innymi na:
Szybkie obliczanie układów równa ´n
Wyliczenie wyznacznika macierzy A
O to w zasadzie nam chodzi. Dekompozycja LU pozwala na
zmniejszenie liczby operacji potrzebnych do rozwi ˛
azywania układów
równa ´n.
Dlaczego? Spójrzmy.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
23 / 32
Zastosowania
Macierz w postaci A = LU pozwala mi ˛edzy innymi na:
Szybkie obliczanie układów równa ´n
Wyliczenie wyznacznika macierzy A
O to w zasadzie nam chodzi. Dekompozycja LU pozwala na
zmniejszenie liczby operacji potrzebnych do rozwi ˛
azywania układów
równa ´n.
Dlaczego? Spójrzmy.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
23 / 32
Zło˙zono´s´c obliczeniowa
Ile operacji nale˙zy wykona´c, aby doprowadzi´c macierz A do postaci
A = LU?
Co to jest operacja?
Typow ˛
a operacj ˛
a wykonywan ˛
a w metodzie Gaussa jest mno˙zenie i
odejmowanie, wi ˛ec traktujemy te dwa działania jako jedn ˛
a operacj ˛e.
Twierdzenie
Dla macierzy o wymiarach n × n liczba operacji potrzebnych do
sprowadzenia macierzy do postaci A = LU wynosi ≈
1
3
n
3
Co to w zasadzie dla nas oznacza?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
24 / 32
Zło˙zono´s´c obliczeniowa
Ile operacji nale˙zy wykona´c, aby doprowadzi´c macierz A do postaci
A = LU?
Co to jest operacja?
Typow ˛
a operacj ˛
a wykonywan ˛
a w metodzie Gaussa jest mno˙zenie i
odejmowanie, wi ˛ec traktujemy te dwa działania jako jedn ˛
a operacj ˛e.
Twierdzenie
Dla macierzy o wymiarach n × n liczba operacji potrzebnych do
sprowadzenia macierzy do postaci A = LU wynosi ≈
1
3
n
3
Co to w zasadzie dla nas oznacza?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
24 / 32
Zło˙zono´s´c obliczeniowa
Ile operacji nale˙zy wykona´c, aby doprowadzi´c macierz A do postaci
A = LU?
Co to jest operacja?
Typow ˛
a operacj ˛
a wykonywan ˛
a w metodzie Gaussa jest mno˙zenie i
odejmowanie, wi ˛ec traktujemy te dwa działania jako jedn ˛
a operacj ˛e.
Twierdzenie
Dla macierzy o wymiarach n × n liczba operacji potrzebnych do
sprowadzenia macierzy do postaci A = LU wynosi ≈
1
3
n
3
Co to w zasadzie dla nas oznacza?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
24 / 32
Zło˙zono´s´c obliczeniowa
Ile operacji nale˙zy wykona´c, aby doprowadzi´c macierz A do postaci
A = LU?
Co to jest operacja?
Typow ˛
a operacj ˛
a wykonywan ˛
a w metodzie Gaussa jest mno˙zenie i
odejmowanie, wi ˛ec traktujemy te dwa działania jako jedn ˛
a operacj ˛e.
Twierdzenie
Dla macierzy o wymiarach n × n liczba operacji potrzebnych do
sprowadzenia macierzy do postaci A = LU wynosi ≈
1
3
n
3
Co to w zasadzie dla nas oznacza?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
24 / 32
Zło˙zono´s´c obliczeniowa
Jest to wa˙zny aspekt optymalizacji algorytmów rozwi ˛
azuj ˛
acych takie
układy.
Je˙zeli dodamy tylko jedn ˛
a kolumn ˛e (np. kolumn ˛e z wynikami), to ilo´s´c
oblicze ´n potrzebnych na wyliczenie potrzebnych nam wyników spada
do n
2
.
Wniosek
Przewaga rozkładu LU nad eliminacj ˛
a wg Gaussa polega na tym, i˙z
przy pomocy rozkładu LU mozna rozwi ˛
azywa´c dowolnie wiele równa ´n
z takimi samymi lewymi stronami (macierzami), przy czym “kosztown ˛
a”
cz ˛e´s´c, a wi ˛ec sam ˛
a faktoryzacj ˛e, oblicza si ˛e tylko raz.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
25 / 32
Zło˙zono´s´c obliczeniowa
Jest to wa˙zny aspekt optymalizacji algorytmów rozwi ˛
azuj ˛
acych takie
układy.
Je˙zeli dodamy tylko jedn ˛
a kolumn ˛e (np. kolumn ˛e z wynikami), to ilo´s´c
oblicze ´n potrzebnych na wyliczenie potrzebnych nam wyników spada
do n
2
.
Wniosek
Przewaga rozkładu LU nad eliminacj ˛
a wg Gaussa polega na tym, i˙z
przy pomocy rozkładu LU mozna rozwi ˛
azywa´c dowolnie wiele równa ´n
z takimi samymi lewymi stronami (macierzami), przy czym “kosztown ˛
a”
cz ˛e´s´c, a wi ˛ec sam ˛
a faktoryzacj ˛e, oblicza si ˛e tylko raz.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
25 / 32
Zło˙zono´s´c obliczeniowa
Jest to wa˙zny aspekt optymalizacji algorytmów rozwi ˛
azuj ˛
acych takie
układy.
Je˙zeli dodamy tylko jedn ˛
a kolumn ˛e (np. kolumn ˛e z wynikami), to ilo´s´c
oblicze ´n potrzebnych na wyliczenie potrzebnych nam wyników spada
do n
2
.
Wniosek
Przewaga rozkładu LU nad eliminacj ˛
a wg Gaussa polega na tym, i˙z
przy pomocy rozkładu LU mozna rozwi ˛
azywa´c dowolnie wiele równa ´n
z takimi samymi lewymi stronami (macierzami), przy czym “kosztown ˛
a”
cz ˛e´s´c, a wi ˛ec sam ˛
a faktoryzacj ˛e, oblicza si ˛e tylko raz.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
25 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Aby obliczy´c wyznacznik macierzy A posłu˙zymy si ˛e twierdzeniem
Cauchy’ego o wyznacznikach:
Twierdzenie Cauchy’ego
det(AB) = det A · det B
gdzie det A oznacza wyznacznik macierzy A.
St ˛
ad, aby obliczy´c wyznacznik macierzy A, wystarczy policzy´c
wyznaczniki macierzy L oraz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
26 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Aby obliczy´c wyznacznik macierzy A posłu˙zymy si ˛e twierdzeniem
Cauchy’ego o wyznacznikach:
Twierdzenie Cauchy’ego
det(AB) = det A · det B
gdzie det A oznacza wyznacznik macierzy A.
St ˛
ad, aby obliczy´c wyznacznik macierzy A, wystarczy policzy´c
wyznaczniki macierzy L oraz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
26 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Aby obliczy´c wyznacznik macierzy A posłu˙zymy si ˛e twierdzeniem
Cauchy’ego o wyznacznikach:
Twierdzenie Cauchy’ego
det(AB) = det A · det B
gdzie det A oznacza wyznacznik macierzy A.
St ˛
ad, aby obliczy´c wyznacznik macierzy A, wystarczy policzy´c
wyznaczniki macierzy L oraz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
26 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Wyznacznik macierzy L
Jak wiemy, macierz L wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
L =
1
0
0
l
21
1
0
l
31
l
32
1
Obliczmy jej wyznacznik (wg reguły Sarrusa):
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
27 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Wyznacznik macierzy L
Jak wiemy, macierz L wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
L =
1
0
0
l
21
1
0
l
31
l
32
1
Obliczmy jej wyznacznik (wg reguły Sarrusa):
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
27 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Wyznacznik macierzy L
Jak wiemy, macierz L wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
L =
1
0
0
l
21
1
0
l
31
l
32
1
Obliczmy jej wyznacznik (wg reguły Sarrusa):
det L = 1 · 1 · 1 + l
21
· l
32
· 0 + l
31
· 0 · 0 − 0 · 1 · l
31
− 0 · l
32
· 1 − 1 · 0 · l
21
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
27 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Wyznacznik macierzy L
Jak wiemy, macierz L wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
L =
1
0
0
l
21
1
0
l
31
l
32
1
Obliczmy jej wyznacznik (wg reguły Sarrusa):
det L = 1 · 1 · 1 + l
21
· l
32
· 0 + l
31
· 0 · 0 − 0 · 1 · l
31
− 0 · l
32
· 1 − 1 · 0 · l
21
|
{z
}
0
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
27 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Wyznacznik macierzy L
Jak wiemy, macierz L wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
L =
1
0
0
l
21
1
0
l
31
l
32
1
Obliczmy jej wyznacznik (wg reguły Sarrusa):
det L = 1 · 1 · 1 + l
21
· l
32
· 0 + l
31
· 0 · 0 − 0 · 1 · l
31
− 0 · l
32
· 1 − 1 · 0 · l
21
|
{z
}
0
Czyli po prostu 1.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
27 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Wyznacznik macierzy U
Natomiast macierz U wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
U =
u
11
u
12
u
13
0
u
22
u
23
0
0
u
33
Obliczmy jej wyznacznik (wg reguły Sarrusa):
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
28 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Wyznacznik macierzy U
Natomiast macierz U wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
U =
u
11
u
12
u
13
0
u
22
u
23
0
0
u
33
Obliczmy jej wyznacznik (wg reguły Sarrusa):
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
28 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Wyznacznik macierzy U
Natomiast macierz U wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
U =
u
11
u
12
u
13
0
u
22
u
23
0
0
u
33
Obliczmy jej wyznacznik (wg reguły Sarrusa):
det U = u
11
·u
22
·u
33
+
0·0·u
13
+
0·u
12
·u
23
−u
13
·u
22
·0−u
12
·0·u
33
−u
11
·u
23
·0
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
28 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Wyznacznik macierzy U
Natomiast macierz U wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
U =
u
11
u
12
u
13
0
u
22
u
23
0
0
u
33
Obliczmy jej wyznacznik (wg reguły Sarrusa):
Ponownie te elementy s ˛
a równe zero:
0 · 0 · u
13
+
0 · u
12
· u
23
− u
13
· u
22
· 0 − u
12
· 0 · u
33
− u
11
· u
23
· 0
|
{z
}
0
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
28 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Wyznacznik macierzy U
Natomiast macierz U wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
U =
u
11
u
12
u
13
0
u
22
u
23
0
0
u
33
Obliczmy jej wyznacznik (wg reguły Sarrusa):
Ponownie te elementy s ˛
a równe zero:
0 · 0 · u
13
+
0 · u
12
· u
23
− u
13
· u
22
· 0 − u
12
· 0 · u
33
− u
11
· u
23
· 0
|
{z
}
0
Zostaje nam
det U = u
11
· u
22
· u
33
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
28 / 32
Wnioski
det A = det U = u
11
· u
22
· u
33
Twierdzenie
Aby obliczy´c wyznacznik macierzy A wystarczy tylko wymno˙zy´c
elementy z głównej przek ˛
atnej macierzy U.
Dzi ˛eki dekompozycji LU ponownie zaoszcz ˛edzili´smy sporo czasu.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
29 / 32
Wnioski
det A = det U = u
11
· u
22
· u
33
Twierdzenie
Aby obliczy´c wyznacznik macierzy A wystarczy tylko wymno˙zy´c
elementy z głównej przek ˛
atnej macierzy U.
Dzi ˛eki dekompozycji LU ponownie zaoszcz ˛edzili´smy sporo czasu.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
29 / 32
Wnioski
det A = det U = u
11
· u
22
· u
33
Twierdzenie
Aby obliczy´c wyznacznik macierzy A wystarczy tylko wymno˙zy´c
elementy z głównej przek ˛
atnej macierzy U.
Dzi ˛eki dekompozycji LU ponownie zaoszcz ˛edzili´smy sporo czasu.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
29 / 32
Przykład
Szybkie wyliczanie wyznacznika macierzy A
Skorzystamy z macierzy A, dla której przeprowadzali´smy
dekompozycj ˛e wczesniej na tym wykładzie:
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
30 / 32
Przykład
Szybkie wyliczanie wyznacznika macierzy A
A =
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
Obliczamy wyznacznik tradycyjnie (reguła Sarrusa)
det A =
=
2·9·7+4·(−3)·(−2)+(−2)·4·(−3)−(−2)·9·(−2)−(−3)·(−3)·2−7·4·4
=
126 + 24 + 24 − 36 − 18 − 112
=
8
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
31 / 32
Przykład
Szybkie wyliczanie wyznacznika macierzy A
A =
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
Obliczamy wyznacznik tradycyjnie (reguła Sarrusa)
det A =
=
2·9·7+4·(−3)·(−2)+(−2)·4·(−3)−(−2)·9·(−2)−(−3)·(−3)·2−7·4·4
=
126 + 24 + 24 − 36 − 18 − 112
=
8
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
31 / 32
Przykład
Szybkie wyliczanie wyznacznika macierzy A
A =
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
Obliczamy wyznacznik tradycyjnie (reguła Sarrusa)
det A =
=
2·9·7+4·(−3)·(−2)+(−2)·4·(−3)−(−2)·9·(−2)−(−3)·(−3)·2−7·4·4
=
126 + 24 + 24 − 36 − 18 − 112
=
8
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
31 / 32
Przykład
Szybkie wyliczanie wyznacznika macierzy A
A =
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
Obliczamy wyznacznik tradycyjnie (reguła Sarrusa)
det A =
=
2·9·7+4·(−3)·(−2)+(−2)·4·(−3)−(−2)·9·(−2)−(−3)·(−3)·2−7·4·4
=
126 + 24 + 24 − 36 − 18 − 112
=
8
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
31 / 32
Przykład
Szybkie wyliczanie wyznacznika macierzy A
A =
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
Obliczamy wyznacznik tradycyjnie (reguła Sarrusa)
det A =
=
2·9·7+4·(−3)·(−2)+(−2)·4·(−3)−(−2)·9·(−2)−(−3)·(−3)·2−7·4·4
=
126 + 24 + 24 − 36 − 18 − 112
=
8
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
31 / 32
Przykład
Szybkie wyliczanie wyznacznika macierzy A
A teraz korzystaj ˛
ac z dekompozycji LU wiemy, ˙ze
det A = det U = u
11
· u
22
· u
33
U =
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
det U = 2 · 1 · 4 = 8
Oczywi´scie, oba wyniki musz ˛
a si ˛e zgadza´c.
Dzi ˛eki dekompozycji LU obliczenia s ˛
a o wiele prostsze. Równie˙z ilo´s´c
czasu potrzebnego na wyliczenie wyznacznika spada znacz ˛
aco.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
32 / 32
Przykład
Szybkie wyliczanie wyznacznika macierzy A
A teraz korzystaj ˛
ac z dekompozycji LU wiemy, ˙ze
det A = det U = u
11
· u
22
· u
33
U =
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
det U = 2 · 1 · 4 = 8
Oczywi´scie, oba wyniki musz ˛
a si ˛e zgadza´c.
Dzi ˛eki dekompozycji LU obliczenia s ˛
a o wiele prostsze. Równie˙z ilo´s´c
czasu potrzebnego na wyliczenie wyznacznika spada znacz ˛
aco.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
32 / 32
Przykład
Szybkie wyliczanie wyznacznika macierzy A
A teraz korzystaj ˛
ac z dekompozycji LU wiemy, ˙ze
det A = det U = u
11
· u
22
· u
33
U =
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
det U = 2 · 1 · 4 = 8
Oczywi´scie, oba wyniki musz ˛
a si ˛e zgadza´c.
Dzi ˛eki dekompozycji LU obliczenia s ˛
a o wiele prostsze. Równie˙z ilo´s´c
czasu potrzebnego na wyliczenie wyznacznika spada znacz ˛
aco.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
32 / 32
Przykład
Szybkie wyliczanie wyznacznika macierzy A
A teraz korzystaj ˛
ac z dekompozycji LU wiemy, ˙ze
det A = det U = u
11
· u
22
· u
33
U =
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
det U = 2 · 1 · 4 = 8
Oczywi´scie, oba wyniki musz ˛
a si ˛e zgadza´c.
Dzi ˛eki dekompozycji LU obliczenia s ˛
a o wiele prostsze. Równie˙z ilo´s´c
czasu potrzebnego na wyliczenie wyznacznika spada znacz ˛
aco.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
32 / 32