Czy

m 

są 

f

r

a

k

t

a

le

?

 

 

Newton 

i

 

Le

ibn

itz 

(

n

iez

al

eż

n

ie 

od 

siebie) 

stworzy

l

i

 

rac

hune

k 

różn

ic

z

kow

y

 

–

 

d

oskona

łe

 

narzędzie (m

iędz

y

 

i

n

n

y

m

i) d

o 

ba

dani

a prze

bie

gu funkc

j

i. W epoce

, kied

y

 ma

sz

y

n

y

 

l

i

cząc

e 

ni

e

 

p

osiadał

y

 

możl

iwości

 

w

y

ko

n

y

wa

n

ia

 

w

ie

lu 

o

blicz

eń

 

w 

c

ią

gu 

ułam

k

a 

se

kund

y,

 

można 

b

y

ł

o

 

stosunkowo 

łatwo 

(

dzię

ki

 

Newtonowi 

i

 

Le

ibn

itzowi) 

przewidzieć

 

kszta

łt

 

nawet 

bardz

o 

sko

m-

pli

kowane

j 

fun

kc

j

i, 

jeś

l

i 

t

y

l

ko 

w 

d

ostateczn

ie 

du

ż

y

c

h 

obszarach 

b

y

ł

a 

różni

cz

kowal

na. 

Ró

ż-

n

icz

kowal

ność 

w

 

i

nterpretacji

 

geometr

y

cz

ne

j 

ozn

acza 

posiada

n

ie 

st

y

c

z

ne

j 

okreś

lon

ej

 

jedn

o-

zna

cz

n

ie. 

Po

d 

koniec 

XIX 

i 

na 

początku 

XX 

wieku 

prz

y 

pr

ó

bach 

d

ogłębne

go 

zroz

umien

ia

 

p

ojęć 

p

o

dstawow

yc

h 

(ta

k

ic

h 

ja

k

 

np. 

„cią

głość” 

c

z

y

 

„krz

y

w

a”) 

zauważono 

ist

n

ie

n

ie 

struktur

,

 

które 

o

becnie 

n

az

y

wam

y

 

frakt

al

ami. 

W

śró

d 

matemat

y

ków 

zw

i

ąza

n

y

c

h 

z 

fra

kta

lam

i 

możem

y

 

w

y

m

ie

n

ić 

na 

prz

y

k

ład 

Georga 

Cantora 

(

1

8

7

2)

, 

Giuseppe

 

Peana 

(1

8

9

0)

, 

Dawida 

Hi

lberta 

(1

8

9

1

), 

Hel

ge’a 

von 

Koch

a 

(1

9

0

4)

, 

Wacława

 

Sier

pińs

k

i

go 

(1

9

1

6)

, 

Gastona 

J

ulię 

(19

1

8)

, 

cz

y

 

Fel

i

xa 

H

ausd

orffa (1

9

1

9)

. He

l

ge 

von

 Koch b

y

ł

 

sz

wedzki

m

 matemat

y

k

i

em, któr

y

 w

 roku 1

9

0

4

 

wpr

owa

dził 

krz

y

w

ą 

naz

y

w

a

ną obecn

ie 

k

rz

y

wą Koch

a

. Li

ni

a ta

 w 

ka

żd

ym

 punkc

ie

 j

est 

n

i

eró

ż-

n

icz

kowal

n

a. 

Pojęc

ie 

na

c

h

y

l

e

n

ia 

krz

y

we

j

 

jest

 

z

g

o

dne 

z 

i

ntuic

ją

 

i 

ma

 

zw

iąze

k

 

z

 

pojęciem

 

st

y

c

z

ne

j. 

Jeśl

i

 

j

edna

k 

krz

y

wa 

ma

 

za

łama

n

ia 

to 

p

oj

awia

 

s

ię 

pro

blem. 

Nie 

możem

y

 

do

pasować 

jednozna

cz

n

ie 

st

y

cz

ne

j. 

Otóż 

krz

y

wa 

Kocha 

jest 

prz

y

k

ł

adem 

krz

y

w

e

j, 

która 

w 

każd

ym 

p

un

k-

cie 

ma 

za

łama

n

ie, 

co 

pr

owa

dzi 

d

o

 

tego,

 

że 

ni

emo

żl

iwe 

jest 

okreś

le

n

ie 

st

y

c

z

ne

j 

w 

spos

ó

b 

je

d

-

nozna

cz

n

y. 

 

Konstrukcja

 

krz

y

we

j 

Koc

ha 

prz

edstawia

 

s

ię

 

nastę

p

ująco. 

Zacz

y

n

am

y

 

od 

o

dcin

k

a 

(obiekt

 

ten 

n

azw

iem

y

 

i

n

ic

jatorem), 

dziel

im

y

 

n

a trz

y

 równ

e czę

śc

i, a w m

ie

j

sce 

środkowej wstaw

iam

y

 

trójkąt 

równo

b

oczn

y

 

i 

usuwam

y 

je

go 

p

o

dstawę. 

Kończ

y

m

y

 

w 

te

n 

spos

ó

b 

p

o

dstawow

y 

krok 

konstrukc

j

i. 

Otrz

y

ma

na 

f

i

gur

a 

nos

i 

naz

wę 

ge

n

eratora

. 

Powta

rzam

y

 

kon

strukcję

 

w 

t

e

n 

sposó

b

, 

że 

w 

m

ie

jsce

 

każdego 

o

dcin

k

a 

wstaw

iam

y

 

od

p

o

wiedn

io 

zmn

ie

j

szon

y

 

ge

nerator. 

Kil

ka

 

p

o

-

czątkow

y

c

h kroków 

prze

dstawia

ją r

y

su

n

k

i na 

na

stępnej stron

ie. 

 

Sp

r

ó

b

ujm

y

 

oblic

z

y

ć 

długość 

kole

j

n

y

c

h 

w

y

razów 

cią

g

u 

zbież

ne

go 

d

o 

krz

y

w

e

j 

Kocha.

 

Długość 

i

n

ic

jatora oznaczm

y

 

l

iterą 

b

 (zerow

y w

y

r

az c

ią

gu). Pierwsz

y

 w

y

raz 

s

k

łada s

ię z

 czt

e-

rech 

odcin

ków 

o długości 

 

3

1

b,

 dr

ugi 

z 

 

4



4 o

dcin

ków 

o długości 

 

3

1



3

1

b

,

 

t

rzeci 

-  

4



4



4 o

dci

n-

ków o

 

długości  

3

1



3

1



3

1

b,

 .

..

 Otrz

ymujem

y

 w

ięc c

ią

g l

icz

b:

 

4

1

 



3

-

1

b

 

4

2



3

-

2

b

 

4

3



3

-

3

b

 

..

..

..

..

 

4

i



3

-

i

b

 

Cią

g te

n prz

y duż

yc

h 

i

 dąż

y do

 nie

s

kończonośc

i. 

 

Pr

o

blem 

pomiar

u 

długo

ści 

krz

y

w

y

c

h 

opisa

n

y

c

h 

w

y

ż

e

j

 

jest

 

po

d

o

bn

y

 

do 

mierzen

ia

 

dług

o-

śc

i l

i

n

i

i brzegowej np. Ang

l

i

i. P

omiar na mapie zal

eż

y

 od

 ska

l

i w ja

k

ie

j n

ar

y

sowa

no tę ma

pę.

 

 

Wokół 

na

s 

można

 

z

na

leźć

 

w

ie

le 

obiektów 

o b

u

d

o

wie 

fra

kta

l

ne

j. 

G

łówka 

ka

la

f

iora 

sk

łada

 

si

ę 

z 

róż

y

cz

e

k, 

k

tóre 

p

o 

o

d

dzie

le

n

iu 

o

d 

reszt

y

 

prz

y

pomi

na

ją 

c

a

łą 

g

łówkę, 

t

y

l

e 

że

 

w 

pomnie

j-

sze

n

iu. 

Części 

te 

mogą 

b

y

ć 

z

nowu 

p

o

dzielone 

n

a 

je

szcze 

m

n

ie

j

sze 

cz

ąst

k

i, 

które 

znowu 

są 

p

o

d

o

bne 

d

o 

całego 

ka

la

f

iora, 

jak 

równie

ż 

d

o 

części 

z 

której 

został

y 

od

dzie

lone. 

Ta 

włas

ność

 

prz

enosi na trzec

i

ą i może czwarta 

ge

nerac

ję. Potem r

óż

y

cz

k

i sta

ją 

s

ię za ma

łe ż

eb

y 

j

e dzie

li

ć. 

W 

matemat

y

cz

n

y

m 

modelu 

fraktal

i 

w

łas

ność 

sa

mo

p

o

d

o

bieństw

a 

przenosi 

s

ię 

na 

n

astępn

ą

 

ge

nerac

ję

 

ni

es

kończ

e

n

ie 

w

ie

le 

raz

y

. 

Prowa

dzi 

to 

d

o 

now

yc

h 

pojęć 

ta

k

ic

h 

ja

k 

w

y

m

ia

r 

frakt

a

l-

n

y, 

kt

ó

r

y można stosować r

ównie

ż d

o 

o

biektów, nie mając

y

c

h dow

oln

ie mał

y

c

h czę

śc

i.

 

 

 

 

krok 

0

 

 

 

 

 

 

 

krok

 

1

 

 

 

 

 

 

 

krok

 

2

 

 

 

 

 

 

krok

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

krok

 

4

 

 

 

 

 

 

 

krok

 

5

 

 

 

 

 

 

 

krok

 

6

 

 

 

R

y

s. 1. K

olej

ne w

yra

z

y c

ią

gu zbieżn

e

go 

d

o krz

yw

ej Kocha.

 

 

 

 

 

 

 

W

ymi

ar

 

s

a

mopo

do

bieńst

wa

 

 

 

Jeżel

i bierzem

y

 po

d

 

uwagę i

ntuic

je stojące po

d

 

p

ojęciem w

y

m

iaru, 

t

o li

n

ie są prz

y

k

ład

a-

mi o

biektów jednow

y

m

iarow

y

c

h, a płaszcz

y

z

na

- dwuw

ym

iarowego. W natu

rze str

uktur

y 

„jednow

ym

iarowe” często w

ype

ł

ni

aj

ą przestrzeń tak dokładn

ie, że p

rzebieg

a

ją przez wsz

y

s

t-

k

ie punkt

y

 

np. 

układ krwionoś

n

y musi b

y

ć ta

k zb

u

d

owan

y

, b

y dostarcz

yć ż

y

c

iodajn

e su

bsta

n-

cje do

 każdego miej

sca organ

izmu. Nerka zawiera 

trz

y przeplecion

e ze so

bą r

ozgałęz

ione 

s

y

s

tem

y 

n

acz

y

ń

: uk

ładu tętnicze

go, 

układu ż

y

l

ne

g

o

 i układu

 m

oczow

ego

. Każ

d

y z 

n

ic

h ma 

d

ostęp

 

d

o każdej częśc

i ner

k

i. Geometria frakta

l

na

 

d

ostarcza meto

d

 

p

ozwala

jąc

y

c

h 

na u

p

o-

rządkow

a

nie ta

k

ic

h s

kompli

kowan

y

c

h struktur w

 sp

os

ó

b efekt

y

w

n

y.

 

Waż

na 

cec

hą 

samop

o

d

o

bien

stwa 

je

st 

to,

 

że 

małe 

fragme

nt

y 

moż

na 

otrz

ymać 

z 

ca

łe

go 

o

bie

ktu 

p

rzez 

p

rzekszta

łc

e

ni

e 

p

o

d

o

bień

stwa. 

Naj

l

epsz

y

m 

spos

o

bem 

w

yobrażenia 

sobie 

dzi

a-

ła

n

ia 

te

go 

t

ypu 

przekszta

łce

ń 

jest 

a

na

log

ia 

do 

f

ot

o

kopiark

i, 

która 

ma 

m

ożliwość 

p

omnie

j

sz

e-

n

ia. 

Jeże

li 

weźm

iem

y

 

na 

prz

y

k

ł

ad 

krz

y

wą 

Kocha, 

w

łoż

y

m

y

 

ją 

do 

ko

piark

i, 

na

staw

ia

ją

c

 

w

spółcz

y

n

n

i

k

 

pomnie

js

za

n

ia 

n

a 

1/3 

i 

od

bijem

y

 

4 

kopie, 

to 

będziem

y

 

mog

l

i 

ta

k

 

s

k

le

ić

 

te

 

k

o-

pie, 

b

y z

nów 

otrz

ymać 

krz

y

wą Kocha. Następn

ie, j

eżel

i s

kopiujem

y

 

każdą z czterech 

kopii, ze 

współcz

y

n

n

i

k

i

em 

red

ukcj

i 

1/3

 

czter

y 

raz

y

, 

to 

te 

1

6 

ko

pii 

znowu 

m

ożem

y 

z

łoż

y

ć 

ta

k 

b

y 

o

d-

tworz

yć 

or

y

g

i

na

ł. 

Jeżel

i 

d

y

sponowalib

y

śm

y

 

ideal

ną 

kopiarką, 

to

 

pr

oces 

ten 

mógłb

y 

b

y

ć 

p

o-

wtarzan

y

 w n

ie

s

kończoność.

 

Nie 

każd

y

 

obiekt 

samop

o

d

o

bn

y

 

jest 

fra

kta

lem. 

Weźm

y

 

na 

prz

y

k

ł

ad 

o

dcine

k, 

kw

adrat,

 

cz

y

 

sześc

i

a

n. 

Każd

y 

z 

n

i

c

h 

może 

b

yć 

rozbit

y 

na 

m

n

ie

j

s

ze 

fra

gme

nt

y

 

otrz

y

ma

ne 

w 

w

y

n

i

ku 

prz

e-

ks

zta

łce

ń 

po

d

o

bień

stwa. 

Obie

kt

y

 

te

 

n

ie 

są 

jedn

a

k 

fra

kta

lam

i. 

Współcz

y

n

n

i

k

 

redukcj

i 

t

y

c

h

 

o

biektów 

można 

w

ybrać 

d

ow

oln

ie 

W

ła

ś

ni

e 

na 

t

y

m 

p

ole

ga 

różnica 

m

iędz

y

 

t

ym

i 

fi

gurami 

a

 

strukturami 

frakta

l

n

y

mi. 

Współcz

y

n

n

i

k

i 

redukcj

i

 

dla 

frakta

l

i 

są 

śc

iś

le 

okreś

lone 

i 

za

leżą 

od

 

danej 

fi

gur

y

. 

Na 

prz

y

k

ład 

dla 

krz

y

we

j 

Kocha 

ws

p

ółcz

y

n

n

i

k

am

i 

pomnie

jsza

n

i

a 

mogą 

b

yć 

j

e-

d

y

n

ie 

1/3

, 

1/

9

, 

1/

2

7

 

itd.

 

Cechą 

wspólną 

w

sz

y

st

k

ic

h 

śc

i

ś

le 

samop

o

d

o

bn

y

c

h 

obiektów 

jest 

i

s

t-

n

ie

n

ie 

re

lac

j

i 

p

omiędz

y 

w

spółcz

y

n

n

i

k

i

em 

red

ukcj

i 

a 

l

iczbą 

p

omnie

j

szon

y

c

h 

fra

gme

ntów, 

na

 

które r

oz

pa

da się o

biekt. Z

o

bacz tabela:

 

Obiekt

 

Li

czba częśc

i 

 

( a

)  

Współcz

y

n

n

i

k 

redukcj

i

 

( s

)  

o

dcine

k

 

o

dcine

k

 

o

dcine

k

 

3

 

6

 

1

7

3

 

1/

3

 

1/

6

 

1/

1

7

3

 

kwadrat

 

kwadrat

 

kwadrat

 

3

2

 

6

2

 

1

7

3

2

 

1/

3

 

1/

6

 

1/

1

7

3

 

sześc

i

a

n

 

sześ

c

i

a

n

 

sześc

i

a

n

 

3

3

 

6

3

 

1

7

3

3

 

1/

3

 

1/

6

 

1/

1

7

3

 

krz

y

wa Kocha

 

krz

y

wa Kocha

 

krz

y

wa Kocha

 

4

 

1

6

 

4

k

 

1/

3

 

1/

9

 

1/

3

k

 

Dla 

odcin

ka, 

k

wadrat

u 

i 

sześc

ia

nu 

i

stn

i

ej

e 

pr

oste 

praw

o 

wiążące 

l

ic

zbę 

częśc

i 

a

 

i 

wsp

ółcz

y

n-

n

i

k

iem red

ukcj

i 

s

. Jest ono

 

dane wzorem:

 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

 

 

  

  

  

  

  

  

  

 a=

D

s

1

  

  

  

  

 (*)

 

gdzie

 

 

D=1 dla 

odcin

ka, 

D=2 dla 

kwadratu

, 

i 

D=3

 

dla 

sze

śc

ia

nu. 

Ozna

cza 

to, 

że 

w

y

k

ł

adn

i

k 

w

 

prawie 

p

otęgow

ym 

o

d

p

owiada 

d

okładn

ie 

l

ic

zbo

m

, 

które 

znam

y

 

ja

ko 

w

ym

iar

y

 

odcin

ka, 

kw

a-

 

 

drat

u

 

i 

sześ

ci

a

nu. Jednak 

j

eż

e

l

i 

prz

y

jrz

y

m

y

 

s

ię 

krz

y

w

e

j 

Kocha, 

to 

związe

k 

a=4 

z 

s

=

1/

3 

i 

a=

1

6

 

z s=

1/

9 nie bę

dzie tak

i ocz

y

w

i

st

y

. 

 

Przekszt

ał

cam

y równa

n

ie (*) za

k

ładając, że je

st dla krz

y

we

j Kocha praw

dziwe:

 

4

=

3

D

 

log 4=D

 log 3

 

D=

3

log

4

log



1,

2

6

1

9.

 

Czy otrzymamy jed

n

ak tę s

a

m

ą wartość, jeżeli weź

miemy mniejsze fragme

nty

, 

n

a 

przykła

d

 

dl

a

 współczyn

nik

a

 red

ukcji 

1/

9

?

 

 

 

 

 

1

6

=

9

D

 

 

więc 

 

 

log16

=D log 

9

 

 

 

 

log 4

2

=D log 

3

2

 

 

 

 

2

 log 4

=

2D log 

3

 

 

ostateczn

ie

 

D=



3

log

4

log

1,

2

6

1

9

.

 

W ogóln

ym prz

ypadku

 

 

 

 

D=

k

k

3

log

4

log

=



3

log

4

log

1,

2

6

1

9

.

 

Otrz

y

mujem

y

 

stąd, 

że 

praw

o 

p

otęgowe, 

o

pisujące 

zal

eż

ność 

l

ic

zb

y

 

fra

gme

ntów 

o

d 

wsp

ó

ł-

cz

y

n

n

i

k

a

 

redukcj

i, 

daje 

nam

 

tę 

samą 

l

iczbę 

D, 

n

ie

zale

ż

n

ie 

od 

sto

pnia 

pomnie

j

sza

n

ia. 

W

ła

ś

n

ie

 

tę l

ic

zbę D, zna

jdującą 

si

ę pomiędz

y 1 a 2, na

z

y

w

am

y

 

w

ym

iarem

 samop

o

d

o

bień

stwa 

krz

y

we

j

 

Kocha.

 

Ogól

n

ie

j, 

dla 

d

ow

olne

go 

o

biektu 

samop

o

d

o

bneg

o 

istn

ie

je 

zw

ią

ze

k 

pomiędz

y 

współcz

y

n

n

i

-

k

iem red

ukcj

i 

s

 a l

ic

zbą części 

a

, na które 

o

biekt może 

b

yć po

dzielon

y

; je

st n

im

 

 

 

 

D=

s

a

/

1

log

log

.

 

D naz

y

wam

y

 w

y

m

ia

rem samo

p

o

d

o

bie

ństwa. 

 

 

I

n

ne w

y

m

iar

y

 samop

o

d

o

bień

stwa

:

 

Obiekt

 

Ska

la

 

s

 

Częśc

i

 

a

 

W

y

m

iar

 

D

 

zbiór

 Cantora

 

1/

3

k

 

2

k

 

log2/log3



0,

6

3

0

9

 

trójkąt Sierpiń

s

k

ie

go

 

1/

2

k

 

3

k

 

log3/log2



1,

5

8

5

0

 

d

ywa

n Si

erpiń

s

k

ie

go

 

1/

3

k

 

8

k

 

log8/log3



1,

8

9

2

8

 

 

Zbi

ór Cantora m

ożem

y otrz

y

mać z

a pom

ocą nastę

p

ującej proce

d

ur

y. Zacz

y

n

am

y

 od 

prze

dzi

a-

łu 

[0

,

1], 

na

stępn

ie 

usuwam

y

 

otwart

y

 

przedzia

ł 

(1/2

,

2/

3)

.P

oz

ostają 

dwa 

przedział

y

:

 

[0,1/

3] 

i

 

[2/

3

,

1], 

o długości 1/

3 każd

y

. Kończ

y

m

y

 

w te

n 

spos

ó

b p

o

dstaw

ow

y

 

krok 

konstrukc

j

i. Nastę

p-

n

ie 

powtarzam

y 

krok 

ko

nstrukc

j

i 

w 

te

n 

sposó

b

,

 

że 

z 

powstał

y

c

h 

po

prze

dnio 

prze

działów

 

us

uwam

y

 

ic

h 

częś

ć 

środkową, otrz

ymując 

w

 

te

n 

s

p

os

ó

b 

czter

y

 

przedział

y

 

o 

długości

 

1/9 

ka

ż-

d

y. 

Da

le

j 

postę

p

ujem

y

 

ta

k 

s

amo. 

W 

gran

ic

y

 

otrz

y

mam

y

 

zbiór 

Cantora. 

Ma on 

n

ieprzel

icza

l

ną

 

l

iczbę 

p

unktów, 

ale 

długość 

równą 

zero, 

jest 

to 

zbiór 

d

o

mkn

i

ęt

y

 

n

i

gdzi

e 

gęst

y

 

(

n

ie 

z

aw

iera

 

żadne

go 

n

iepustego 

p

o

dz

bior

u 

otwartego)

. 

Na 

r

y

sunku 

n

iże

j 

przedstawiono 

k

i

l

ka

 

w

yr

azów  

  

  

  

  

 

  

  

  

  

  

  

 

cią

gu 

zbieżne

go   

  

  

  

  

  

  

 

d

o

 

z

bior

u

 Cantora.

 

 

 

 

 

 

 

Twi

erdz

enie

 

Bana

ch

a  o punkci

e 

s

tał

y

m

 

 

 

Definicja

 

1.

 

Przestr

zenią 

metryczn

ą 

(

M

 

; 



) 

n

az

y

wamy 

zbi

ór 

M

 

wraz 

z 

pewną 

o

per

a-

cją

 



, 

zwa

n

ą 

d

alej 

metryką, 

kt

óra 

k

aż

dej 

p

arze 

(x

,y) 

element

ów 

 

x 

i 

y 

przest

rzeni

 

M 

przyp

o-

rządk

owuje 

liczbę 

rzec

zy

wi

stą, 

nieu

jemn

ą 



(x,y), 

z

wan

ą 

d

alej 

o

dle

gł

ości

ą 

p

u

nkt

u 

x 

o

d 

p

u

n

k-

tu

 

y, 

przy czym o

per

acj

a 



 s

peł

ni

a 

n

astę

p

uj

ące wa

ru

nki:

 



(x,y) 



 



(x,y) + 



(x,y) 

 

z

wany

 waru

nkiem tr

ójka

t

a,

 



(x,y) = 

(y,x)  

  

  

  

  

 

 

symetria,

 



(x,y) = 

0 



 x=y.

 

 

Definicja

 

2.

 

Ci

ą

g 

{

a

n

}

 

p

u

nkt

ów 

przestrz

eni 

met

rycznej 

 

(

M

 

; 



)

 

n

azywamy 

cią

g

iem 

Ca

u-

ch

y

’e

go

, 

jeżeli 

dl

a

 

każ

de

g

o 



 

>

 

0 

ist

nieje 

t

akie 

n

0

 

, 

że 

dl

a 

k

aż

de

g

o 

p

 

i 

q

 

większego 

o

d 

 

n

0

 

 

m

a

 

miejsce nierówn

ość: 



(a

p

,

a

q

)

 <

 



.

 

Definicja

 

3.

 

M

ówimy, 

że 

przestr

zeń 

metryczna 

(

M

 

; 



)

 

jest 

zu

peł

n

a,

 

jeżeli 

każ

dy 

ci

ą

g

 

Ca

uc

hy

’eg

o

 jest z

bieżny 

d

o

 

pewneg

o

 

p

u

nkt

u 

przestrzeni (

M

 ;

 



).

 

Definicja 

4

.

 

W 

przestrzeni 

metryc

znej 

fu

nkcj

a 

F 

jest 

ciąg

ł

a 

w 

pu

nkcie 

x

0

 

wtedy 

i 

tylko

 

wtedy, g

dy

 

dl

a k

aż

de

g

o ci

ą

g

u {x

n

} z

ach

o

dzi

 im

plik

acj

a 

 

 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  (x

n 



 x

o)

 



 

(F(x

n

) 



 F(x

0

)  

 

Definicja

 

5.

 

Niech 

(

M

 

; 



) 

bę

dzie 

przestrzenią 

metryczną 

oraz 

A:

 

M



M

 

niech

 

bę

dzie 

cią

głym

 

o

dwzorowan

iem 

t

akim, 

że: 



 



 

;0

<



<

1;

 



 

x,y 



M

 

; 



( 

A

x,

Ay 

) 



 







(x,y).

 

 

Odwz

o

rowanie

 

A

 

n

azywamy wtedy 

o

dwzoro

wan

iem zw

ężającym.

 

 

Twierdzenie 

Ban

ach

a

;

 

K

ażde

 

ci

ą

głe 

o

dwzorowan

ie 

zw

ężające 

A

: 

M



M

 

zu

peł

nej 

prz

e-

strzeni 

metryc

znej 

(

M

 

; 



) 

m

a 

d

okł

a

d

nie 

je

de

n 

p

u

nkt 

st

ały 

x

*



M

. 

Jest 

o

n 

gr

a

nic

ą 

ci

ą

g

u

 

{x

0

,

 

x

1

,

 

x

2

,

 

..

.},

 

g

dzie x

0

 jest 

d

owolnym

 elementem

 z

bi

or

u 

M

,

 

a x

n+1

= Ax

n

 ;

 

 

 

 

 

 

 

A

x*=x

* 

.

 

Zac

h

o

dzi 

oszac

owa

nie

 

 

 

 

 



(x

n

,x*)









1

n



(

x

0

,x

1

) 

  

 

p

o

nieważ

 



(x

m

,x

n

) 



 





(

x

m

-

1

,x

n

-

1

) 



 



2



(x

m

-

2

,x

n

-

2

) 



 

...

 



 



n



(

x

m

-

n

,x

0

) 



 



n

{



(x

0

,x

1

) 

+ 



(x

1

,x

2

) 

+

 

 

+ 



(x

2

,x

3

) 

 

+ 

..

. 

+ 



(x

m

-

n

-

1

,x

m

-

n

)} 



 



n



(x

0

,x

1

){1 

+ 



1 

+ 



2 

+ 



3 

+ 

..

. 

+



m

-

n

-

1

} 

=  

= 



n



(x

0

,x

1

)













1

1

1

n

m

 

 

w gra

nicy m





 

otrzymujemy

 



(x*

,x

n

) 



 



n



(x

0

,x

1

)





1

1

  

(cnd)

 

Punkt

 

st

ały

Ax

*

=

x

*



M

 

jest 

tylk

o 

je

de

n

.

 

Jeżeli 

zał

oż

ymy, 

że 

istniej

ą

 

dwa 

róż

ne,

 

t

o 

d

o

pr

o-

wadzamy 

d

o

 sprzeczn

ości: 



(x*,y

*)

 =

  



(

A

x*,

Ay

*)

  



 





(x,y) ; 

 

0<



<1 

.

 

 

Twie

rdzenie 

B

a

n

ac

h

a

 

może 

mieć 

z

astos

owa

nie 

d

o

 

frakt

ali

. 

Z

 

p

o

przedn

ich

 

rozważa

ń 

w

y-

nik

a, 

że 

zb

ór 

Can

t

ora 

czy 

kr

zy

wa 

Koch

a 

są 

gra

n

icą 

cią

g

u 

otrzyma

ne

g

o 

w 

w

yniku 

pewnych

 

przekształceń 

o

dci

nk

a. 

Jeżeli 

c

hcemy 

d

o 

o

pis

u 

frakt

ali 

z

astos

ować 

twierdzenie 

B

a

n

ac

h

a,

 

to

 

trzeb

a 

zdefi

ni

ować 

przestrzeń 

metr

yczną 

zu

peł

n

ą

. 

Eleme

nt

ami 

tej 

przestr

zeni 

bę

d

ą 

zbi

ory 

p

u

nkt

ów (

w n

aszym przyp

a

dk

u 

p

o

dz

bi

ory 

przestr

ze

ni

 R

2

).

 

 

Niech (X, 



) 

będzie 

d

owol

n

ą 

przestr

zenia metryczn

a z

u

pełn

ą

. Ozn

aczmy przez 

H

 

(X) prz

e-

strzeń, 

której 

eleme

nt

ami 

s

ą 

zwarte 

i 

nie

p

uste 

p

o

dz

bi

ory 

przestrzeni 

X.

 

W 

przestr

zeni 

H

 

(X) 

defi

ni

uje

 się tzw. metrykę Haus

d

orffa

.

 

 

 

Niech 

A 

i 

B 

będ

ą 

zwartymi 

i 

nie

p

ustymi 

p

o

dzbi

o

rami 

przestr

zeni 

X, 

a 

x 

i 

y 

eleme

nt

ami

 

przestrz

eni 

X

, 

przy 

czym 

a



A 

i b



B.Jeżeli 



(x,y) 

ozn

acza o

dle

gł

ość 

mię

dzy 

ele

mentami 

x 

i 

y

,

 

to

 wyrażenia

 

d(x,B)

=

y

min

{



(

x,y): y



B},

 

 

d(y,A)

=

x

min

{



(

x,y): x



A}

 

oz

n

aczaj

ą o

d

p

owied

ni

o o

dle

gł

ość 

p

u

nkt

u 

x o

d 

zbi

or

u 

B 

i o

dle

gł

ość 

y 

o

d 

zb

i

oru A. 

Z 

k

olei

 

w

yraże

nia

 

d(A,

B)=

x

max

{d(x,

B):x



A},

 

 

 

d(B,

A)=

y

max

{d(y,

A):y



B}

 

oz

n

aczaj

ą 

o

d

p

owied

ni

o 

o

dle

gł

ość 

zbi

or

u 

A 

o

d 

z

bi

or

u 

B 

i 

o

d

legł

ość 

zb

i

oru 

B 

o

d 

zb

i

oru 

A. 

S

ą

 

to

 

n

a 

o

g

ół

 róż

ne 

o

dle

gł

ości.

 

Jeśli A



B,

 t

o 

d(A

,B

)=

0

 

Definicja

 

6.

 Wyrażenie

 

 

 

 

 

h(A,

B)=m

ax{

d(A,

B)

,

d(B,

A)}

 

jest n

azywane 

metryką

 H

a

usd

orff

a

 (spełn

i

a wszy

st

kie trzy aksjom

aty

 metryki).

 

Zbi

ór 

H

 

(X)

, 

w 

którym 

wprowadz

o

n

o 

metrykę 

Ha

us

d

orffa

, 

bę

dziemy 

n

azywali 

przestrz

e-

ni

ą fr

akt

ali i 

będziem

y oz

n

aczal

i ją 

przez (

H

 

(X),

h)

. Możn

a 

u

d

owo

d

nić, że jest zupeł

n

a

, t

o zn

a-

czy ze każdy ci

ą

g

 Ca

uc

hy’e

g

o

 {A

n

}

 m

a 

gr

a

nicę 

A

* 

w przest

rzeni frakt

ali

.

 

Na 

rysu

nk

u 

niżej 

p

ok

az

a

n

o 

pierws

ze 

wyrazy 

ciąg

u 

„

dziur

awych 

trójk

ąt

ów” 

(równo

b

oc

z-

nyc

h 

o 

b

ok

ac

h 

równyc

h 

je

de

n)

.

 

Po

nieważ 

każ

dy 

n

astęp

ny

 

trójk

ąt 

z

awiera 

się 

w 

po

przed

nim,

 

wię

c 

odle

gł

ość 

między 

dwom

a 

wy

razami 

A

n

 

iA

m

 

(gdzie 

m>

n) 

te

g

o 

cią

g

u 

wynosi

 

h(A

n

,A

m

)=

d(A

n

,

A

m

)<2

-

n

. 

Jest 

t

o

 

cią

g

 

Ca

uc

hy’e

g

o

, 

a 

je

g

o

 

gra

nic

a 

n

azywa 

się 

trójk

ątem 

Sie

r-

pi

ńskieg

o

.

 

 

 

 

Cią

g 

kończ

y

 s

ię 

na 

szóst

y

m w

y

raz

ie ponieważ odl

eg

łość dalsz

y

c

h w

yr

azów 

o

d sz

óstego 

(w

 

sens

ie metr

y

k

i 

Hausdo

rffa) jest bardz

o

 mała.

 

Okazuj

e si

ę, że frakta

le można otrz

ymać przez o

pe

rację zdef

i

niowa

ną w

 

na

stępując

y 

sp

osó

b: w

yobraźm

y sobie kopiarkę która 

otrz

ymuj

e na we

jśc

iu o

b

raz 

d

o 

p

rzetwo

rzen

ia. W

y

-

p

osażona jest ona w k

il

k

a n

iez

a

leż

n

y

c

h s

y

st

emów 

soczewek, z któr

y

c

h ka

żd

y pomnie

js

za 

o

braz 

p

oczątkow

y i umies

zcza 

go gdzieś na w

y

j

ś

c

i

u

. Istotne są następujące parametr

y kopia

r-

k

i

:

 



 

l

iczba s

y

s

temów soczewek,

 



 

współcz

y

n

n

i

k pomnie

js

ze

n

ia,

 os

o

bn

y

 dla k

ażdego 

s

y

s

temu soczewek,

 



 

ustawie

n

ie s

y

stemu soczewek prz

y tworzen

iu 

o

bra

zu na w

y

j

śc

iu.

 

Po

dstaw

ową zasadą jest sprzężen

ie zwrotne; o

b

raz 

p

o 

przetw

orzeniu 

przez ko

piarkę j

est 

przetwarzan

y

 ponownie ja

ko o

braz

 wejśc

iow

y

. Pro

ces ten 

jest powtarzan

y

 w

ie

lokrotnie. Jeśl

i 

mam

y do cz

y

n

ie

n

ia z 

kopiarką o jedn

ym s

y

s

tem

ie soczewek, to wielokrotne kopiowanie pr

o-

wadzi d

o

 

otrz

yma

n

ia punktu (

rezultat niezb

y

t c

ie

k

aw

y

). W p

rz

ypadku zastos

owani

a wie

lu 

s

y

s

temów soczewek w

y

n

i

k

i

 e

ksper

y

me

ntu m

ogą b

y

ć

 bardz

o

 eksc

y

tują

ce (możem

y rozważać 

również przekszta

łc

e

ni

a bar

dziej ogóln

e o

d 

p

o

d

o

bi

eń

stw).

 

Zajmi

jm

y

 s

ię 

kopiarką z trzema s

y

stemam

i soczew

ek, z któr

y

c

h każd

y

 

jest ustawion

y

 

tak, b

y po

mni

ej

szać w s

ka

l

i ½. Po

  

p

omnie

jsze

n

iu trz

y 

kopie ustawione są na pla

n

ie trójkąta 

równo

b

ocznego. Na r

ysun

ka

c

h n

iże

j przedstawiono

 w

y

n

i

k s

ześc

iokrotne

go kopi

owan

ia d

o-

wolne

go o

b

razu

 

p

oczątkowego. Okazuje się, że k

s

ztałt ob

razu

 

p

oczątkowego nie ma wpł

y

wu 

na w

y

n

i

k 

końcow

y

. 

 

 

 

 

o

braz wejściow

y

 

pierwsza kopia

 

 

 

 

 

  

  

dr

uga ko

pia (kolorami oznacz

ono

 

  

  

  

  

  

  

  

  trzecia kopia  

  

 

 

  

  

  

  

  

 trz

y zm

n

ie

jszon

e kopie)

 

 

 

 

Kolej

ne 

o

peracje

 

przyp

omi

n

aj

ą c

or

az 

b

ardziej tr

ój

kąt 

S

ierpi

ńskieg

o

:

 

 

 

 

Ósmy 

krok da

je n

am o

br

az, który (przy tej 

rozdzielczości) nie zmieni

a się po

dcz

as d

a

l

szej 

o

br

ó

bki.

 

 

 

 

Powyżs

ze roz

waża

ni

a 

pr

owa

dzą

 

d

o wni

osków:

 



 

Niezależnie

 

o

d 

o

br

azu 

p

ocz

ątk

owego

, 

p

o 

wielokr

ot

nym 

przet

warzan

i

u 

g

o 

przez 

k

o-

pi

arkę 

o

trzymamy 

cią

g 

o

br

azów, 

które 

d

ążą

 

d

o

 

teg

o 

s

ameg

o

 

o

braz

u 

k

o

ńcoweg

o 

(char

akterystycznego

 

dl

a

 

d

a

nej k

o

pi

arki).

 Nazywamy g

o

 

atrakt

ore

m 

pr

ocesu.

 



 

Atrakt

or

 

p

o

d

d

a

ny k

o

pi

owa

ni

u

 

nie zmien

i

a się.

 

 

Okazuje

 

się, 

że 

używając 

wynik

ów 

Felixa 

Ha

us

d

o

rffa 

i

 

Stef

a

n

a 

B

a

n

ac

h

a,

 

możemy 

p

ok

a-

zać, 

iż 

d

owoln

a

 

KWR 

(kopi

ark

a 

wielokrot

nie 

red

uk

uj

ąc

a) 

d

o

pr

owadz

a 

d

o 

je

d

n

oz

n

aczne

g

o

 

o

br

azu 

k

o

ńc

owego

, 

swojeg

o 

atrakt

or

a.

 

Je

dy

n

ą 

wł

as

n

ością

, 

j

aką 

KWR 

m

usi 

speł

ni

ać 

jest 

to

,

 

a

by k

aż

dy system soczew

ek p

om

niejszał 

o

br

az 

p

oc

zątkowy.

 

 

 

Ukł

ad i

te

row

anych odwzoro

wa

ń

 

 

 

 

S

y

stem

y

 

soczewe

k 

dla

 

nasz

ej

 

KWR

 

można 

opisa

ć 

za 

pom

ocą 

p

rzekszta

ł

ce

ń 

a

f

i

n

icz

n

y

c

h

 

płaszcz

y

z

n

y

. 

Przek

szta

łce

n

ie 

a

fi

n

i

cz

ne 

w

i

(x,

y

) 

p

unktu 

(x,

y) 

można 

przedstawić 

ja

ko 

ukł

ad 

równań :

 

 

u

=ax+b

y+e,

 

 

v=cx+d

y+f,

 

 

 

gdzie (u,v) 

= w

i

(x,

y).

 

 

W 

an

al

iz

i

e 

iterac

y

j

n

e

go 

s

y

stemu 

o

dwzo

r

owań 

bar

dz

o 

ważne 

jest 

badani

e 

o

bie

któw, 

które

 

są 

lewostronn

ie 

n

ie

zmi

e

n

ni

cze 

po

d 

je

go 

działa

n

i

em. 

D

y

spo

nując 

przeks

ztał

ce

n

iem 

a

f

i

n

ic

z-

n

y

m 

w

i

 

m

ożem

y 

poszukiwać 

punktów, 

któ

re 

są 

le

wostr

onn

ie 

n

iezm

ie

n

n

icze 

ze 

wz

g

lędu 

na

 

w

i

 

w

i

(x,

y) = (x,

y). Otrz

y

mujem

y uk

ład r

ówna

ń

:

 

 

 

 

x=ax+b

y+e,

 

 

y

=bx+c

y+f.

 

 

Rozwiąza

n

ie 

te

go 

układu 

istn

ie

je 

i 

je

st 

j

ednoznac

zne, 

gd

y 

w

y

z

n

acz

n

i

k 

(a

- 1)(

d

-

1)

-

bc



0.

 

Punkt 

P=(x*,

y

*

) 

naz

y

wam

y

 

pun

ktem 

sta

ł

y

m 

dla 

w

i

. 

Jego 

wsp

ółrzędne 

w

yr

aża

ją 

s

ię 

na

stęp

u

-

jąco:

 

 

x

*=

bc

d

a

bf

d

e













)

1

)(

1

(

)

1

(

,

 

 

y

*=

bc

d

a

ce

a

f













)

1

)(

1

(

)

1

(

.

 

 

S

y

stem

y

 

soczewe

k 

KWR 

są 

opisane 

za 

pom

ocą 

zbi

or

u 

przekszta

łce

ń 

a

f

i

n

icz

n

y

c

h

 

w

1

,

 

w

2

,

 

..

.,

 

w

N

. 

Dla 

danego 

o

braz

u 

p

oczątkowego 

A 

na

jpierw 

otrz

ymujem

y 

pomnie

j

szone 

af

i-

n

icz

n

ie

 

e

gzemplarze

 

w

1

(A), 

w

2

(A),

..

.,w

k

(A)

. 

Następnie

 

kopiarka 

s

k

łada 

te

 

kopie 

razem, 

b

y

 

w

y

tworz

y

ć ob

raz końcow

y W(A):

 

 

 

 

W(A) 

= w

1

(A)

 



  w

2

(A)

 



 .

..

 



 w

N

(A).

 

 

Przekszt

ał

ce

n

ie 

w

i

 

jest

 

o

dwzo

r

owani

em 

zwęża

jąc

y

m 

przestrze

n

i 

(X, 



) 

(w 

nasz

y

m 

prz

y-

k

ł

a

dzie płas

zcz

y

z

n

y

) w siebie. Dl

a wsz

y

st

k

ic

h punktów x

1

, x

2



X spełn

ion

y 

je

st wię

c warunek

 

 

 



(w

i

(x

1

),

 w

i

(x

2

)) 

 



 



i





(x

1

, x

2

) ;  

0

<



i

<

1

 

 

Zbi

ór 

N o

dwzo

r

o

wań 

zwęża

j

ąc

y

c

h 

naz

y

w

am

y

 

ukła

dem 

iterowa

nyc

h 

o

dwzorowa

ń

 

i 

ozn

a-

czam

y

 

 

{X; w

1

,

 w

2

,

 w

3

, 

..

.,

 w

N

}.

 

 

Współcz

y

n

n

i

k

i

em zwęża

n

ia te

go 

układu jest na

jw

i

ęk

sza ze sta

ł

y

c

h 



i 

 t

yc

h odwz

or

owań:

 

 

 

 



=max{



1

, 



2

, 



3

, .

..

, 



N

}.

 

  

 

 

M

ożna 

pokazać, 

że 

operacja 

W 

speł

n

ia 

w 

p

rzestrzen

i 

fra

kta

li

 

(

H

 

(X), 

h) 

z 

metr

y

k

ą 

Hau

s-

d

orffa warunek

 

 

 

 

h(W(A), W(B))

 

≤

 



h(A,

 B)

 

 

Operacja 

W 

jest 

w

ięc 

operacją 

zwężaj

ącą 

w 

prze

strzen

i 

metr

y

c

z

ne

j 

zupełne

j 

(

H

 

(X), 

h).

 

W

y

n

i

k

a

ją

 

stąd 

wsz

y

s

t

k

ie 

kon

se

kwe

nc

je

 

s

form

uło

wane

 

w 

tw

ierdzen

iu 

Ba

na

c

ha 

o 

odwz

or

ow

a

-

n

iac

h 

zwęża

ją

c

y

c

h. 

W 

sz

cze

gól

ności, 

dla 

dow

oln

ego 

A

0



 

H

 

(X) 

cią

g 

okreś

lon

y

 

z

a

leż

ności

ą

 

rekurenc

y

j

n

ą 

A

n

+1

=W(A

n

) 

j

est 

zbież

n

y

 

do 

gra

ni

c

y

 

A*, 

która 

je

st 

jed

y

n

y

m

 

rozwią

za

n

iem 

ró

w-

na

n

ia A=W(A)

 

 

Generowan

ie 

obraz

ów 

A* 

(atraktor

ów

 

o

peracji 

W

)

 

o

pisa

ną 

w

y

że

j 

meto

dą 

m

oże 

się 

ok

a-

zać 

n

awet 

dla 

współczes

n

y

c

h 

(2

0

0

7

 

r

ok) 

kom

p

ut

erów 

cz

y

n

nośc

ią 

długotrwałą. 

Takie 

same

 

w

y

n

i

k

i 

z

nacz

n

ie 

sz

yb

c

ie

j 

można 

otrz

ymać 

za 

p

o

mocą 

l

os

owej 

ko

pi

arki 

wielokrot

nie 

re

d

uk

u

-

jącej

 

(LKWR). Przekszta

łce

n

ia 

n

ie będą st

os

owan

e d

o

 fi

gur, a jed

y

n

ie d

o 

p

ojed

y

ncz

y

c

h pun

k-

tów

. 

Nie 

stosujem

y

 

w

sz

y

st

k

ic

h 

s

y

stemów 

soczewek 

jednocześ

n

ie. 

W 

każd

y

m 

kroku 

w

yb

i

e-

ram

y 

losowo

 

(z

 

pewn

y

m 

praw

d

o

p

o

d

o

bień

stwem) 

jeden 

z 

n

ic

h 

i 

przeks

zta

łcam

y 

z

a 

je

go 

p

o

-

mocą p

o

prze

dni 

w

y

n

i

k. 

Kopiarka 

n

ie 

po

p

rzestaje 

na 

stw

orzen

iu 

o

braz

u p

ojed

y

ncz

e

go p

unktu, 

ale 

z

apamiętuje 

wsz

y

s

t

k

ie 

w

y

g

e

nerowane 

wc

ześ

n

i

ej 

punkt

y. 

W

sz

y

st

k

i

e 

te 

p

unkt

y

 

s

k

ładają 

s

i

ę

 

na ostatecz

n

y obraz tw

o

rz

on

y

 przez nas

zą masz

y

n

ę.

 

KWR w

y

z

nac

zona 

je

st przez N af

i

n

icz

n

y

c

h

 odwz

o

rowań zwęża

jąc

y

c

h

  w

1

, w

2

, w

3

, .

..

,

w

N

. 

Od

p

owiednia 

L

KWR 

okreś

lona 

j

est 

przez 

te 

same 

p

rzekszta

łc

e

ni

a 

i 

przez 

(

d

o

datnie) 

praw

d

o-

p

o

d

o

bień

stwa 

ta

k

ie, 

że 





N

i

i

p

1

=1

. 

Ko

rz

y

st

n

ie 

je

st 

w

ybra

ć 

dla 

LK

WR 

punkt 

początkow

y

 

na

l

e-

żąc

y

 

do 

at

raktora 

A*. 

Każd

y 

n

astępn

y

 

punkt 

uzy

s

k

a

n

y

 

w 

w

y

n

i

ku 

p

rzekszta

ł

ce

ń 

w

i

 

bę

dzie

 

również 

na

leża

ł 

do 

tego 

atrakto

ra 

(w

y

n

i

ka 

to 

z 

n

i

ezmie

n

n

ic

zości 

atra

ktora 

 

A*). 

Jeżeli 

punkt

 

p

oczątkow

y 

n

i

e n

a

leż

y

 do A*, t

o w

y

starcz

y

 od

rz

u

cić 

s

kończoną 

i

lość p

oczątkow

y

c

h w

y

razów

 

cią

gu x

0

, x

1

, x

2

, 

..

..

, gdzie x

j+1

=w

i

(x

j

) 

(w

i

 jest d

la ka

żdego j nie

za

leż

n

ie losowane).

 

Oto 

prz

y

k

ład

y

 

dzi

ał

a

ni

a 

LK

WR 

(w 

tabel

i 

po

dane 

są 

współcz

y

n

n

i

k

i

 

zastosowan

y

c

h 

prz

e-

ks

zta

łce

ń 

a

f

i

n

icz

n

y

c

h

 

oraz 

o

d

p

owiednie 

prawd

o

p

o

d

o

bień

stwa, 

z 

któr

ym

i 

te

 

przekszta

łc

e

ni

a

 

b

y

ł

y 

losowane)

:

 

 

 

 

 

 

 

 

R

y

s.1.

 

 

 

 

 

 

 

R

y

s.2.