**. FFT- szybka transformata Fouriera 
 
 
1.przedstawienie przebiegów czasowych w dziedzinie częstości ma bardzo duŜe 
   znaczenie praktyczne (np. rozpoznawanie mowy, obrazów), 
2.Przekształcenie całkowe Fouriera ma podstawową wadę, wymaga nieskończonego 
   czasu całkowania. 
 

T 

 

 

 

Na rysunkach pokazano wpływ ograniczenia się do czasów skończonych obserwacji (okno 
Prostokątne) na obserwowany przebieg czasowy. 
 

( )

( ) ( )

ω

ω

ω

j

Y

j

X

j

Z

∗

=

 

 

Iloczynowi w dziedzinie czasu odpowiada splot w dziedzinie częstość. 
 

 

 

1/T 

 

 

 

 

Mamy juŜ skończony czas obserwacji. Teraz zastąpimy całkowanie, sumowaniem 
próbkowanego sygnału: 

( )

( )

( )

( )

    

 

  

          

 

0

t

j

t

j

e

t

x

j

X

e

t

x

j

X

ω

ω

ω

ω

−

∞

∞

−

−

∞

∫

∫

=

=

 

zamieniamy na sumę przy załoŜeniu Ŝe, znane jest N  próbek sygnału: 
 

( )

1

2

1

0

         

 

2

1

0

−

=

=

−

=

∑

N

,.........

,

,

  k

 

e

x

jk

X

N

π

 k n

j

N-

n

n

 

Jest to wzór na dyskretne przekształcenie Fouriera. 
Podobnie moŜna wyznaczyć odwrotne dyskretne przekształcenie Foruriera: 
 

( )

1

2

1

0

         

 

1

2

1

0

−

=

=

−

=

∑

N

,.........

,

,

  n

 

e

X

N

n

x

N

π

 k n

j

k-

k

k

 

 

Aby wyliczyć dyskretną transformatę Fouriera naleŜy obliczyć  

2

N

 wyraŜeń typu: 

 

  

        

2

2

 

e

W

e

W

N

π

 k n

j

kn

N

j

−

−

=

=

π

 

 

pomnoŜyć je przez  odpowiednie 

n

x

 oraz zsumować. Bardzo duŜo obliczeń. ale jest na to 

bardzo prosty sposób, jeŜeli przyjmiemy, Ŝe  ilość próbek czasowych jest liczbą typu: 
 

całałkowi

 

liczba

   

          

2

−

=

l

N

l

 

 

róŜnych wartości wyraŜeń typu 

kn

W

 będzie tylko   N  a nie aŜ 

2

N

. I tak jeŜeli ilość próbek 

czasowych 

n

x

 jest np. 128 naleŜy obliczyć tylko 128 róŜnych  

kn

W

a nie  16.384 jak w 

przypadku dowolnym. Liczba mnoŜeń ogranicza się do: 
 

  

          

2

gdy   

     

log

2

l

N

N

N

=

 

 

np.: 

   

2

 

 

1024

10

=

=

N

wówczas 

1%

0.0098

 

1024

10

log

log

FT

FFT

2

2

2

≈

=

=

=

=

N

N

N

N

N

 

 
 
 

k= 0

n= 0,1,2,3,4,5,6,7

k= 2

0,4

1,5

2,6

3,7

k= 4

0,2,4,6

1,3,5,7

k= 6

0,4

1,5

2,6

3,7

k= 1

0

1

1

1

2

3

4

5

6

7

k= 3

0

1

2

3

4

5

6

7

k= 5

0

1

2

3

4

5

6

7

k= 7

0

1

2

3

4

5

6

7

 

Jak naprawdę obliczać w matlabie: 
 
clear all  
T=100; 
dt=.01; 
t=0:dt:T; 
k=length(t);                       %    k=10001 
q=log2(k);                         %    q=13.2879 
r=floor(q);                         %    r=13 
l=2^r;                                 %    l=8192 
m=l/2;                                %    m=4096 
w1=5;                                %    częstość w Hz 
x=sin(2*pi*w1*t);             %    sinusoida 
figure(1);plot(x(1:l));         %    rysunek1 
f=(dt^(-1)*(0:m-1))/l;         %    skala częstości 
z=fft(x,l);                            %    fft 
figure(2);plot(z);                 %    rysunek-motylek   
p=(z.*conj(z))*l;                 %    gęstość widmowa 
figure(3);plot(f,p(1:m));      %    rysunek3